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Familles de polynômes classiques. Classique 8. (Polynômes de Lagrange) Exercice Factoriser sur C[X] puis sur R[X] lorsque cela a un sens :.
Quelques oraux X-ens RMS 2016
Un classique. Les polynômes sont sources de beaucoup d'exercices d'oral qui ne sont pas en général ceux qui valorisent le plus la connaissance du cours.
Analyse Numérique
3.3.4 Exemples classiques de polynômes orthogonaux . Exercice 1.2 Calculer les racines de l'équation x2 + 111 11x + 1
PROPRIETES p-ADIQUES DE POLYNOMES CLASSIQUES
tres familles classiques de polynômes. Au travers des résultats établis pour les polynômes de Tchebychev de Bernoulli et d'Euler
polynômes.pdf
Exercice 1 [ 02127 ] [Correction] Soit P un polynôme de degré n + 1 ? N? à coefficients réels possédant n + 1 ... Familles de polynômes classiques.
Fonctions spéciales et polynˆomes orthogonaux arXiv:2011.06410
4 mars 2021 gamme de probl`emes en physique classique et quantique ... Aussi
Ag 12
4 : exercices avec corrigés
Exo7 - Exercices de Michel Quercia
Exercice 3178 Sous anneau non principal des polynômes Pour chacune des trois normes classiques sur R2 dire en quels points elles sont différentiables.
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Calculer les polynômes d'interpolation de Lagrange aux points suivants : Correction : C'est un exercice classique d'algèbre linéaire que vous avez peut ...
Denis Vekemans
(b) Polynômes orthogonaux classiques (Legendre Tchébytchev
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Familles de polynômes classiques Exercice 76 [ 02185 ] [Correction] (Polynômes de Tchebychev (1821-1894)) Soit n ? N On pose fn : [?1 ; 1] ? R
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Polynômes Corrections de Léa Blanc-Centi 1 Opérations sur les polynômes Exercice 1 Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que :
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Factorisation de polynômes Exercice 1 (Échauffement) Factoriser sur C[X] puis sur R[X] lorsque cela a un sens : 1 X2 ? 2 cos?X + 1 pour ? ? R
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Chapitre 19 Polynômes 1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés 2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison 5 Exercices
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Déterminez le ppcm et le pgcd des polynômes P et Q Algèbre 3 On considère les polynômes de C[X] suivants un exercice d'oral classique et instructif
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On dit qu'un polynôme P ? Z[X] est primitif si son contenu (pgcd de ses coefficients) vaut 1 Soit P ? Z[X] Montrer que les deux assertions suivantes sont
Deux exercices sur les polynômes - Les classes prépas du Lycée d
La plupart des fichiers de Maths sont au format PDF et ont été écrits en LaTeX Si vous souhaitez obtenir le fichier source en LaTeX n'hésitez pas à me
PROBLEMES ET SOLUTIONS - Polynômes - Maths-France
Grands classiques de concours : polynômes Familles de polynômes célèbres Polynômes d'interpolation de Lagrange Voici
Polynômes
Extrait du polycopié (20 premières pages)Factorisation de polynômesExercice 1.(Échauffement)
Factoriser surC[X]puis surR[X]lorsque cela a un sens :1.X2-2cosθX+ 1pourθ?R.
2.X8-1etX7-1.
3.(X2-2X+ 1)2+ 1.
Exercice 2.(Des factorisations délicates)
1. F actorisersur C[X]puis surR[X]le polynômeXn-1. On pourra distinguer les cas suivant la parité den. 2.F actorisersur C[X]puis surR[X]:
X2n-2cos(nθ)Xn+ 1
oùθ?Ret?k?Z,θ?≡2kπn 3.F actorisersur C[X]puis surR[X]:
(X+i)n-(X-i)nExercice 3.(Calcul pratique de sommes)
1.Mon trerque :
2n? k=0(-1)k?2n k? 2 = (-1)n?n 2n?On pourra utiliser le polynôme(1-X2)2n.
2.Soit n?Netp?[[0,n]], montrer que :
p k=0? n k?? n-k p-k? = 2 p?n p?On pourra utiliser le polynôme(1 +X+X)n.
Équations d"inconnue polynômiale
Exercice 4.Résoudre dansR[X]les équations :
P(X2) =?X2+ 1?P(X)1
Exercice 5.
Résoudre dansC[X], l"équation :
P(X2) =P(X)P(X+ 1)Classique 1.(Noyau de l"opérateur de différenciation)Résoudre dansC[X], l"équation :
P(X+ 1) =P(X)Classique 2.
Résoudre dansC[X], l"équation :
P(X) + (1-X)P?(X) = 0
Polynôme dérivéClassique 3.
Montrer que le polynôme dérivé d"un polynôme scindé surR[X]est lui aussi scindé surR[X].On
pourra d"abord le montrer pour les polynômes scindés à racines simples et appliquer à bon escient
le théorème de Rolle.Classique 4. Déterminer les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.Classique 5.(Théorème de Gauss-Lucas)
Montrer que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l"enveloppe convexe formée par les
racines de ce même polynôme. SoitAune partie deE, on définit l"enveloppe convexe deAnotéeConv(A):Conv(A) =?
x=n? i=1λ ixi? i=1λ i= 1?On pourra utiliser la quantitéP?/P.
Suite de polynômesClassique 6.(Bolzano-Weierstrass polynômial)SoitP=?dk=0akXket notons :
M= sup
|z|=1|P(z)| 1.Mon trerque :
On pourra utiliser les racinesd+ 1-ième de l"unité et s"intéresser àP(ω?)pour??[[0,d]]et
ω=e2i?πd+1.
2. Mon trerque de toute suite uniformémen tb ornéesur le c ercleunité de Cde polynôme de R d[X], on peut en extraire une suite convergente.Il faut connaître le théorème de Bolzano-Weierstrass dansR. On dira que(Pn)n?N?Rd[X]N-→n→∞Qsi?k?[[0,d]],ak,n-→n→∞ak
où?n?N,Pn=?dk=0ak,nXketQ=?dk=0akXk.2Arithmétique dansK[X]
Exercice 6.(Division euclidienne)
Effectuer la division euclidienne de :
-X7-1parX2+ 1. -X3+X2+X+ 1parX-1. -Xn-1parX-1. -X16+X4+X2+XparX2-1.Exercice 7.(Autour de la formule de Taylor)
1. Énoncer et démon trerla form ulede T aylorp olynômiale. 2.Application : Donner le reste de la division euclidienne d"un p olynômePpar(X-a)n.Classique 7.(Idéal deK[X])
SoitK=RouQ,z?CetIz={P?K[X],P(z) = 0}. On suppose queIz\{0}est non vide.1.Montrer que si(A,B)?I2zalorsA+Bet pourC?K[X],ACle sont également.On dit queIz
est un idéal deK[X].2.Montrer qu"il existe un polynôme non nul et de degré minimal dansIz. Un tel polynôme est
notéMz.3.Montrer que :
I z={AMz,A?K[X]} On utilisera le théorème de division euclidienne.4.DéterminerI⎷2
pourK=RpuisQ. Familles de polynômes classiquesClassique 8.(Polynômes de Lagrange) Soit(a0,...,an)?Cndeux à deux distincts et notons : ?j?[[0,n]],Lj=n i=0,i?=jX-ain i=0,i?=ja j-ai1.Calculer?(i,j)?[[0,n]]2,Lj(ai).
2.Montrer que pour toutP?Cn[X], il existe une unique famille(λ0,...,λn)?Cn+1telle que :
P=n? i=0λ iLiLa déterminer en fonction dePet de(a0,...,an).
3.Question d"ouverture : Proposer une routine, en langage naturel ou en python, pour calculer
l"intégrale dePsur[-1,1]en ne connaissant que les valeurs dePsur les points de Lagrange (a0,...,an)?[-1,1]n+1. Pour une fonction continue, discuter la convergence d"une telle formule de quadrature.3Classique 9.(Polynômes de Legendre)
1.Montrer que pour toute fonction continue de[-1,1]-→R+:
1 -1f(t)dt= 0 =?f= 02.On définit pour toutn?N:
L n=n!(2n)!??X2-1? n?(n) Montrer queLnest un polynôme unitaire de degrén.3.Montrer que?Q?Rn-1,?1
-1Ln(t)Q(t)dt= 04.En déduire queLnpossèdenracines distinctes toutes comprises dans]-1,1[.
Extraits de sujets de concoursClassique 10.(Les polynômes de Tchebychev)Centrale-Supélec - MP 2014 - II (adapté)
Les polynômes de Tchebychev de première espèce(Tn)n?Nsont définis par la relation : ?n?N,?θ?R,Tn(cos(θ)) = cos(nθ)On ne demande pas de justifier l"existence et l"unicité de la famille de polynômes définie par cette
relation.1.DéterminonsT0,T1,T2etT3.
2.En remarquant que pour tout réelθ, on aeinθ=?eiθ?n, montrer que :
?n?N,Tn=? n 2k? (X2-1)kXn-2k Écrire en langage naturel, une fonctionTprenant en argument un entier naturelnet renvoyant l"expression développée du polynômeTn.3.Montrer que la suite(Tn)n?Nvérifie la relation de récurrence :
?n?N,Tn+2= 2XTn+1-TnEn déduire, pour tout entier natureln, le degré et le coefficient dominant deTn. Retrouver ce ré-
sultat à l"aide de la question2..4.Montrer que, pour tout entier natureln, le polynômeTnest scindé surR, à racines simples
appartenant à]-1,1[. Déterminer les racines deTn. On définit les polynômes(Un)n?Nde Tchebychev de deuxième espèce par ?n?N,Un=1n+ 1T?n+15.Montrer que
?n?N,?θ?R\πZ,Un(cosθ) =sin((n+ 1)θ)sinθ6.En déduire les propriétés suivantes :4
1.La suite (Un)n?Nvérifie la même relation de récurrence que la suite(Tn)n?N.
2. P ourtout en tiernaturel n?N, le polynômeUnest scindé surRà racines simples appartenantà]-1,1[. Déterminer les racines deUn.
7.Montrer que
??T m·Tn=12 T m·Un-1=128.Pourmetnentiers naturelsClassique 11.(Les polynômes de Bernoulli)ENS 84 - MP (adapté)
Soitn?N?, on définit l"opérateur :
????R n[X]-→Rn[X]P?-→P(X)-P(X-1)
1.Montrer que?P?Rn[X],Δ(P)?Rn-1[X].
On admet dans la suite queΔest surjective deRn[X]→Rn-1[X].2.Montrer qu"il existeQn?Rn+1[X]tel que?p?N?,
Q(p) =p-1?
k=1knMontrer queQn(0) =Qn(1) = 0.
3.Montrer qu"il existe(an)n≥2, suite de nombres rationnels, telle que :
Q ?n+an=nQn-1On pourra calculerΔ(Q?n-nQn-1).
4.On noteQ
n(X) =Qn(1-X). ComparerQ netQn.5.CalculerQ1etQ2.
6.CalculerQ2p?12
?eta2p+1.7.Établir que les polynômesQ2pne s"annulent sur l"intervalle ouvert]0,1[qu"au point12
et que les polynômesQ2p+1sont de signe constant sur ce même intervalle.On pourra calculerQ1,Q2etdresser par récurrence les tableaux de variations deQ2p+1etQ2p+2.Classique 12.(Équations algébriques réciproques)Mines-Ponts MP 2012 I (adapté)
1.Montrer que sin?N, l"applicationun:Rn[X]→Rn[X]donnée par la formuleun(P)(X) =
X nP?1Xn?est bien définie, et que c"est une symétrie.Une applicationfest une symétrie sif◦f=id.
Un polynômeRdeR[X]est ditréciproque de première espèces"il est non nul et invariant parudeg(R); il est ditréciproque de deuxième espèces"il est non nul et transformé en son opposé par
u deg(R). On noteP(respectivementP) , l"ensemble des polynômes deR[X]réciproques de première (respectivement de deuxième) espèce.2.Donner une condition nécessaire sur ses coefficients pour qu"un polynôme non nul deR[X]
appartienne àP(respectivement àD).53.Établir que siRest réciproque (c"est-à-direR? P ?D) etxune racine deR, alorsxest non nul
et 1x est aussi une racine deR. Montrer par ailleurs que tout polynôme deDadmet 1 pour racine, et que pour tout polynôme dePde degré impair admet-1pour racine.4.Étant donné trois polynômesP,Q,RdeR[X]tels queP=QR, montrer que si deux d"entre
eux sont réciproques, alors le troisième l"est aussi. Établir un lien entre les espèces de ces trois
polynômes réciproques.5.Vérifier queP? Pimplique(X-1)P? D. Réciproquement, montrer que siD? D, il existe
un uniqueP? Ptel queD= (X-1)P.6.Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes dePde degré impair dansR[X].
7.Montrer que sip?N, alors il existe un uniqueP?R[X]tel que
X p+1X p=P? X+1XQuel est le degré deP?
SoitRun élément deR[X]réciproque n"admettant ni1ni-1comme racine.8.Montrer queRest réciproque de première espèce et de degré pair. En déduire qu"il existe
P?R[X]tel que pour toutx?R?, on ait l"équivalenceR(x) = 0??P?x+1x ?= 0. Y a-t-il unicité du polynômeP? de deg(P)?6Factorisation de polynômes
ExerciceFactoriser surC[X]puis surR[X]lorsque cela a un sens :1.X2-2cosθX+ 1pourθ?R.
2.X8-1etX7-1.
3.(X2-2X+ 1)2+ 1.
Correction
1. Remarquons que X2-2cosθX+ 1 =X2-?eiθ+e-iθ?X+eiθe-iθ=?X-eiθ??X-e-iθ?. X2-2cosθX+ 1 =?X-eiθ??X-e-iθ?Un tel polynôme admet donc une factorisation surR[X]??eiθete-iθsont réels??sinθ= 0etsin(-θ) =
0??sinθ= 0??θ≡0[π]??θ≡0ouπ[2π]. Ainsi,
?Siθ≡0[2π],X2-2cosθX+ 1 =X2-2X+ 1 = (X-1)2Siθ≡π[2π],X2-2cosθX+ 1 =X2+ 2X+ 1 = (X+ 1)2Tout polynôme de degré supérieur à1est scindé surC[X].
Les polynômes que vous serez amenés à factoriser admettront une factorisation dansC[X] mais pas forcément dansR[X]. Pour vous convaincre, considérez le polynômeX2+ 1 =(X-i)(X+i).Rappel de cours 1(Théorème de d"Alembert-Gauss).Soitz1etz2les deux racines complexes deX2-sX+p. Ces deux réels vérifient :
?s=z1+z2 p=z1z2Rappel de cours 2(Relation somme et produit des racines).2.X8-1admet pour racines? e2ikπ8 k?[[0,7]]qui sont au nombre de8 =deg(X8-1)et distinctes, elles sont donc simples et nous obtenons la factorisation surC[X]: X8-1 =7?
k=0?X-e2ikπ8
Pour obtenir une factorisation surR[X], on sépare les racines réelles et les racines appartenant àC\Rpuis on
rassemble les paires de conjugués des racines appartenant àC\R: X8-1 =?
X-e2i0π8
=X-1?X-e2i1π8
X-e2i7π8
X2-2cos(π8
)X+1?X-e2i2π8
X-e2i6π8
X2-2cos(2π8
)X+1?X-e2i3π8
X-e2i5π8
X2-2cos(3π8
)X+1?X-e2i4π8
=X+17 X8-1 = (X-1)(X+ 1)?
X2-2cos?π8
X+ 1??
X2-2cos?2π8
X+ 1??
X2-2cos?3π8
X+ 1?X
7-1admet pour racines?
e2ikπ7 k?[[0,6]]qui sont au nombre de7 =deg(X7-1)et distinctes, elles sont donc simples et nous obtenons la factorisation surC[X]: X7-1 =6?
k=0?X-e2ikπ7
Pour obtenir une factorisation surR[X], on sépare les racines réelles et les racines appartenant àC\Rpuis on
rassemble les paires de conjugués des racines appartenant àC\R: X7-1 = (X-1)?
X-e2i1π7
X-e2i6π7
X2-2cos(π7
)X+1?X-e2i2π7
X-e2i5π7
X2-2cos(2π7
)X+1?X-e2i3π8
X-e2i4π7
X2-2cos(3π7
)X+1 X7-1 = (X-1)?
X2-2cos?π7
X+ 1??
X2-2cos?2π7
X+ 1??
X2-2cos?3π7
X+ 1?Pour obtenir la factorisation surR[X]d"un polynôme réel dont on connait une factorisation surC[X], il suffit de séparer les racines réelles et les racines appartenant àC\Rpuis on rassemble les paires de conjugués des racines appartenant àC\R: (X-z)(X-z) =X2-2Re(z)X+|z|2 en se souvenant que :Re(z) =z+z
2 et|z|2=zzPoint méthodologique 1. 3.Nous reconnaissons une iden titéremarqu able:
(X2-2X+ 1)2+ 1 = ((X-1)2+i)((X-1)2-i)Ayant-i=e-iπ2
eti=eiπ2 et en reconnaissant deux autres identités remarquables : ((X-1)2+i)((X-1)2-i) =?X-1-e-iπ4 ??X-1 +e-iπ4 ??X-1-eiπ4 ??X-1 +eiπ4Nous en déduisons la factorisation surC[X]:
(X2-2X+ 1)2+ 1 =?X-?1 +e-iπ4 ???X-?1-e-iπ4 ???X-?1 +eiπ4 ???X-?1-eiπ4??Pour obtenir la factorisation surR[X], nous regroupons les paires de conjugués en reconnaissant :1-e-iπ4
= 1-eiπ41 +e-iπ4
= 1 +eiπ4Nous avons :
Re?1-eiπ4
?= 1-cos?π4 = 2sin2?π8 Re ?1 +eiπ4 ?= 1 + cos?π4 = 2cos2?π8 ?8 ?1-eiπ4 ??2=?1-cos?π4
2+ sin2?π4
= 2?1-cos?π4
?1 +eiπ4 ??2=?1 + cos?π4
2+ sin2?π4
= 2?1 + cos?π4
La factorisation surR[X]:
(X2-2X+ 1)2+ 1 =?X2-4sin2?π8
X+ 2?1-cos?π4
X2-4cos2?π8
X+ 2?1 + cos?π4
Exercice
1. F actorisersur C[X]puis surR[X]le polynômeXn-1. On pourra distinguer les cas suivant la parité den. 2.F actorisersur C[X]puis surR[X]:
X2n-2cos(nθ)Xn+ 1
oùθ?Ret?k?Z,θ?≡2kπn 3.F actorisersur C[X]puis surR[X]:
(X+i)n-(X-i)nCorrection
1.Xn-1admet pour racines?
e2ikπn k?[[0,n-1]]qui sont au nombre den=deg(Xn-1)et distinctes, elles sont donc simples et nous obtenons la factorisation surC[X]: X n-1 =n-1? k=0?X-e2ikπn
?Pour obtenir la factorisation surR[X], nous allons distinguer le cas oùnest pair et le cas où il est impair.
(a)Casnpair :Notons alorsn= 2p. Les racines réelles deXn-1sont1 =e2ikπ2ppourk= 0et-1 =e2ikπ2p
pourk=p. Nous en déduisons alors que : X n-1 =X2p-1 =2p-1? k=0?X-e2ikπ2p?
= (X-1)(X+ 1)2p-1? k=1,k?=p?X-eikπp
= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?X-eikπp
2p-1? k ?=p+1? X-eik ?πp ?=k?-p→= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?X-eikπp
p-1? ?=1?X-ei(?+p)πp
?=p-?→= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?X-eikπp
p-1? ?=1?X-ei(-??+2p)πp
= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?X-eikπp
p-1? ?=1?X-e-i??πp
?9On en conclut ainsi,
X n-1 = (X-1)(X+ 1)p-1? k=1? X2-2cos?kπp
+ 1?AstuceCette manière de compter les racines est assez difficile à comprendre lorsqu"on découvre pour
la première fois cette démonstration. Voici le schéma qui a motivé nos changement d"indices successifs :
kparcourt{0????1,1,...,p-1, p????
-1,p+ 1,...,2p-1} e ikπp /?Rlorsquekparcourt{1,...,p-1,p+ 1,...,2p-1}Les pairs de conjugués sonteikπp
etei(2p-k)πp Découpage de la liste en deux sous-listes[[1,p-1]] : (?=k?-p) et retournement de la deuxième pour aligner les paires de conjugés: (??=p-?)(b)Casnimpair :Notons alorsn= 2p+ 1. La seule racine réelle deXn-1est1 =e2ikπ2p+1pourk= 0. Nous
en déduisons alors que : X n-1 =X2p+ 1 =2p?quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21[PDF] correction cas pratique concours commun catégorie c 2015
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