Cours limites PDF Les courbes représentant ces

Limites de fonctions cours

http://mathsfg.net.free.fr/premiere/1S2010/limitesfonctions/limitescours1S.pdf

LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

On dit que la fonction f admet pour limite L en +? si tout intervalle ouvert 1) Il s'agit d'une forme indéterminée du type "?? +(+? )+(?? )".

Limites asymptotes EXOS CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques 6 x x x ? ?. ?. ?. ?. Exercice n°19. Retrouver les limites de f(x) à partir du graphique ... 1ère manière :.

livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

dans lesquels le formalisme mathématique s'applique et permet de résoudre des problèmes. fonctions : limite continuité

Cours de mathématiques - Exo7

dans lesquels le formalisme mathématique s'applique et permet de résoudre des problèmes. fonctions : limite continuité

Cours limites

Les courbes représentant ces fonctions admettent l'axe des ordonnées comme asymptote verticale . b. Limite finie en a. Exemples : limx. ? 3 sin (3 x + 4) = sin

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

Exercice 3.1. Calculer les limites des suites données par les termes généraux suivants : n3. ?3 + sinn. cos(.

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Déterminer les limites en 1 et la limite en +?. Que peut-on en déduire pour (Cf )?. 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser

Limites et asymptotes

Définition 6 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en 0 : On dit que f a pour limite l en 0 lorsque la fonction x ?? f(x) ? l a

LIMITES DES FONCTIONS - maths et tiques

Partie 4 : Calculs de limites par composition et comparaison 1) Composition de limites Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée Vidéo https://youtu be/DNU1M3Ii76k Vidéo https://youtu be/f5i_u8XVMfc Soit la fonction " définie sur V 1 2; +?X par : "(&)=Y2? 1 Calculer la limite de la fonction " en +? Correction On a

Limites et asymptotes : cours de maths en 1ère en PDF - Mathovore

Il existe donc quatre formes indéterminées (comme avec les limites de suites) où les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure Dans les cas d’indé-termination il faudra chercher à mettre le terme du plus haut degré en facteur (pour les polynômes et les fonctions rationnelles) à simpli?er à multiplier par la

Limites de fonctions cours première S - Free

Limites de fonctions oursc classe de première S 1 Limites nies à l'in ni Soit f une fonction dé nie sur un intervalle [a;+1[ où a 2R Dé nition : Soit l un réel f admet pour limite l en +1(resp 1 ) si pour tout intervalle contenant l il existe un réel x 0 tel que pour tous les réels x su-périeursà x

1ère S Cours sur approche intuitive des limites

1ère S Limites de fonctions (1) Approche intuitive ; limites des fonctions de référence Dans ce chapitre on laisse provisoirement de côté les dérivées I Introduction 1°) Rappel Déjà vu : notion de « x tend vers » dans le chapitre sur le nombre dérivé d’une fonction 0 lim 4 4 x x 1 lim 4 5 x x

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1ère S Limites de fonctions (2) Calculs de limites I Règles d’opérations algébriques sur les limites (admises sans démonstration) a désigne soit un réel soit + soit – m etn sont deux réels 1°) Limite d’une somme Si lim xa fx m m m + – + Si lim xa gx n + – + – – Alors lim

IV. Limite de l’inverse d’une Fonction
Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f(x) > 0. Définition analogue pour , mais avec f(x) < 0.

Comment définir la limite concernée ?

Si la limite concernée est la limite à gauche de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] – ; a [ ou [ A ; a [ où A est un réel. Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; + [ ou ] a ; A ] où A est un réel.

Comment calculer la limite à droite d’une fonction ?

Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; + [ ou ] a ; A ] où A est un réel. Pour les suites, l’indice n est un entier naturel supérieur ou égal à un certain rang (qui sera souvent 0).

Qu'est-ce que la limite de l'inverse d'une fonction ?

Limite de l’inverse d’une fonction Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f (x) > 0. Définition analogue pour , mais avec f (x) < 0.

Comment télécharger les limites et asymptotes ?

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LIMITES DE FONCTIONS

I. LIMITE en + ¥¥¥¥ et en - ¥¥¥¥ a. Limite infinie en + ¥¥¥¥ et en - ¥¥¥¥ Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ; + ¥ [ Si " f ( x ) est aussi grand que l"on veut dès que x est assez grand » , on dit que f a pour limite + ¥ en + ¥ et on note : limx ® +¥ f ( x ) = + ¥ Remarque : On dit aussi que la fonction f tend vers + ¥ quand x tend vers + ¥ .

Exemples à connaître :

limx ® +¥ x = + ¥ , limx ® +¥ x ² = + ¥ , limx ® +¥ x 3 = + ¥ , limx ® +¥ x = + ¥

On définit de la même façon ...

limx ® +¥ f ( x ) = - ¥ limx ® -¥ f ( x ) = - ¥ limx ® -¥ f ( x ) = + ¥

Exemples à connaître : limx ® -¥ x ² = + ¥ limx ® -¥ x = - ¥ limx ® -¥ x 3 = - ¥

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Cf Cf Dans ces deux cas, f est définie sur un intervalle de la forme ] -¥ ; b ] b. Limite finie en + ¥¥¥¥ et en - ¥¥¥¥ et asymptote horizontale Soit f une fonction définie sur un intervalle I

Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ¥ , signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus

grandes vers + ¥ , les nombres f (x) viennent s"accumuler autour de L .

On note :limx ® +¥ f ( x ) = L

On dit que la droite d"équation y = L est asymptote horizontale

à la courbe Cf en + ¥ .

Remarques :

· On obtient la même chose en remplaçant + en - · Une fonction n"a pas forcément une limite finie ou infinie quand x tend vers + ¥ . ( Par exemple x ½¾¾® sin x , x ½¾¾® cos x ... )

Exemples à connaître :

limx ® +¥ 1 x = 0 , limx ® +¥ 1 x² = 0 , limx ® +¥ 1 x3 = 0 , limx ® +¥ 1 x = 0 limx ® -¥ 1 x = 0 , limx ® -¥ 1 x² = 0 , limx ® -¥ 1 x3 = 0 c. Asymptote oblique Soit C la courbe représentant une fonction f dans un repère.

Dire que la droite d"équation y = a x + b est asymptote oblique à C en + ¥ revient à dire que :

limx ® +¥ [] f (x) - (ax + b) = 0 Remarque : On obtient la même chose en remplaçant + en - f ( x ) x y N M C L f ( x )

¾®j

¾®i x

II. LIMITE en a

a. Limite infinie en a et asymptote verticale

Soit f une fonction

Si " f ( x) est aussi grand que l"on veut dès que x est assez proche de a » , on dit que f a pour limite + ¥

en a et on note : limx ® a f ( x ) = + ¥ On définit de la même façon limx ® a f ( x ) = - ¥ On dit que la droite d"équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf

Remarque :

Il arrive souvent qu"on soit amené à définir des limites " d"un seul côté de a » . Naturellement, on introduit les notions de limite à droite en a et de limite à gauche en a et on note :

limx ® a+ f ( x ) et limx ® a- f ( x ) ou encore limx ® a f ( x ) et limx ® a f ( x )

x > a x < a

Exemples à connaître :

limx ® 0+ 1 x = + ¥ , limx ® 0+ 1 x² = + ¥ , limx ® 0+ 1 x3 = + ¥ , limx ® 0+ 1 x = + ¥ limx ® 0- 1 x = - ¥ , limx ® 0- 1 x² = + ¥ , limx ® 0- 1 x3 = - ¥

Les courbes représentant ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote verticale .

Limite finie en a

Exemples : limx ® 3 sin (3x + 4) = sin 13 , limx ® 4 x² + 3 = 19

O x

y Cf Dans ce cas lim x ® a+ f ( x ) = - ¥ et lim x ® a- f ( x ) = + ¥ a

O a

III. OPERATION SUR LES LIMITES

Les théorèmes qui suivent, présentés sous forme de tableau sont admis.

Pour la plupart d"entre eux , ils sont naturels mais ... comme souvent en math, il y a quelques cas particuliers.

Par convention et pour simplifier :

On note lim f et lim g les limites de f et de g , toutes les deux en a , en + ¥ ou en - ¥

On note par un point d"interrogation les cas où il n"y a pas de conclusion générale. On dit qu"il s"agit de cas

de formes indéterminées . Ces cas nécessiteront une étude particulière chaque fois qu"ils se présenteront.

a. Limite de k f lim f L + ¥ - ¥ lim k f ( avec k > 0 ) k L + ¥ - ¥ lim k f ( avec k < 0 ) k L - ¥ + ¥ Exemple : Soit la fonction g définie sur IR* par g : x ½¾¾® - 2 x²

limx ® -¥ g ( x ) = 0 , limx ® +¥ g ( x ) = 0 , limx ® 0+ g ( x ) = - ¥ et limx ® 0- g ( x ) = - ¥

b. Limite de f + g lim f L L L + ¥ - ¥ + ¥ lim g L" + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ - ¥ lim ( f + g ) L + L" + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ ? Exemple : Soit la fonction h définie sur IR+* par h : x ½¾¾® x - 2 x² .

On a h = f + g avec f : x

½¾¾® x et g : x ½¾¾® - 2 x²

On sait que limx ® +¥ f ( x ) = + ¥ et limx ® +¥ g ( x ) = 0 ; donc limx ® +¥ h ( x ) = + ¥

c. Limite de f. g lim f L L > 0 L > 0 L < 0 L < 0 + ¥ + ¥ - ¥ 0 lim g L" + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ - ¥ +/- ¥ lim ( f .g ) L ´ L" + ¥ - ¥ - ¥ + ¥ + ¥ - ¥ + ¥ ? Exemple : Soit la fonction h définie sur IR+ par h : x ½¾¾® ( x + 2 ) x

On a h = f ´ g avec f : x

½¾¾® x + 2 et g : x ½¾¾® x On sait que limx ® 0 f ( x ) = 2 et limx ® 0 x = 0 ; donc limx ® 0 h ( x ) = 0 d. Limite de f/g Cas où la limite de g n"est pas nulle Cas où la limite de g est nulle lim f L L + ¥ + ¥ - ¥ - ¥ +/- ¥ L > 0 ou + ¥ L > 0 ou + ¥ L < 0 ou - ¥ L < 0 ou - ¥ 0 lim g L" +/- ¥ L" > 0 L" < 0 L" > 0 L" < 0 +/- ¥ 0 + 0 - 0 + 0 - 0

lim f/g L/L" 0 + ¥ - ¥ - ¥ + ¥ ? + ¥ - ¥ - ¥ + ¥ ?

Exemple : Soit la fonction h définie sur IR+* par h : x ½¾¾® 2x - 4x

On a h = f

g ou f : x ½¾¾® 2 x - 4 et g : x ½¾¾® x

On sait que limx ® 0+ f ( x ) = - 4 et limx ® 0+ g ( x ) = 0+ ; d"où limx ® 0+ h ( x ) = - ¥

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IV. Limite de l’inverse d’une Fonction

Comment définir la limite concernée ?

Comment calculer la limite à droite d’une fonction ?

Qu'est-ce que la limite de l'inverse d'une fonction ?

Comment télécharger les limites et asymptotes ?

LIMITES DE FONCTIONS

Exemples à connaître :

On définit de la même façon ...

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¾®i

On note :limx ® +¥ f ( x ) = L

à la courbe Cf en + ¥ .

Remarques :

Exemples à connaître :

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¾®i x

II. LIMITE en a

Soit f une fonction

Remarque :

Exemples à connaître :

Limite finie en a

O x

O a

III. OPERATION SUR LES LIMITES

Par convention et pour simplifier :

On a h = f + g avec f : x

On a h = f ´ g avec f : x

On a h = f