FONCTION EXPONENTIELLE PDF ne s'annule jamais. Or

Limites de fonctions cours

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LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

On dit que la fonction f admet pour limite L en +? si tout intervalle ouvert 1) Il s'agit d'une forme indéterminée du type "?? +(+? )+(?? )".

Limites asymptotes EXOS CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques 6 x x x ? ?. ?. ?. ?. Exercice n°19. Retrouver les limites de f(x) à partir du graphique ... 1ère manière :.

livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

dans lesquels le formalisme mathématique s'applique et permet de résoudre des problèmes. fonctions : limite continuité

Cours de mathématiques - Exo7

dans lesquels le formalisme mathématique s'applique et permet de résoudre des problèmes. fonctions : limite continuité

Cours limites

Les courbes représentant ces fonctions admettent l'axe des ordonnées comme asymptote verticale . b. Limite finie en a. Exemples : limx. ? 3 sin (3 x + 4) = sin

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

Exercice 3.1. Calculer les limites des suites données par les termes généraux suivants : n3. ?3 + sinn. cos(.

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Déterminer les limites en 1 et la limite en +?. Que peut-on en déduire pour (Cf )?. 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser

Limites et asymptotes

Définition 6 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en 0 : On dit que f a pour limite l en 0 lorsque la fonction x ?? f(x) ? l a

LIMITES DES FONCTIONS - maths et tiques

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Limites et asymptotes : cours de maths en 1ère en PDF - Mathovore

Il existe donc quatre formes indéterminées (comme avec les limites de suites) où les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure Dans les cas d’indé-termination il faudra chercher à mettre le terme du plus haut degré en facteur (pour les polynômes et les fonctions rationnelles) à simpli?er à multiplier par la

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IV. Limite de l’inverse d’une Fonction
Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f(x) > 0. Définition analogue pour , mais avec f(x) < 0.

Comment définir la limite concernée ?

Si la limite concernée est la limite à gauche de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] – ; a [ ou [ A ; a [ où A est un réel. Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; + [ ou ] a ; A ] où A est un réel.

Comment calculer la limite à droite d’une fonction ?

Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; + [ ou ] a ; A ] où A est un réel. Pour les suites, l’indice n est un entier naturel supérieur ou égal à un certain rang (qui sera souvent 0).

Qu'est-ce que la limite de l'inverse d'une fonction ?

Limite de l’inverse d’une fonction Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f (x) > 0. Définition analogue pour , mais avec f (x) < 0.

Comment télécharger les limites et asymptotes ?

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FONCTION EXPONENTIELLE

I. Définition

Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que et

Démonstration de l'unicité (exigible BAC) :

L'existence est admise

- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ.

Soit la fonction h définie sur ℝ par .

Pour tout réel x, on a :

La fonction h est donc constante.

Comme , on a pour tout réel x :.

La fonction f ne peut donc pas s'annuler.

- Supposons qu'il existe une fonction g telle que et .

Comme f ne s'annule pas, on pose .

k est donc une fonction constante.

Or donc pour tout x : .

Et donc . L'unicité de f est donc vérifiée. Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que et .

On note cette fonction exp.

Conséquence :

Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : f'=f f(0)=1 h(x)=f(x)f(-x) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)-f'(-x) =f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) =f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0 h(0)=f(0)f(0)=1 f(x)f(-x)=1 g'=g g(0)=1 k(x)= g(x) f(x) k'(x)= g'(x)f(x)-g(x)f'(x) f(x) 2 g(x)f(x)-g(x)f(x) f(x) 2 =0 k(0)= g(0) f(0) 1 1 =1 k(x)=1 f(x)=g(x) f'=f f(0)=1 exp(0)=1 2 Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard.

II. Etude de la fonction exponentielle

1) Dérivabilité

Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ et Démonstration : Conséquence immédiate de sa définition

2) Variations

Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais.

Or, par définition, donc pour tout x, .

Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.

3) Limites en l'infini

Propriété : et

- Propriété démontrée au paragraphe III. -

4) Courbe représentative

On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x 0 expx '=expx exp(0)=1 expx>0 expx '=expx>0 lim x→-∞ expx=0 lim x→+∞ expx=+∞ expx expx 3

III. Propriété de la fonction exponentielle

1) Relation fonctionnelle

Théorème : Pour tous réels x et y, on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.

Démonstration :

Comme , on pose avec y un nombre réel.

Pour tout x, on a .

Donc la fonction f est constante.

Comme , on en déduit que .

Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :

a) b) c) avec expx+y =expxexpy expx≠0 f(x)= exp(x+y) expx f'(x)= exp(x+y)expx-exp(x+y)expx expx 2 =0 f(0)= exp(y) exp(0) =expy exp(x+y) expx =expy exp-x 1 expx expx-y expx expy expnx =expx n n∈! 4

Démonstration :

a) b) c) La démonstration s'effectue par récurrence.

L'initialisation est triviale.

La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition :

2) Le nombre e

Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.

On a ainsi

Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e.

Notation nouvelle :

On note pour tout x réel,

Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique .

Ses premières décimales sont :

e 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995

9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...

Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est t ranscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers. Le nombre par exempl e, est irrationnel mais n'est pas transcendant puisqu'il est solution de l'équation . Un tel nombre est dit "algébrique».

Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard

Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom ma is peut être car e est la première lettre du mot exponentiel. expxexp-x =expx-x =exp(0)=1 expx-y =expx+(-y) =expxexp-y =expx 1 expy expx expy expn+1 x =expnx+x =expnx expx=expx n expx=expx n+1 exp1=e expx=exp(x×1)=exp(1) x =e x expx=e x 2 x 2 =2 5 Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : Rappelons que par exemple 5! se l it "factorielle 5" et e st égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) et b) et c) , , , , avec . d) et Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.

Démonstration de d) (exigible BAC) :

- Soit la fonction g définie par . Pour x positif, car la fonction exponentielle est croissante.

Donc la fonction g est croissante sur .

On dresse ainsi le tableau de variations :

x 0

0 +

Comme , on a pour tout x, .

Et donc , soit .

D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que car

Dériver une fonction exponentielle :

Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk

e=1+ 1 1! 1 2! 1 3! e 0 =1 e 1 =e e x >0 (e x )'=e x e x+y =e x e y e x-y e x e y e -x 1 e x e x n =e nx n∈! lim x→-∞ e x =0 lim x→+∞ e x g(x)=e x -x g'(x)=e x -1≥e 0 -1=0

0;+∞

g'(x) g(x) g(0)=1 g(x)≥1 g(x)=e x -x≥0 e x ≥x lim x→+∞ e x lim x→+∞ x=+∞ lim x→-∞ e x =lim

X→+∞

e -X =lim

X→+∞

1 e X =0 6

Méthode : Simplifier les écritures

Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation

Vidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y

Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y

a) Résoudre dans ℝ l'équation . b) Résoudre dans ℝ l'inéquation .quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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IV. Limite de l’inverse d’une Fonction

Comment définir la limite concernée ?

Comment calculer la limite à droite d’une fonction ?

Qu'est-ce que la limite de l'inverse d'une fonction ?

Comment télécharger les limites et asymptotes ?

FONCTION EXPONENTIELLE

I. Définition

Démonstration de l'unicité (exigible BAC) :

L'existence est admise

Soit la fonction h définie sur ℝ par .

Pour tout réel x, on a :

La fonction h est donc constante.

Comme , on a pour tout réel x :.

La fonction f ne peut donc pas s'annuler.

Comme f ne s'annule pas, on pose .

Or donc pour tout x : .

On note cette fonction exp.

Conséquence :

II. Etude de la fonction exponentielle

1) Dérivabilité

2) Variations

Or, par définition, donc pour tout x, .

3) Limites en l'infini

Propriété : et

4) Courbe représentative

III. Propriété de la fonction exponentielle

1) Relation fonctionnelle

Démonstration :

Comme , on pose avec y un nombre réel.

Pour tout x, on a .

Donc la fonction f est constante.

Comme , on en déduit que .

Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :

Démonstration :

L'initialisation est triviale.

2) Le nombre e

On a ainsi

Notation nouvelle :

On note pour tout x réel,

Ses premières décimales sont :

9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...

Démonstration de d) (exigible BAC) :

Donc la fonction g est croissante sur .

On dresse ainsi le tableau de variations :

0 +

Comme , on a pour tout x, .

Et donc , soit .

Dériver une fonction exponentielle :

Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk

0;+∞

X→+∞

X→+∞

Méthode : Simplifier les écritures

Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

Vidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y

Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y