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D. PINEL, Site Mathemitec :

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Sujets de Bac 1Terminale S

Les ROC d"analyse à connaître.

Vous trouverez ici les démonstrations que vous avez officiellement dues faire en cours (dans le programme).

Il est important de préciser que cela ne signifie en aucun cas qu"il ne faille pas connaître les autres...

D"autres ROC classiques seront aussi traitées, mais sachez que le jour du Bac, vous pouvez très bien avoir

une ROC que vous n"aurez jamais traité ou une ROC à démontrer différemment.

C"est pourquoi votre intérêt n"est pas d"apprendre les démonstrations par coeur, mais plutôt de comprendre

comment elles fonctionnent, quelle est l"idée directrice des raisonnements, quels sont les prérequis...

ROC sur les suites

Définition : Une suite admet pour limite +¥ si pour tout réel A, tous les termes de la suite à partir d"un

certain rang sont dans un intervalle de la forme [;[A+¥. La définition est la même pour -¥, mais les termes

seront dans un intervalle ];]A-¥. Autrement dit, une suite tend vers +¥ si ,,nANtelquenNonauA"Î$Î"³³.

Théorème : Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors limnnu®+¥=+¥ ; si une suite (un) est

décroissante et non minorée, alors limnnu®+¥

Démo :

Soit (un) une suite croissante et non majorée.

Par définition, comme (un) est non majorée, pour tout réel A, il existe un terme

Nu de la suite tel que NuM>.

Mais comme la suite est croissante, pour tout n > N, nNuu>. Nous avons donc prouvé que pour tout réel A, à partir d"un certain rang N, on aura n uM> pour n > N ,ce qui correspond à la définition de tendre vers

La démonstration est analogue pour

Définition : On dit que deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si : lim0nn nn nnnuvucroissantevdécroissante vu Théorème : Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite L.

De plus on a

nnuLv££.

Démo :

Soient deux suites adjacentes (un) et (vn).

On a

0nnuvv££ car v est décroissante donc majorée par son premier terme : ainsi, la suite u est croissante et

majorée, donc elle converge. On note L sa limite.

On montre de même (faite le) que la suite v est décroissante minorée donc elle converge ; on note L" sa limite.

Comme on a

()lim0nnnvu®¥-=, on obtient L - L" = 0 donc L = L".

Enfin, la suite u étant croissante, on a n

uL£ et comme v décroît, nLv£ d"où nnuLv££.

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Sujets de Bac 2

ROC sur les fonctions : théorème des gendarmes

Définition : On dit que la fonction f tend vers le réel L quand x tend vers +¥ si le nombre f(x) peut être

rendu aussi proche de L que l"on veut, pour x assez grand. On notera lim()xfxL®+¥=.

Autrement dit, en terminale,lim()xfxL®+¥= si pour tout intervalle J qui contient L, alors J contient aussi tous

les f(x) pour x assez grand.

Théorème : Soit f, g, h trois fonctions définies sur un intervalle [[;Ia=+¥ telles que ()()()fxhxgx££ sur I.

Si lim()lim()xxfxLgx®+¥®+¥==, alors h admet une limite en +¥et on a lim()xhxL®+¥=.

Démo

: Soit J un intervalle contenant L. Comme

lim()lim()xxfxLgx®+¥®+¥==, par définition pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J.

Comme pour tout x

()()()fxhxgx££, h(x) est également dans J pour ces mêmes valeurs de x.

Donc h vérifie la définition de lim()x

hxL®+¥=. ROC sur les fonctions continues : TVI et corollaire

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Démo

: il s"agit ici de formaliser le principe de dichotomie que vous devez connaître. Si tel n"est pas le cas,

cette démonstration vous paraîtra encore plus compliquée... Mais qu"est ce qu"elle est belle !!

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I avec ab£. Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Définissons maintenant deux suites (an) et (bn) :

· On pose 0

aa= et 0bb= : on a donc []00();()kfafbÎ · Supposons que les termes an et bn soient construits et tels que []();()nnkfafbÎ, et définissons les termes suivants (récurrence...). Plaçons nous alors dans l"intervalle [];nnab et calculons 2nn abuf+=

Si k est supérieur à u, nous posons

11,2nnnnnababb+++==.

Si k est inférieur à u, nous posons

11,2 nnnnnabaab+++==.

Dans tous les cas on sera sûr que

[]11();()nnkfafb++Î.

· Par construction, an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à chaque fois on prend le

milieu de l"intervalle,

111()2nnnnbaba++-=-.

La suite

()nnba- est donc géométrique de raison ½ donc elle tend vers 0. · Ces deux suites sont donc adjacentes, donc elles convergent. Notons c leur limite commune.

Comme f est continue,

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Sujets de Bac 3· Enfin, pour tout n,

()()nnfakfb££ par construction, et d"après le théorème des gendarmes,

Théorème des valeurs intermédiaires (bis) : Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un

intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris

entre a et b tel que f(c) = k.

Démo

: L"existence de c a été démontrée ci-dessus. Démontrons maintenant son unicité pour les fonctions

strictement monotones. Supposons que f est strictement croissante par exemple.

Soit c" un autre antécédent de k.

Si c < c", par monotonie de f, f(c) < f(c"), cad k < k ! Absurde !

Il est clair que si c > c", la même absurdité apparaît. On a donc c" = c, d"où l"unicité.

ROC sur la dérivation

Définition : Soit f une fonction définie sur I, et a un réel de I (qui ne soit pas une borne de I).

On dit que la fonction f est dérivable en a si ()()lim xafxfa xa®- - existe et est finie. On notera alors ()()©()lim xafxfafaxa®-=-, nombre dérivé de la fonction en a. Théorème : Soient u et v deux fonctions telle que la composée soit définie sur I.

Si u et v sont dérivables alors

uv est dérivable et on a ()()©©©uvvuv=´ cad ()()©()©()©()uvxvxuvx=´.

Principe de la démo

: Soient u et v deux fonctions dérivables. On a ()()uvxuvauvxuva uvxuvavxva xaxavxvaxa

Posons X = v(x) et A = v(a) : alors

()()()()()()uXuAuvxuvavxva xaXAxa ---=´---. Regardons la limite de ces rapports quand x tend vers a. · Comme v est dérivable, elle est continue et donc lim()() xavxva

®= cad lim

xaXA

Par conséquent,

()()()()limlim©()xaXAuXuAuXuAuAXAXA®®--==-- puisque u est dérivable.

· Comme v est dérivable,

()()lim©() xavxvavaxa®-=-.

Ainsi, par produit,

()()()lim©()©()©()©() xauvxuvavauAvauvaxa®-=´=´-

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http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC d"analyse) Sujets de Bac 4ROC sur l'intégration et les primitives

L"objectif est ici d"établir l"existence d"une primitive pour les fonctions continues, croissantes et positives, et

le lien avec la notion d"aire sous la courbe. Le résultat sera ensuite admis pour les fonctions continues.

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est

dérivable et si pour tout x de I, F"(x) = f(x).

Théorème : Soit f une fonction continue, croissante et positive sur [a ;b]. Alors F admet une primitive sur cet

intervalle.

Démo

: Soit D le domaine défini par l"ensemble des points M(x ; y) tels que : a £ x £ b

0 £ y £ f(x) .

Soit x0 dans [a ;b], F(x0) l"aire du domaine défini par a £ x £ x0

0 £ y £ f(x) .

· Pour tout h > 0 tel que x0+h soit dans I, F(x0+h) - F(x0) est l"aire du domaine 00 0() xxxh yfx hachurée en bleu sur le graphique. · On peut alors encadrer cette aire par l"aire du petit rectangle de coté h /

0()fx et par l"aire du grand

rectangle de coté h / 0 ()fxh+. On obtient donc 0000()()()()hfxFxhFxhfxh´£+-£´+, cad 00

00()()()()FxhFxfxfxhh+-££+.

· Renouvelons cet encadrement pour h < 0, il vient 00

00()()()()FxhFxfxhfxh+-+££.

La fonction f étant continue, on a limh®0 f(x0+h) = f(x0) : par conséquent, d"après le théorème des gendarmes,

00

00()()lim()

hFxhFxfxh®+-=. Par définition, la fonction F est donc dérivable en x0 et on a 00©()()Fxfx=.

La fonction f admet donc une primitive, F.

y=f(x) b ax

0x0+hf(xo)f(xo+h)

h01 1 xy

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Sujets de Bac 5

Théorème (admis) : On admet que le résultat précédent se généralise aux fonctions continues, cad que si f est

définie et continue sur un intervalle I alors f admet une primitive sur I. Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I.

Alors il existe

une unique primitive F de f sur I telle que F(a) = 0 : cette primitive sera notée ()() x aFxftdt=.

Démo

Existence :

D"après le théorème précédent, l"existence d"une primitive de f sur I est établie. Soit donc G une

primitive de f sur I. Alors, la fonction F(x) = G(x) - G(a) est bien une primitive de f qui s"annule en a.

Unicité

: Soient F et G deux primitives de f sur I telles que F(a) = G(a) = 0.

On a F"(x) = G"(x) = f(x) donc sur I, (F-G)" = 0 donc la fonction F - G est constante sur I : il existe donc un

réel k tel que F = G + k. Comme F(a) = G(a), on trouve k = 0 et donc F = G. F est bien unique.

ROC sur la construction de l"exponentielle

Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f " = f et f(0) = 1.

Résultat Préliminaire : Si f est une fonction dérivable sur telle que f " =k f et f(0) = 1 alors f ne

s"annule pas sur

Démo

: Soit g(x) = f(x)f(-x), dérivable sur .

On a g"(x) = f "(x)f(-x) -f(x)f "(-x) = kf(x)f(-x) -f(x)( kf(-x) ) = 0 : g est donc constante et comme

g(0) = 1, pour tout x on a g(x) = 1. Comme g(x) = f(x)f(-x), g ne peut donc pas s"annuler.

Unicité

Soient f et g deux fonctions solution de notre équation y" = y avec f(0) = g(0) = 1 : posons alors

fhg= (g ne s"annule pas, résultat préliminaire), fonction dérivable sur On a

22©©©0fggffggfhgg--=== puisque f" = f et g" = g : la fonction h est donc constante sur , et comme

h(0) = 1, pour tout x, ()1()fx gx= d"où f = g. L"unicité est démontrée.

Existence

® L"existence est en général (plus ou moins démontrée) à l"aide de la méthode d"Euler et des approximations

affines.

Nous allons ici démontrer l"existence de cette fonction d"une manière " plus propre », à l"aide du logarithme

népérien.

· La fonction 1/x est continue sur

]0;[+¥, elle admet donc une unique primitive qui s"annule en 1 sur

cet intervalle (théorème précédent) : nous notons ln(x) cette fonction, et donc ln(1) = 0.

Par dérivation des fonctions composées on a : ()©ln©fff=.

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Sujets de Bac 6· Comme f ne s"annule pas (résultat préliminaire), l"équation f" = f devient alors

©()1ln()()fxfxxKfx==+ par intégration. De plus, comme f(0) = 1, il vient ln100KK=+=.

Ainsi,

ln()fxx=.

· Remarquons maintenant que la fonction ln est bijective (à l"aide du TVI) et a donc une fonction

réciproque. Nous l"appelons exponentielle, notée exp(x) : ainsi ()exp()()exp()fxxfxx=Û=±.

· Comme f(0) = 1, on en déduit que

()exp()fxx=, et par construction exp(x) est solution de f" = f.

ROC sur les propriétés de l"exponentielle

Définition : D"après le paragraphe précédent, il existe une unique fonction solution de f " = f avec f(0) = 1.

Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée exp(x). Propriété : L"exponentielle ne s"annule pas sur et on a exp(-x) = 1 exp()x.

Démo

: elle a été faite au paragraphe précédent (vous devez savoir la refaire). Avec ()()()gxfxfx=-, nous avons prouvé que g(x) = 1 d"où le second résultat. Propriété : L"exponentielle est strictement positive sur .

Démo

: Supposons le contraire cad qu"il existe un réel a tel que exp(a) £ 0 : on a forcément exp(a) < 0

puisque exp ne s"annule pas.

Mais la fonction exp est continue sur

(car dérivable) et on a exp(0) = 1 > 0, exp(a) < 0 donc d"après le TVI,

0 admet un antécédent entre 1 et a : absurde car exp est toujours non nul.

Propriété : L"exponentielle est strictement croissante sur .

Démo

: évident puisque exp"(x) = exp(x) > 0. Propriété : Pour tout réel a et b, exp(a+b) = exp(a)exp(b).

Démo

: posons ()()()gxfxafx=+- : g est dérivable et g est donc constante et comme g(0) = exp(a), pour tout x on a ()()exp()exp()exp()exp()exp()exp()gxgaxaxaxaxa=Û+´-=Û+=´ puisque exp(-x) = 1 exp()x. Cette dernière propriété est à la base de la notation puissance exp() xxe=, elle caractérise même la fonction exponentielle.

Les propriétés de la fonction exponentielle se déduisent pour la plus grande partie de ces derniers résultats, en

utilisant le fait que ces deux fonctions sont des bijections réciproques l"une de l"autre.

Allez voir votre cours !

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Tout part de ce résultat !

Théorème : lnlim0xxx®+¥=

Démo

: Il s"agit de comparer ln(x) et x ; lorsqu"on trace ln, on voit que sa courbe ressemble pas mal à celle de

x d"où l"idée de regarder plutôt lnlimxx x®+¥. Etudions la fonction ln()xfxx= : 11ln

2ln2©()2xxxxxfxx

xx , donc f a un maximum en 2xe=, qui est 22()fee=. Par ailleurs si on prend x > 1, il est clair que f est positive. On peut donc écrire

20()fxe££ d"où en divisant

tout par x qui est positif, 1ln2ln200xx xxxexex££Û££.

D"après le théorème des gendarmes,

lnlim0x x x®+¥=.

Propriété : lnlim0nx

x x

®+¥=, (2)

0limln0n

xxx+®=,

Démo

: Utilisons le théorème précédent : (1) En multipliant par 1 1 nx- qui tend également vers 0 on a lnlim0nx x x (2) En faisant le changement de variable

1Xx=, X tend vers 0+ et

00limln0limln0nn

XxXXxx++®®-=Û=.

Propriété : (1)lim

x xe x®+¥=+¥lim0x xxe®-¥= lim0nx xxe®-¥=

Démo

(1) En faisant le changement de variable lnXxeXx=Û= on a : lnlnlim0limlimlimX nXxxXXxxXe xXxe (2) en posant Y = -X,

1limlimlim0lim0

YYx

YYYYxeYexeYYe-

(3)

11limlimlimlimlim

nnnxxxnxXnnn nnnxxxxX eeeee xxxXxnnnnn ; de la même manière que précédemment on a lim0nx xxe®-¥=.

En conclusion

: à l"infini (+ ou -) l"exponentielle l"emporte sur n"importe quel polynôme, lequel l"emporte toujours sur ln en

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http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC d"analyse) Sujets de Bac 8ROC sur l"intégration par parties (IPP)

Théorème : Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] admettant des dérivées u" et v" continues, alors

bbb aaautvtdtutvtutvtdt=-.

Démo

Il suffit de dériver uv :

[]()()©©()()()©()utvtutvtutvt=+ : toutes les fonctions considérées sont continues on peut

intégrer cette relation entre a et b, ce qui donne le résultat.

ROC sur les équations différentielles

Théorème : Soit a un réel. Les solutions de l"équation différentielle y" = ay sont les fonctions de la forme

(),axfxKeK=Î.

Démo

Une démonstration possible est la suivante (rappelons que si y" = ay, on a déjà vu que y ne s"annulait pas).

On a y" = ay soit

©lnaxKKaxaxyayaxKyeeeyCey

+==+Û==Û=±, C réel positif non nul.

Théorème : Soient a et b deux réels (donc constants !). Soit (E) l"équation différentielle y" = ay + b.

Il existe une unique fonction f solution de (E) et telle que

00()fxy=.

Démo

® Cherchons une solution particulière de (E) qui soit constante. Posons f(x) = c.

0f est solution de (E) si 0 = ac + b donc la fonction 0()bfxa=- est une solution particulière de (E).

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