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Les courbes de Bezier : un outil au service des

enseignants du secondaire

Hedi Abderrahim

1 Introduction

1.1 N.B :

Dans toute la suite de ce document, le mot"graphique"designera la courbe representative d'une fonction dans un plan muni d'un repere orthonorme.

1.2 La problematique

Pour illustrer une certaine notion d'analyse du programme de la 3 emeou de la 4eme, il arrive souvent a l'enseignant d'avoir recours a un graphique. Encore plus, dans le fascicule des programmes ociels tunisiens des 3 emeet des 4emeet plus precisement dans les paragraphesa developper, on lit : aux pages : 9, 17, 24, 46, 54, 60/79 : Reconna^tre si une fonction est continue en un point ou sur un intervalle a partir de son expression algebrique ou d'ungraphique aux pages : 10, 18, 25, 46, 54, 60 /79 : Determiner le sens de variation d'une fonction a partir de sarepresentation graphique Le probleme ne serait pas pose si le professeur avait a presenter son exemple au tableau : il pourrait, a main levee, tracer facilement la courbe qui lui convient tout en tenant compte des contraintes qui lui sont imposees. Mais des qu'il a a presenter un graphique lisible et bien soigne sur papier, a titre d'exemple : qui lui permettra d'evaluer les competences de ses eleves a traduire certaines caracteristiques d'une courbe en termes de proprietes de la fonction qu'elle represente, sa t^ache sera delicate et "laborieuse" ! Pour ce faire, les logiciels grapheurs nous garantissent un travail de qualite de point de vue soin, mais ces outils ne fonctionnent pas de leurs bons gres, il faut que l'operateur leur fournisse les expressions algebriques des fonctions qu'il veut representer : trouver la fonction adequate n'est pas toujours une aaire aisee. Ci-dessous, je vous propose deux exemples de graphiques que j'ai pris de deux devoirs publies par leurs redacteurs sur internet et je vous laisse le soin d'imaginer les eorts et le temps qu'a necessites l'elaboration de chacun d'eux : 1

Exemple 1Exemple 2

1.3 La question et un outil-solution

Peut-on trouver un outil qui nous permettra de confectionner des graphiques aussi soignes mais sans qu'on soit oblige de rechercher des expressions algebriques des fonctions qui tiennent compte des caracteristiques qu'on veut assigner a la courbe ? Dans la suite de ce document, on va voir comment est-ce que lescourbes de Bezierpeuvent faire l'aaire : regrouper le soin des grapheurs et l'aisance du travail a main levee .

2 Courbes de Bezier

2.1 Aspect pratique

L'idee directrice est de tracer une courbe en deplacant le barycentre d'un certain nombre de points aectes de coecients dependants d'une variable, appelespoints de contr^ole. On peut deformer la courbe jusqu'a l'obtention du trace desire : ca nous permet, entre autres, de tracer des courbes en contr^olant les points de passage et leurs tangentes d'avoir de formes elementaires variees (courbe convexe, courbe concave, courbe ad- mettant une in exion ...) Cet outil a ete mis au point, vers 1962 par Pierre Bezier, ingenieur chez Renault, pour obtenir le trace de courbes planes (ou de l'espace) soumises a certaines conditions. 1

2.2 Exemple d'illustration

On se donne :

une variable reellet2[0;1] quatre points :C0;C1;C2etC3qui nous serviront de points de contr^ole des courbes a tracer1 page 42, Term S Specialite, NATHAN, Ao^ut 1994 2 les points : {A0barycentre du systemef(C0;1t);(C1;t)g {A1barycentre du systemef(C1;1t);(C2;t)g {A2barycentre du systemef(C2;1t);(C3;t)g {B0barycentre du systemef(A0;1t);(A1;t)g {B1barycentre du systemef(A1;1t);(A2;t)g {Mbarycentre du systemef(B0;1t);(B1;t)g Remarque :Pour chaque systeme, la somme des coecients est toujours : (1t) +t= 1 ainsi :

M= (1t)B0+tB1

= (1t)[(1t)A0+tA1] +t[(1t)A1+tA2] = (1t)2A0+ 2t(1t)A1+t2A2 = (1t)2[(1t)C0+tC1] + 2t(1t)[(1t)C1+tC2] +t2[(1t)C2+tC3] = (1t)3C0+ 3t(1t)2C1+ 3t2(1t)C2+t3C3 3X k=0 k 3! (1t)3ktkCk3

Animation : sous formats .ggb et .html

http://mongeogebra.com/ggbg/2019/01/02/courbe-de-bezier-ensemble-de-barycentres/Animation : sous format .mp4 (video)

https://www.youtube.com/watch?v=H8CYTMzlLaU&t=44s2.3 Types de courbes de Bezier utilisees Dans ce document, on se limitera aux courbes planes de Bezier tracees dans un plan muni d'un repere orthonorme et en particulier, celles : d'ordre 2 : elles necessitent trois points de contr^ole (C0;C1;C2). Une telle courbe est la courbe parametree ensemble de points :

M(t) = (1t)2:C0+ 2(1t):t:C1+t2:C2t2[0;1]

celles d'ordre 3 : elles necessitent quatre points de contr^ole (C0;C1;C2;C3). Une telle courbe est la courbe parametree ensemble de points : M(t) = (1t)3:C0+ 3(1t)2:t:C1+ 3(1t):t2:C2+t3:C3t2[0;1] 4 courbe de Bezier d'ordre 2courbe de Bezier d'ordre 3 Points de contr^ole (A;B;C))Points de contr^ole (A;C;B;D))2.4 Quelques proprietes Une courbe de Bezier d'ordren1 necessiten+1 points de contr^ole (C0;C1;:::;Cn). Si (C0;C1;:::;Cn);sont les points de contr^ole d'une courbe de Bezier alors, en general, elle passe parC0etCnet ne passe pas par ses autres points de contr^ole. La droite (C0C1) est tangente a la courbe en (C0) et La droite (Cn1Cn) est tangente a la courbe en (Cn) Si on change l'ordre dans lequel sont selectionnes les points de contr^ole on obtiendra une courbe dierente.

3 Le hardware et le software

Dans cette section, on va voir comment peut-on traiter les courbes de Bezier avec le logiciel GeoGebra qui nous servira de grapheur pour regenerer les courbes des exemples

1 et 2 du sous-section1.2 La problematique(ci-dessus).

3.1 courbe de Bezier d'ordre 2

3.1.1 Tracage : Methode 1

Cette methode consiste a :

xer 3 points non alignesA;BetCdans la zone du travail creer un curseur t qui varie de 0 a 1 dans la zone de saisie, ecrire :M= (1t)2A+ 2t(1t)B+t2C Un pointMappara^tra dans la zone de travail. Pour avoir le trace continu du lieu de point M, on cliquera dessus puis sur le curseur t apres avoir active l'outil "Lieu". Ci-dessous un exemple du resultat obtenu : 5 Commentaire :l'inconvenient majeur de cette methode est que le graphique obtenu comme etant un lieu n'est pas exploitable en vue d'autres illustrations. Pour cela, on prefere a cette methode1 la methode2 que nous presentons ci-dessous.

3.1.2 Tracage : Methode 2

Idee de la methode: cette 2ememethode est le resultat de l'application de la com- mande Courbe(,,,,) qui permet de representer une courbe plane parametree. Une telle courbe est consideree comme etant un ensemble de points dont l'abscisse et l'ordonnee sont deux fonctions du parametre t. l'expressione1est celle de l'abscisse (x(t)) en fonction de la variable t, (dans notre cas) l'expressione2est celle de l'ordonnee (y(t)) en fonction de la variable t, (dans notre cas) : a remplacer par t dans notre cas : a est la valeur minimale permise a la variable (c'est 0 dans notre cas) : b est la valeur maximale permise a la variable (c'est 1 dans notre cas)

Etapes a suivre

xer 3 points non alignesA;BetCdans la zone du travail ecrire dans la zone de saisie :

Courbe((1t)2x(A) + 2t(1t)x(B) +t2x(C);

(1t)2y(A) + 2t(1t)y(B) +t2y(C); t;0;1) 6 Une macro construction sous formats .ggt et .html cles en main http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/05/macro-courbe-de-bezier-dordre-2/Travail a faireIc^one activer l'ic^one qui se trouve a l'extremite droite de la barre d'outils (Image ci-contre) faire 3 clics dans la zone du travail (pour

regenerer les 3 points de contr^ole)Ci-dessous une image du graphique obtenu a partir du chier .html :

3.1.3 Tangente a une courbe de Bezier d'ordre 2 en l'un de ces points

1 ercas :le point de tangence est l'une des extremites Si le point concerne est le 1erde la liste de points de contr^ole alors il sut de tracer la droite qui passe par ce point et celui qui lui succede dans la liste (le 2 emedans ce cas). Si le point concerne est le dernier de la liste de points de contr^ole alors il sut de tracer la droite qui passe par ce point et celui qui le precede dans la liste (c'est encore le 2 emedans ce cas). Autres procedes :pour tracer la tangente en l'une des extremites, il est aussi possible d'activer l'outilTangentespuis selectionner l'extremite concernee puis le 2emede la liste de points de contr^ole (Exemple : dans la gure ci-dessous, la droiteTAest la tangente a la courbeaenA) 7 tracer un vecteur directeur de la tangente (Exemple : dans la gure ci-dessous, le vecteur !u=!CBest un vecteur directeur de la tangente a la courbeaenC. On se contentera de ce vecteur surtout que la fonction n'est pas denie donc on ne peut pas parler de sa derivabilite a droite enx(C))2 emecas: le point de tangence n'est pas l'une des extremites Le lien suivant vous menera a une video qui illustre les etapes a suivre pour construire une tangente a partir du chier .ggt elabore :

https://www.youtube.com/watch?v=tLvIieALJpILe chier .ggt qui contient les outils de construction de la courbe de Bezier d'ordre 2 ainsi

que la tangente en l'un de ses points est accessible via le lien :

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/11/deux-macros-bezier2-tang-pnt/Remarque :En plus de son format .ggt, ce chier s'y trouve sous format .html.A ces

deux chiers est ajoutee une video ou nous avons detaille les etapes de la construction.

3.1.4 Arc en une extremite d'une courbe : point exclu

Soit la fonctiongdenie par :g(x) =(x2+ 1 si2x <1

3x4 si 1x3

Soit les pointsGv(1;12+1 = 2) dont l'ordonnee est l'image de 1 par la 1ereexpression de getGr(1;314 =1) dont l'ordonnee est l'image de 1 par la 2emeexpression deg. On note quegn'est pas continue a gauche en 1 mais elle est continue a sa droite doncCgpresentera une rupture au niveau dex= 1 :Cgsera la reunion de deux "morceaux" separes. (On designe parCgla courbe representative deg) Pour traduire graphiquement que l'image de 1 pargse calcule a l'aide de la 2emeexpres- sion et non pas la 1 ere, c'est a dire queGv=2CgetGr2Cg, on fait coller a la partie de C gqui correspond a l'intervalle [2;1[ et de son c^ote droit un petit arc de cercle qui passe parGvet ayant pour extremites deux points n'appartenant pas aCgcomme l'illustre la gure suivante : 8 Mais comment y parvenir ?: Un chier .ggt qui contient la macroarcbornest prepare au prealable. Il est accessible via le lien ci-dessous. Ce chier est aussi propose sous format .html http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/10/macro-arc-extrem-courbe-pnt-exclu/Les etapes a suivre : on saisit les expressions algebriques de la fonction puis on valide, alors la courbe de la fonction se trace on cree le point auquel on va attacher l'arc (l'equivalent deGvdans notre exemple.

Ce point sera cache une fois l'arc est trace)

on active la macroarcbornpar le biais de son ic^one a l'extremite droite de la barre d'outils on clique surGvpuis on s'en eloigne un peu dans le sens retrograde et on fait un 2 emeclic : un nouveau point s'ache on manie ce nouveau point avec la souris an de donner a l'arc le rayon et l'orientation desires une fois les apparences souhaitees sont atteintes, ce point sera cache. Le lien suivant vous menera a une video ou nous appliquons la demarche decrite par les etapes ci-dessus : https://youtu.be/7KykYdJNStE3.2 courbe de Bezier d'ordre 3

3.2.1 Tracage : Methode 1

Cette methode consiste a :

9 xer 4 points non alignesA;B;CetDdans la zone du travailquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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