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Chapitre 6MOD 3

Courbe de Bezier

À la fin de ce chapitre, vous devez être capable de : •Étudier et construire une courbe de Bézier définie par vecteurset contraintes. •Définir (sous forme paramétrique), étudier et construire une courbe de Bé- zier définies par des points de contrôle. •Construire un point de la courbe par barycentres successifs. •Déterminer un vecteur tangent en un point d"une courbe de Bézier.

Introduction.

6.1?Courbes définies par barycentres successifs.

" L"industrie crée des objets dont il faut définir la forme, plane ou dans l"espace : au-

tomobiles, avions, électroménager...Jusqu"à il y a une trentaine d"années, on créait des

maquettes, à une échelle donnée de l"objet. Les modifications obligeaient à en créer plu-

sieurs, ce qui entraînait des problèmes de coût et de durée. Et l"informatique arriva...et

fit appel aux mathématiques. C"est dans les bureaux d"études de constructeurs automobiles ou aéronautiques que furent

inventés les modèles mathématiques capables de favoriser la création et la modélisation

des formes. »

J.-P. Pouget, dans Repères IREM, n

o14

Nous allons étudier un modèle créé vers 1962 par Pierre Bézier, ingénieur chez Renault.

Ce type de modèle est à la base de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO). L"enjeu est de pouvoir créer des courbes répondant à certaines contraintes de façon simple.

Partie A - Construction d"un segment

À l"aide du logiciel Geogebra :

1.Placer 2 pointsAetB.

2.Créer un curseurtallant de 0 à 1, et ce de 0,01 en 0,01.

3.Créer le pointM, barycentre de (A,t) etB(1-t). (Dans la barre de saisie, entrer

la commande :M=barycentre[{A,B},{t,1-t}]).

4.Activer la trace du pointM, puis modifier la valeur detà l"aide du curseur.

Quel est l"ensemble décrit par le pointMlorsquetvarie entre 0 et 1?

Partie B - Construction d"un arc de parabole

À l"aide du logiciel Geogebra, sur une nouvelle figure :

1.Placer 3 pointsA,BetC.

2.Créer un curseurtallant de 0 à 1, et ce de 0,01 en 0,01.

3.Créer les barycentres suivants :

•N1, barycentre de (A,t) etB(1-t). 1 •N2, barycentre de (B,t) etC(1-t). •M, barycentre de (N1,t) etN2(1-t).

4.Activer la trace du pointM, puis modifier la valeur detà l"aide du curseur.

Observer et compléter les remarques suivantes : •Les pointsM(t) décrivent une courbe de degré ...qui commence en ...et se finit en .... •La courbe a pour tangente initiale la droite ...et pour tangente finale la droite •Plus genéralement, en tout pointM, la tangente à la courbe est le segment ... •Le pointM(t) se situe sur le segment [......] à la même proportion queN1par rapport au segment [......] ouN2par rapport au segment [......]

5.Désactiver la trace deMet utiliser la commandelieu[M,t]pour afficher la position

de tous les pointsMlorsquetvarie entre 0 et 1. Déplacer le pointBet observer les effets sur la courbe.

Partie C - Construction d"un arc de cubique

À l"aide du logiciel Geogebra, sur une nouvelle figure, placer 4 pointsA,B,C, etD:

1.Placer les barycentresM1,M2,M3,N1,N2etMdéfinis par le schéma suivant :

DCBA M 1(t) M 2(t) M 3(t)N 1(t) N

2(t)M(t)

1-t t 1-t t 1-t t 1-t t 1-t t 1-t t

2.Créer le lieu de pointsMlorsquetvarie entre 0 et 1 avec la commandelieu(M,t)

3.Compléter :Les pointsM(t) décrivent une courbe de degré ...qui commence en ...et se finit

en .... La courbe a pour tangente initiale la droite ...et pour tangente finale la droite ....

4.Déplacer les 4 pointsA,B,CetDpour former :

•une courbe ressemblant à la courbe de la fonctionx3; •une courbe ressemblant à la lettreα; •une courbe avec un point de rebroussement (comme le point médian dans le chiffre 3). 2

Partie D - Paramétrisation des courbes

À l"aide du logiciel Xcas :

1.Définir les pointsA:= [-2,2],B:= [2,-2] etM:=t×A+ (1-t)×B.

2.Tracer la courbe des pointsMavec la commande paramplot(M[0]+i×M[1],t=0..1)

et vérifier que l"on obtient bien le segment [AB].

3.Adapter la feuille de calcul pour avoir la courbe de Bézier associée aux points

A:= [-2,2],B:= [2,-2] etC:= [3,5].

4.En utilisant l"arbre donné dans la partie C, trouver un moyenpour obtenir le point

Mdirectement à partir des pointsA,B,CetD.

Remarques : voir

Wikipediapour les multiples applications des courbes de

Bezier.

6.2Modèle Barycentrique.

Dans un repère orthonormé, on considère les pointsA(1;3),B(3;6), etC(7;9).

1.Soittun nombre compris entre 0 et 1. On considère le pointN1(t) barycentre de

(A;1-t) et (B;t) et le pointN2(t) barycentre de (B;1-t) et (C;t). a.Montrer que le pointN1(t) a pour coordonnées (1 + 2t; 3 + 3t). b.Montrer que le pointN2(t) a pour coordonnées (3 + 4t; 6 + 3t).

2.Soittun nombre compris entre 0 et 1. On considère le pointM(t) barycentre de

(N1(t);1-t) et (N2(t);t). a.Montrer que le pointM(t) a pour coordonnées (2t2+ 4t+ 1 ; 3 + 6t). b.Dresser le tableau des variations conjointes dex(t) ety(t). c.Tracer la courbeCde l"ensemble des pointsM(t) obtenus lorsquetparcourt l"intervalle [0 ; 1]. d.Vérifier que : i.la courbe commence enAet fini enC; ii.la droite (AB) est tangente àCenA iii.la droite (BC) est tangente àCenC; iv.la droite (N1(t)N2(t)) est tangente àCenM(t). 3

6.3Modèle par vecteurs et contraintes.

Le plan est muni d"un repère orthonormal (O;?i,?j).

On considère les vecteurs

V 0?13?

V1?23?

et

V2?43?

On admet que la courbe de BézierCdéfinie par contrainte des trois vecteurs-→V0,-→V1, et

V2a pour représentation paramétrique

OM(t) =-→V0+ (-t2+ 2t)-→V1+t2-→V2.

où le nombre réeltvarie dans [0;1].

1.Exprimer, en fonction det, les coordonnéesx(t) ety(t) deM(t).

2.Vérifier que :

a.-------→OM(0) =-→V0 b.-------→OM(1) =-→V0+-→V1+-→V2 c.le vecteur-→V1est un vecteur directeur de la tangente à la courbe enM(0). d.le vecteur-→V2est un vecteur directeur de la tangente à la courbe enM(1).

3. Lien avec le modèle Barycentrique.

a.Vérifier que la courbe définie dans cet exercice est identiqueà celle obtenue dans l"exercice précédent. b.En reprenant les pointsA,BetCdéfinis dans l"exercice précédent, vérifier que l"on a : i.-----→OA=-→V0 ii.-----→AB=-→V1 iii.-----→BC=-→V2 Remarque : Le lien entre approche par vecteurs et contraintes d"une part et par points de contrôle d"autre part n"est pas particulier à cet exercice mais valable d"une façon générale.

Étude de courbes de Bézier

6.4Polynômes de Berstein.

On rappelle que les polynômes de Bernstein de degré 3 sont lesfonctions polynômes définies par : B i,3(t) =3! i!(3-i)!ti(1-t)3-i

1.Développer et réduire les polynômes de Berstein :

B

0,3(t) ;B1,3(t) ;B2,3(t) etB3,3(t)

2.Vérifier que3?

i=0B i,3(t) = 1. 4

6.5On considère les pointsP0(0;0),P1(1;2),P2(2;0) etP3(-1;0) et on noteCla courbe

de Bézier associée à ces 4 points de contrôle. On rappelle que la courbe de Bézier associée aux points de définitionPi(0?i?3) est l"ensemble des pointsM(t) tels que :

OM(t) =3?

i=0B i,3(t)------→OPioùBi,3(t) = Ci3ti(1-t)3-i.

1.Montrer queCadmet pour représentation paramétrique :?x(t) =-4t3+ 3t

y(t) = 6t3-12t2+ 6t

2.Établir le tableau des variations conjointes.

3.Dans le repère orthonormal (O;?i,?j) placer les pointsM(1

2) etM(13) et leurs tan-

gentes respectives, puis construire la courbeC.

4.Vérifier que la droite (P0P1) est tangente àCenP0et que la droite (P2P3) est

tangente àCenP3.

6.6Le plan est muni d"un repère (O;?i,?j).

On considère les pointsP0(0;0),P1(1;2),P2(3;2) etP3(4;0).

1.Déterminer une représentation paramétrique de la courbeCde Bézier associée aux

4 points de contrôleP0,P1,P2etP3.

2.Établir le tableau des variations conjointes.

3.Préciser les points où la tangente est parallèle à l"un des axes du repère.

4.Tracer la courbe de Bézier dans le repère (O;?i,?j).

5.Reprendre les questions précédentes avec :

a.P0(0;0),P1(-1;2),P2(3;1) etP3(0;0). b.P0(0;0),P1(2;2),P2(0;2) etP3(2;0).

6.7Raccordement de deux courbes.

On considère les pointsP0(0;0),P1(1;1),P2(3;0),P3(5;-1) etP4(1;-1). Le plan est rapporté à un repère (O;?i,?j).

1.SoitC1la courbe de Bézier associée àP0,P1etP2.

a.Déterminer une représentation paramétrique deC:?x=f1(t) y=g1(t) b.Établir le tableau des variations conjointes def1etg1. c.TracerC1.

2.SoitC2la courbe de Bézier associée àP2,P3etP4.

a.Déterminer une représentation paramétrique deC2:?x=f2(t) y=g2(t) b.Établir le tableau des variations conjointes def2etg2. c.TracerC2dans le même repère que précédemment.

3.Vérifier qu"enP2,C1etC2ont la même tangente.

5

Annales

6.8France 2014 CPI

Dans le repère (O;?i,?j), on se donne les points O, A, B, C et F de coordonnées :

O(0 ; 0),A(-5 ; 3),B(-2 ; 4),C(-4 ;-5) et F?

2 ;5 2? Le point E est le symétrique du point C par rapport au point O. La courbe de BézierC1est obtenue à partir des quatre points, de définition A, B, C etO dans cet ordre. La courbe de BézierC2est obtenue à partir des quatre points de définition O, E, A et F dans cet ordre.

Partie A - Tracé de l"arc de courbeC1.

1.Sur le graphique ci-dessous, placer les points A, B, C et O puis les tangentes à la

courbeC1aux points A et O.

2.Pour touttappartenant à l"intervalle [0; 1], on noteM1(t) le point de paramètre

tde la courbeC1. Sur le graphique, les pointsM1?1

4?etM1?12?sont déjà placés.

Pour chaque valeur det?[0 ; 1], l"algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau) permet de construire le pointM1(t). Utiliser cet algorithme pour construireM1(t).On laissera apparents les traits de construction.

3.À l"aide des éléments construits, tracer l"allure de la courbeC1.

12345
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7-8-9 M

1(1/4)

M

1(1/2)

6 Partie B - Étude et tracé de l"arc de courbeC2. Pour touttappartenant à l"intervalle [0; 1], on noteM2(t) le point de paramètretdéfi- nissant la courbe de BézierC2. On rappelle que les polynômes de BernsteinBi,3de degré 3, pouriprenant les valeurs 0,

1, 2 ou 3, sont définis pour touttappartenant à l"intervalle [0; 1] par :

B i,3(t) =3! i!(3-i)!ti(1-t)3-i. Comme l"origine du repère est un des points de définition les pointsM2(t) sont donc définis, par la relation vectorielle simplifiée : OM2(t) =B1,3(t)----→OE +B2,3(t)----→OA +B3,3(t)----→OF,pourt?[0 ; 1].

1.Déterminer les coordonnées du point E. Placer les points E etF sur le graphique

de la partie A.

2.Développer, réduire et ordonner le polynômeB2,3(t).

3.On admet que, pour touttappartenant à l"intervalle [0; 1], on a :

B

0,3(t) =-t3+ 3t2-3t+ 1

B

1,3(t) = 3t3-6t2+ 3t

B

3,3(t) =t3.

Montrer que l"abscissexdu pointM2(t) de la courbeC2admet pour expression : x=f(t) = 29t3-39t2+ 12t,pourt?[0 ; 1].

4.a.Calculerf?(t) où,f?est la dérivée de la fonctionf, définie sur l"intervalle [0; 1]

parf(t) = 29t3-39t2+ 12t. On admet que la fonctionfest dérivable. b.Résoudre l"équationf?(t) = 0 sur l"intervalle [0; 1]. Donner une valeur appro- chée à 10 -2près des deux solutions que l"on nommerat1ett2avect1< t2. c.On admet que l"ordonnéeydu pointM2(t) de la courbeC2a pour expression : y=g(t) = 8,5t3-21t2+ 15tpourt?[0 ; 1]. On admet également que la fonctiongainsi définie est strictement croissante sur l"intervalle [0 ;α[, décroissante sur l"intervalle [α; 1], oùα≈0,52, que f(α)≈ -0,23, et queg(α)≈3,32 à 10-2près. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctionsfetgsur l"intervalle [0; 1].

5.À l"aide du tableau des variations conjointes précédent, préciser le ou les points de

la courbeC2où la tangente est parallèle à l"axe des abscisses. Préciser également le ou les points de la courbeC2où la tangente est parallèle à l"axe des ordonnées.

6.Compléter le tableau de valeurs des fonctionsfetgdonné ci-dessous. Les résultats

seront donnés à 10 -2près. t00,100,200,300,520,700,800,901 f(t)0-0,23 g(t)03,32 7

7.Tracer les tangentes à la courbeC2, aux pointsM2(0),M2(t1),M2(α),M2(t2) et

M

2(1), puis tracer la courbeC2,sur la figure de la partie A.

Partie C - Étude de la réunion des deux courbes

1.Les deux courbesC1etC2se raccordent en O. Montrer qu"elles ont même tangente

en ce point

2.Si on change les coordonnées de l"un des points de définition autre que le point O

d"une des deux courbes, les courbesC1etC2ont-elles toujours même tangente au point O? Justifier votre réponse.

3.La boucle de la lettre " v » minuscule ne satisfait pas au concepteur. Pour remédier

à cela, il décide de déplacer le point F en F ?(2; 2) sans bouger les autres points de définition. Indiquer l"impact que ce déplacement a sur la taille de la boucle du "v» minuscule. On ne fera aucun calcul pour répondre à cette question.

6.9France 2013 CPI

Soitmun réel strictement positif dont on ne connait pas la valeur. On considère les pointsP0(0 ; 0), P1(1 ;m) etP2(3 ; 0) dans un repère orthogonal (O;?u,?v) d"unité graphique 4 cm sur l"axe des abscisses et 2 cm sur l"axe des ordonnées. On remarque queP0est égal àO, origine du repère. On considère la courbe de Bézier définie par les points de définitionP0,P1,P2. Soittun réel variant entre 0 et 1. On poseB0,2(t) = (1-t)2, B1,2(t) = 2t(1-t) etB2,2(t) =t2. On rappelle que la courbe de Bézier définie par trois points dedéfinitionP0,P1,P2est décrite par le pointM(t) qui satisfait à l"égalité vectorielle

OM(t) =2?

i=0B i,2(t)------→OPi. Commemest variable on a une famille de courbes de Bézier de paramètrem.

On note Γ

mla courbe de Bézier associée au paramètrem.

Partie A - Travail graphique

1.On prendm= 8. Placer les pointsP0,P1etP2sur le graphique donné plus bas.

2.Quels sont les éléments géométriques que vous pouvez déjà donner pour la construc-

tion de la courbe de Bézier définie par ces trois points de contrôle?

3.Construire graphiquement (par la méthode des barycentres ou par toute autre

méthode) le pointM?1

2?de cette courbe.

4.À l"aide des questions 2. et 3. tracer l"allure de Γ8, la courbe de Bézier correspondant

àm= 8.

5.On prend maintenantm= 1,5. Placer, sur le même graphique, les nouveaux points

P

1etM?1

2?correspondant à cette valeur dem.

6.Tracer l"allure de Γ1,5.

8

12345678

-10,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5m= 8

Partie B - Travail numérique

Soit le pointA(1 ; 2). On se demande s"il existe une courbe de la famille de courbes Γm qui passe par le pointA.

1.Placer le point A sur le graphique. Au vu des deux courbes tracées dans la partie

A, que peut-on supposer sur la valeur dem?

2.Démontrer que les coordonnées deM(t) parcourant Γmsont :

x(t) =t2+ 2t y(t) =m×2t(1-t) On remarque que l"ordonnée deM(t) dépend detet dem.

3.Justifier que l"on est conduit à résoudre le système de deux équations à deux

inconnuestetmsuivant : t2+ 2t-1 = 0 (1)

2mt(1-t) = 2 (2)

4.On calcule d"abord les valeurs detpossibles. Pour cela, résoudre l"équation (1)

pourtvariant dans [0; 1]. En déduire qu"il existe une unique solutiont0dont on donnera la valeur exacte.

5.Remplacertpart0dans l"équation (2). En déduire qu"il existe une seule valeur de

mpossible que l"on noteram0. En déterminer une valeur approchée à 10-3près.

6.Y a-t-il une courbe de la famille Γmqui passe par le point A? Si oui, laquelle?

9

Partie C - Vérification

Pour la suite de l"exercice, on choisit pourmla valeurm0= 4,12. On considère la courbe de Bézier Γ m0.

1.Un tableau de valeurs (t, x(t), y(t)), établi pour la valeurm=m0, est proposé

ci-dessous. Compléter ce tableau à l"aide de la calculatrice. Donner lesrésultats arrondis à 10 -2. On ne demande pas d"étudier les variations conjointes dex(t) ety(t). ABC 2000

30,10,210,74

40,20,441,32

5 6 7quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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