[PDF] Formulaire courbes de Bézier de degré 2 et 3

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Formulaire

courbes de Bézier de degré 2 et 3I I"11 Réalisé par Alexandre Christophe GLON le 29-01-2019 22

Table des matières

Bibliographie

Equations des courbes de Bézier de degré 2................................... pages 4 et 5 Equations des courbes de Bézier de degré 3................................... pages 6 et 7

Courbes de Bézier 3 spéciales........................................................... page 8

Changement de paramètres d"une courbe de Bézier .................... page 9 Intersection d"une droite avec une courbe de Bézier .................... page 10

Estimation de paramètre t ................................................................ page 11

Parabole paramétrique , calcul du sommet et du foyer .............. pages 12 et 13 Points stationnaires et de croisement d"une courbe de Bézier .... pages 14 et 15 Subdivisions récursives (De Casteljau) .......................................... pages 16 et 17 Réunion de 2 courbes de Bézier ...................................................... page 18 Distance d"un point à une courbe de Bézier .................................. page 19 Centre de courbure (cercle osculateur) .......................................... page 20 Paramétrisation d"une fonction de 2ème ou 3ème degré ............. page 21 Aire, abscisse curviligne d"une courbe de Bézier .......................... pages 22 et 23 Simulation d"un arc de cercle par une courbe de Bézier .............. pages 24 et 25 Simulation d"un arc de clothoïde par une courbe de Bézier ........ pages 26 et 27 Courbe de Bézier passant strictement par 3 et 4 points............... pages 28 et 29 Lissage d"un polygone par approximation dichotomique............. pages 30, 31, 32, 33 et 34 Rotation d"une courbe Bézier par changement de base............... page 35

Résolution d"une équation du 3ème degré ................................... pages 36 et 37

[1] Modèles de Bézier des B-Splines et des Nurbs par G. DEMENGEL et J.P. POUGET éditions Ellipses

[2] Topographie et topométrie modernes tome 1 : par S. MILLES et J. LAGOFUN éditions Eyrolles [3] Topographie et topométrie modernes tome 2 : par S. MILLES et J. LAGOFUN éditions Eyrolles [4] Cours de géométrie : par M. TROYANOV Presses polytechniques et universitaires romandes [5] Method"S classe de première : par T. PETIT éditions Ellipses 33
Équations des courbes de Bézier de degré 2 [1] Pour calculer les coordonnées d"un point M(t) de la courbe il faut connaitre son paramètre t

Les points A0 A1 A2 sont les points de dénitions d"une courbe paramétrique de Bézier de degré 2

Equations vectorielles et analytiques de

C 2 OM (t) = (1-t)²OA? + 2t(1-t)OA? + t²OA? xM (t) = (1-t)² xA0 + 2t(1-t) xA≈ + t² xA? yM (t) = (1-t)² yA0 + 2t(1-t) yA≈ + t² yA?OM (t) = t²(A?A?+A?A?) + 2t(A?A?) + OA? a) selon les polynômes de Bernsteinb) dénition canonique ( selon les puissances de t)x = f (t) = t² (xA0 - 2xA≈ + xA?) + 2t(xA≈ - xA0) + xA0 y = g (t) = t² (yA0 - 2yA≈ + yA? ) + 2t(yA≈ - yA0) + yA0

M(t)M(t)

M(t)

Équations de la dérivée première des courbes de Bézier de degré 2 appelé aussi Hodographe premier

Dérivée seconde

* l'usage veut que le paramètre t - [0 1] OH

1(t) = 2

[ (1-t) (A?A?) + t(A?A?) ]

OH1(t) = -2[ (1-t)A? - (1-2t )A? - t A? ]

xH 1 (t) = 2[ (1-t) (xA≈ - xA0) + t (xA? - xA≈) ] yH 1 (t) = 2[ (1-t) (yA≈ - yA0) + t (yA? - yA≈) ] x= f (t) = 2 ( xA0 - 2xA≈ + xA? ] y= g (t) = 2 ( yA0 - 2yA≈ + yA? ]OH 1 (t) = 2t(A?A? + A?A?) + 2(A?A?) a") selon les polynômes de Bernstein oub") canonique (selon les puissances de t )x= f (t) = 2t (xA0 - 2xA1 + xA2) + 2(xA≈ - xA0) y= g (t) = 2t (yA0 - 2yA1 + yA2) + 2(yA≈ - yA0) M'(t) M'(t)

M''(t)

t>1t< 0A 1 A 0 A 2 xy

échelle 1

M(0,2)

34,1

49,3M(0,635)

M(1,1)

65,3
46,0
C 2

Exemple

x = f (t) = -108t² + 162t + 6 y = g (t) = -117t² + 90t + 36

la courbe C2 est une portion de paraboleLes vecteurs A0A1 et A2A1 sont respectivements tangent à C

2 en A0 et A2 t xM(t)yM(t) 160 9

0,234,1 49,3

0,344,9 52,5

0,453,5 53,3

0,560 51,8

0,63565,3 46,0

0,766,5 41,7

1,153,5 -6,6

0636
C2XY A0 A1 A2 636
87 81
60 9
G 44
xH

1(t) = (1-t)(162)+ t (90)

yH

1(t) = (1-t)(-54) + t (-144)

Hodographe

La dérivée " permet de connaitre le coef. directeur de la tangente à C 2 au point M(t) .L"hodographe H 1 est la représentation graphique de la dérivée première de la courbe C 2

DéΔnition matricielle dune B2

xM(t) yM(t) =1tt 2

100-2 2 01-2 1xA0 yA0xA≈ yA≈xA? yA?

OM(t) Od C 2

M(0.5)

Hodographe

Δ 0 -26,6°

H1 (0.5) H 1 (0.5) D0 (0) D1 (1)

échelle : 0,5

Exemple

x= f(t) = t (-216) + 162 y= g(t) = t (-234) + 90

29,1°0162,0 90,0

20,0°0,2118,8 43,2

11,5°0,397,2 19,8

-2,7°0,475,6 -3,6 -26,6°0,554,0 -27,0 -57,3°0,632,4 -50,4 -81,7°0,710,8 -73,8

83,7°0,8-10,8 -97,2

69,4°1-54,0 -144,0

txH 1 (t) yH 1 (t)

La tangente à C2 en un point M(t) =ou

= tan () yH 1(t) xH 1(t) M'(t) M'(t)

C2XY

D0 D1

162 90

-54 -144 p 2w n matrice de passagexA yA 55
P3 C 3

M(0,3)

M(0,7)

34,32
38,15

échelle 1

P0échelle : 1/3

A0 74,22
57,12

M"(0,3)

A1

A2P1P2

0≈

0

DéΔnition matricielle.

XY P0 P1 P2 P3 14 10 34 54
64 54
90 26
Les vecteurs P0P1 et P2P3 sont respectivements tangents à C3 en P0 et P3 XY A0= A1= A2=

60 132

90 0

78 -843(P0P1)

3(P1P2)

3(P2P3)

C3

Hodographe 1

er de C3 matrice de passage w t1t t²t p 3 xP yPxM(t)yM(t)

0 1 0 0 0 1 0 0 0 14 10 14,00 10,00

0,3 1 0,3 0,1 0,027×-3 3 0 0×34 54=34,32 38,15

0,7 1 0,7 0,5 0,343 3 -6 3 0 64 54 65,90 43,21

1 1 1 1 1 -1 3 -3 1 90 26 90,00 26,00

n

Dé0nition vectorielle, canonique, matricielle des pts. dune courbes de Bézier de degré 3

a) Dénition selon les polynomes de Bernstein. OM(t) = (1-t)³ OP + 3t(1-t)² OP + 3t²(1-t) OP + t³OP xM(t) = (1-t)³ xP? + 3t(1-t)² xP? + 3t²(1-t) xP + t³ xP yM (t) = (1-t)³ yP? + 3t(1-t)² yP? + 3t²(1-t) yP + t³ yP M(t) xM"(t) = 3[ (1-t)² (xP?-xP?) + 2t(1-t)(xP-xP?) + t²(xP-xP) ] yM" (t) = 3[ (1-t)² (yP?-yP?) + 2t(1-t)(yP-yP?) + t²(yP-yP) ]

M(t)

xM""(t) = 6[ (1-t) (xP-xP?) + t (xP?-2xP+xP) ] yM"" (t) = 6[ (1-t ) (yP-yP?) + t (yP?-2yP+yP) ] M(t) xM"""(t) = 6[ xP-xP? +3(xP?-xP) ] yM""" (t) = 6[ yP-yP? + 3(yP?-yP) ]

M(t)

OM(t) = 3[ (1-t)² (PP) + 2t(1-t) (PP) + t² (PP) ] c) Dénition vecteurs et contraintes . b) Dénition avec P? P? P P isolés .

En posant : V?=OP? ; V

=(OP? - OP?) ; V =(OP - OP?) ; V≈=(OP - OP)

M(t)

x" = f" (t) = -3 (1-t)² xP? - (1-t)(1-3t) xP? - t(2-3t) xP - t² xP ] y" = g" (t) = -3 (1-t)² yP? - (1-t)(1-3t) yP? - t(2-3t) yP - t² yP

M(t)

x"" = f"" (t) = 6 (1-t) xP? - (2-3t) xP? + (1-3t) xP + t xP y"" = g""(t) = 6 (1-t) yP? - (2-3t) yP? + (1-3t) yP + t yP

M(t)

x""" = f""" (t) = 6 xP - xP? + 3( xP? - xP) y""" = g""" (t) = 6 yP - yP? + 3( yP? - yP) x = f (t) = (1-t)³ xP? + 3t(1-t)² xP? + 3t²(1-t) xP + t³ xPy = g (t) = (1-t)³ yP? + 3t(1-t)² yP? + 3t²(1-t) yP + t³ yP M(t)

OM(t) = V? + (1-(1-t)³) (V

) + (3t²-2t³) (V) + t³ (V≈)

OM(t) = 3

(1-t)²) (V ) + 2t(1-t) (V) + t² (V≈)

OM(t) = -6

(1-t) (V ) - (1-2t) (V) - t(V≈)

OM(t) = 6

(V ) -2 (V) + (V≈)

OM(t) = 6[ (1-t) (PP

PP) + t (PP

PP) ]OM(t) = 6[

(PP) + 3(PP)

OM(t)Os

66[1]
x = f(t) = -14t³+30t² +60t +14 y = g(t) = 16t³ -132t²+132t +10 M(t)

Et matriciellement avec :

Les déΔnitions e) et f) sont très pratiques pour certains calculs.Of Of w x? x xx≈ y? y yy≈ n

OM(t) = OCt³ + OCt² + OCt + OC

OM(t) =

d) Dénition canonique (selon les puissances de t). e) Dénition canonique avec P1 et P3 dénis par coordonées polaires . e1) Avec P1 connus et xe . f ) Dénition par coordonées polaires avec éléments isolés. xC = x≈ = (xP - xP? + 3(xP?-xP)) xC = x = 3(xP? + xP - 2xP?) xC = x? = 3(xP?-xP?) xC = x? = xP? xP? = x + xP?xP? = x? ( Resp. pour les y)( Resp. pour les y) x = f (t) = x≈t³+xt²+x t+x? y = g (t) = y≈t³+yt²+y t+y?

M(t)M(t)

x"= f" (t) =3x≈t²+2xt+x y"= g" (t) = 3y≈t²+2yt+y

M(t)

x""= f"" (t) = 6x≈t+2x y""= g"" (t) = 6y≈t+2y x'''= 6x≈ y""" = 6y≈

M(t)

3 xP = x - xP? + 2xP? 3quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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