Cours et Exercices de mécanique du point matériel
coordonnées polaires (dans le plan xOy ) par un troisième axe : l'axe Oz [4] https://www.exoco-lmd.com/mecanique-du-point/exercices-corriges-de-mouvement-.
Courbes en polaires
Correction de l'exercice 4 △. Soient (Rθ) ∈ R2 puis M le point du plan dont un couple de coordonnées polaires est [r
Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices
Ensuite nous étudions les différents types de mouvement et les différents systèmes de coordonnées (cartésiennes
Intégrale double coordonnées polaires exercices corrigés pdf
Intégrale double coordonnées polaires exercices corrigés pdf. En raison de limitations techniques la typographie souhaitable du titre
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point M (2 2 3
Système de coordonnées
Comme pour les coordonnées polaires il y a une infinite de choix possibles Exercice : Le point (r = 2
Angles orientés et coordonnées polaires
31 mars 2011 exercices. Premi`ere S d) Sur le cercle trigonométrique colorier l'arc décrit par l' intervalle I dans les cas sui- vants : I = [ b π. 4. ;. 5π.
Corrigés des exercices Exercice 1 On a 1 ⃗⃗⃗ = +3 − 2 ⃗
Exercice 8 : 1. Les relations reliant les coordonnées cartésiennes (x y
République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l
vitesses et les vecteurs accélérations en coordonnées cartésiennes polaires
République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l
Déterminer les expressions du vecteur position de la vitesse et de l'accélération dans le système des coordonnées polaire. 5.4 Corrigés exercice 1. Une
Angles orientés et coordonnées polaires
31 mars 2011 coordonnées polaires. Exercices. Exercice I : Angles orientés a) Placer les points M N
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Exercice 2. Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point M (2 2 3
TD 6 : Vecteurs : corrigé
Dans tous les exercices les coordonnées cartésiennes sont données dans un repère or (b) cartésiennes les coordonnées sphériques r = 2
Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices
forces centrales. À la fin de ce polycopié nous proposons quelques exercices corrigés. Expression du vecteur vitesse suivant les coordonnées polaires.
Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point Matériel
nous utilisons les coordonnées polaires pour décrire le mouvement du satellite que l'on note par M. 1. La période T de rotation de la Terre est égale `a.
CAHIER COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES
Etude du mouvement en coordonnées polaires………………………………… 77. 2. Les composantes normale et tangentielle de la vitesse et de l'accélération dans.
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
En général l'équation r = a représente un cercle de centre O et rayon
L1 L2
des cours résumés suivis d'exercices corrigés pas à pas. de coordonnées polaire défini dans la fiche 3
corrigé des exercices I. Coordonnées cylindriques et frottement solide
COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES - corrigé des exercices. I. Coordonnées cylindriques et frottement solide. 1.a. • En coordonnées cylindriques : ur
Coordonnées polaires — Wikipédia
• Si l’on connaît les coordonnées polaires : (x =rcos? y =rsin? Exemple : Soit M 3 ; 2? 3 Déterminer les coordonnées cartésiennes de M x =3cos 2? 3 =? 3 2 et y =3sin 2? 3 = 3 ? 3 2 ? M ? 3 2; 3 ? 3 2! 1 3 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires ? M x y r O ~ex ~ey ~er ~e? ~vr ~v? PAUL
Angles orientés et coordonnées polaires - lyceedadultesfr
coordonnées polaires Exercices Exercice I : Angles orientés a)Placer les points M N P et Q sur le cercle trogonométrique repérés respectivement par : ? 3; 5? 6; 11? 4; 7? 2; 17? 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / b)Utiliser les renseignements portés sur la ?gure pour déterminer les angles sur [0;2?] repérant les points
Chapitre 8 COURBES EN POLAIRES Enoncé des exercices
Chapitre8 COURBESENPOLAIRES Solutiondesexercices 1 Lesbasiques Exercice8 1 Pour 1) on a 1 sin ?? ? 3 = 1 cos ? 2? ?? ? 3 = 1 cos 5? 5 ?? = 1 cos ?? 5? 6 Ils’agitdoncdeladroitepas-
TD I – Corrigé - Université Paris-Saclay
Nous pouvons maintenant étudier les fonctions x et y : ‰ x0(t) ? 2t¯3t2 y0(t) ? 4t3 Sur l’intervalle ]¡10] on a y0(t)É0 et sur l’intervalle [0¯1[ on a y0(t)?0 Ainsi y est décroissante pour t2]¡10] puis croissante pour t2[0¯1[ D’autre part on a x0(t)? t(2¯3t) [¡2/30] puis à nouveau croissante sur [¡2/3¯1[
Qu'est-ce que les coordonnées polaires ?
Les coordonnées polaires 1 sont, en mathématiques, un système de coordonnées curvilignes 2 à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un angle et une distance.
Comment calculer la courbe polaire ?
Courbes paramétrées. La courbe polaire associée est l’arc paramétré ?t M(t) = O + r(t).u(q(t)) Il a pour équations cartésiennes x(t) = r(t).cosq(t), y(t) = r(t).sin q(t) . En géométrie, le plus souvent t = q ou, plus rarement t = r.
Comment utiliser les coordonnées polaires pour produire des équations simples ?
Par exemple, les exemples de courbes polaires définies plus haut montrent comment on peut utiliser les coordonnées polaires pour produire des équations simples produisant ces courbes, comme la spirale d'Archimède. Ces mêmes équations en coordonnées cartésiennes seraient beaucoup plus compliquées.
Qu'est-ce que le système de coordonnées polaires?
Remarque : Pour un mouvement rectiligne, il n’y a pas de variation de la direction du vecteur vitesse. Donc, la composante ? N =0. Ce qui implique que le rayon de la courbure correspondant à cette trajectoire est infini. III.4.3 Systèmede coordonnées polaires Le système de coordonnées polaires est un repère plan à symétrie de rotation.
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CHAPITRE1
Rappels et compléments mathématiques
1.1 Exercices
1.1.1Opérations sur les vecteurs
On donne trois vecteurs?A(3,2⎷2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et?C(1,2,2).1. Calculer les normes??A?,??B?et??C?. En d´eduire les vecteurs unitaires?uA,?uB
et?uCdes directions, respectivement, de?A,?Bet?C.2. Calculer cos(
??uA,?uB), cos(??uB,?uC) et cos(??uC,?uA), sachant que les angles sont com- pris entre 0 etπ.3. Calculer les composantes des vecteurs?e1=?uB??uC,?e2=?uC??uAet?e3=?uA??uB.
4. En d´eduire sin(
??uA,?uB), sin(??uB,?uC) et sin(??uA,?uC). V´erifier ces r´esultats en utili- sant la question 2.5. Montrer que?e1,?e2,?e3peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-
nale, norm´ee?1.1.2Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
SoitR(O,?i,?j,?k) un rep`ere cart´esien et consid´erons la base sph´erique (?er,?eθ,?e?).
1. Exprimer les vecteurs de la base sph´erique dans la base cart´esienne.
2. Calculer
∂?e r 3Rappels et compl´ements math´ematiques
3. En d´eduired?er,d?eθetd?e?dans la base sph´erique.
4. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base sph´erique peuvent se mettre
sous la forme d?e en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR.5. On consid`ere la base cylindrique (?eρ,?e?,?k) . Quel est son vecteur rotation par
rapport `aR? En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, calculer la d´eriv´ee par rapport
au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR.6. Consid´erons un vecteur
?V=Vr?er+Vθ?eθ+V??e?. En utilisant les r´esultats pr´ec´e- dents, calculer la d´eriv´ee par rapport au temps de ?Vpar rapport `aR1.1.3Déplacement élémentaire
On se propose de traiter dans cet exercice le d´eplacement ´el´ementaire dans les troissyst`emes de coordonn´ees, cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques et ce en utilisant les
r´esultatsde l"exercice 2Consid´erons un rep`ere cart´esienR(O,?i,?j,?k). Soient (?eρ,?e?,?k) et (?er,?eθ,?e?) respective-
ment les bases cylindrique et sph´erique. SoitMun point rep´er´e par--→OMpar rapport `a
R. On consid`ere un d´eplacement infinit´esimal deMenM?tel queM?est tr`es proche deM. On note alors le d´eplacement ´el´ementaire par--→OM?---→OM=d---→MM?=d--→OM
1. Dans le rep`ere cart´esien,--→OM=x?i+y?j+z?k. Calculer le d´eplacementd--→OMpar
rapport `aRdans la base cart´esienne.2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `aR. Partant de--→OM=ρ?eρ+z?k, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRdans la base
cylindrique.3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR. Dans la base
sph´erique--→OM=r?er, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRet ce dans cette base.1.1.4Tube cathodique
On ´etudie le mouvement des ´electrons dans le tube cathodique d"un osilloscope. Les ´electrons arrivent enOavec une vitesse?v0=v0?iet traversent les plaques de d´eviation P1etP2de longueurl. Les ´electrons sont soumis entre les plaques de d´eviation`a une
acc´el´eration uniforme?γ0=γ0?jet sont d´evi´es, figure ci-dessous. L"´ecran est `a la distance
D= 5lde la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l"exercice les grandeurs vectorielles dans la base cart´esienne. la vitesse de la particule `a la sortie des plaques est?vAet fait un angleαavec?i. L"acc´el´eration des ´electrons entre les pointsAetEest nulle. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices5
1. Etablir les ´equations horaires du mouvement
des ´electrons entre les plaques de d´eviation, x(t) ety(t). En d´eduire l"´equation de la tra- jectoirey=f(x).2. Calculer la vitesse des ´electrons au pointA,
?vA, en fonction dev0,letγ0. En d´eduire
l"angleα=?(?i,?vA).3. Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec-
trons entreAetE? En d´eduire les ´equations horairesx(t) ety(t). D´eterminer la d´eviationδen fonction dev0,letγ0.
y xO j i 1P 2 P l D=5lδ E Aα1.1.5Exercice
Un v´ehicule, que l"on peut consid´erer comme un point mat´erielM, se d´eplace parrapport `a un r´ef´erentielR(O,xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse?V(M/R) telle que|?V(M/R)|=v. Le v´ehicule roule sur une bosse dont le profil peut
ˆetre repr´esent´e pary=f(x). On s"int´eresse au segment de la route [A,B].1. Calculer la vitesse?V(M/R) en fonction
de xet de la d´eriv´ee premi`eref?(x) = df(x)/dxpar rapport `ax.2. Calculer l"acc´el´eration?γ(M/R). En d´e-
duire que la composante de l"acc´el´eration selonOypeut se mettre sous la forme y(M/R) =v2f??(x) (f?2+ 1)2 f ??(x) ´etant la d´eriv´ee seconde def(x) par rapport `ax. AB M y x O y=f(x)1.1.6Opérations sur les vecteurs : une autre approche
L"objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op´erations vectorielles en utilisant la
fonction de Kroneckerδij1et le tenseur de Levi-Civita?ijk2.Les indicesi,j,k? {1,2,3}´etant donn´e
que l"on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3.1. la fonction de Kronecker est d´efinie par
ij=?1 sii=j0 si non
2. Le tenseur de Levi-Civita est d´efini par
ijk=???0 si au moins deux indices sont ´egaux1 si (i,j,k)?{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)} -1 si (i,j,k)?{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
On consid`ere un rep`ereRmuni de la base orthonorm´ee (?e1,?e2,?e3). La propri´et´e d"or- thonormalit´e de la base se traduit par?ei·?ej=δij, qui seront utilis´es dans la suitede l"exercice, sauf mention contraire. Soient trois vecteurs?A(a1,a2,a3),?B(b1,b2,b3) et?C(c1,c2,c3).
1. Montrer que le produit scalaire
?A·?B=? i=1,3aibi.2. Sachant que lai`emecomposante de?A??Bpeut s"´ecrire comme suit (?A??B)i=?3j,k=1?ijkajbk, en d´eduire que
A??B=?
i,j,k? ijkajbk?ei.3. Montrer que le produit mixte
A·(?B??C) =?
i,j,k? ijkaibjck.4. En utilisant le r´esultat de la question 2, montrer
A?(?B??C) = (?A·C)?B-(?A·B)?C
5. Montrer que
??A??B?·??C??D?
=??A·?C???B·?D? -??A·?D???B·?C?1.1.7Exercice : Opérations sur les vecteurs
On donne les trois vecteurs?V1(1,1,0),?V2(0,1,0) et?V3(0,0,2).1. Calculer les normes??V1?,??V2?et??V3?. En d´eduire les vecteurs unitaires?v1,?v2
et?v3des directions respectivement de?V1,?V2et de?V3.2. Calculer cos(
??v1,?v2), sachant que l"angle correspondant est compris entre 0 etπ.3. Calculer?v1·?v2,?v2??v3et?v1·(?v2??v3). Que repr´esente chacune de ces trois
grandeurs?1.1.8Exercice : Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
Consid´erons la position d"un pointMdans le rep`ereR(O,xyz). Soient (?i,?j,?k),(?eρ,?e?,?k) et (?er, ?eθ, ?eφ) respectivement les bases cart´esienne, cylindrique et sph´erique
associ´ees `a ce rep`ere. Le tenseur poss`ede les propri´et´es suivantes, que l"on neva pas d´emontrer i,j? ijk?ijl=δklet? i? ijk?ilm=δjlδkm-δjmδkl. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices7
1. Calculer
∂?e2. En d´eduired?eρetd?e?dans la base cart´esienne.
3. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se
mettre sous la forme d?eρ=dt?Ω??eρetd?e?=dt?Ω??e?
en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique dansR.4. Quel est le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR? En utilisant
les r´esultats de la question pr´ec´edente, d´eduire les expressions de d?e r dt,d?eθdtetd?eφdt.1.1.9Exercice : Mouvement rectiligne
On effectue un test d"acc´el´eration sur une voiture arrˆet´ee au d´epart (vitesse initiale
v0= 0). La route est rectiligne.
1. La voiture est chronom´etr´ee `a 20sau bout d"une distanceD= 140m.
1-a)D´eterminer l"expression de l"acc´el´erationγ, supos´ee constante.
1-b)D´eterminer l"expression de la vitessevDatteinte `a la distanceD.
2. Calculer la distance d"arrˆetLpour une d´ec´el´eration de 8ms-2?
1.1.10Exercice : Excès de vitesse
Un conducteur roule `a une vitesse constantev0= 120 km h-1sur une route r´ecti-ligne d´epassant la limite autoris´ee. Un gendarme `a moto d´emarre `a l"instant o`u la voiture
passe `a sa hauteur et acc´el`ere uniform´ement. Le gendarme atteint la vitesse 100 km h-1 au bout de 12s.1. Quel sera le temps n´ecessaire au gendarme pour rattraperla voiture?
2. Quelle distance aura-t-il parcourue?
3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte?
Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
1.1.11Exercice : Mouvement circulaire uniforme
Consid´erons un satellite g´eostationnaire en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre sur une orbite de rayonr. Il est soumis `a une acc´el´erationγ=g0?R r?2, o`u
g0= 9.81m s-2etR= 6400 km , le rayon de la Terre. La p´eriode de r´evolution du
satellite est ´egale `a la p´eriode de rotation de la Terre sur elle mˆeme.1. Calculer la p´eriodeTde rotation de la Terre en secondes. En d´eduire la vitesse
angulaire Ω.2. D´eterminer l"altitude de l"orbite g´eostationnaire.
1.1.12Exercice : Mouvement sur une ellipse
Un point mat´erielMse d´eplace sur une ellipse d"´equation en coordonn´ees cart´esiennes x2 a2+y2b2= 1, voir figure ci-contre. la direction de--→OMpar rapport `a l"axeOxest rep´er´ee par l"angle?. L"´equation horaire du mouvement deMpeut se mettre sous la forme x(t) =x0cos(ωt+φ) ety(t) =y0sin(ωt +ψ) o`u l"on suppose queωest une constante. A l"instantt= 0,Mse trouvait enM0.
y xO M 0 M a b1. D´eterminerx0,φetψ. En d´eduirey0.
2. D´eterminer les composantes, et ce dans la base cart´esienne, de la vitesse (x,y) et
de l"acc´el´eration (¨x,¨y).3. Montrer que l"acc´el´eration peut se mettre sous la forme?γ=-k--→OMo`ukest `a
d´eterminer. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.2 Solutions9
1.2 Solutions
1.2.1Corrigé 1 : Opérations sur les vecteurs
1. Soit un vecteur?V= (v1,v2,v3). On sait que la norme est donn´ee par??V?=??
i=1,3v2i. En appliquant ce r´esultat aux trois vecteurs?A(3,2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et ?C(1,2,2) , on obtient ?A?=?32+ 22+⎷32= 4
?B?=?22+⎷32+⎷22= 3
?C?=?12+ 22+ 22= 3
On sait que le vecteur unitaire?uVde la direction du vecteur?V, est d´efinie par ?u V=?V /??V?. De la mˆeme mani`ere, en appliquant ce r´esultat, on obtient ?u A= (34,12,⎷
3 4) ?u B= (23,⎷
33,⎷
2 3) ?u C= (13,23,23)
2. Pour d´eterminer les cosinus des angles entre les trois vecteurs pris deux `a deux,
nous utilisons la d´efinition du produit scalaire suivante ?A·?B=??A???B?cos(??A,?B), ce qui donne cos( ??A,?B) =?A·?B ??A???B?3×2 + 2×⎷
3 +⎷3×⎷2
4×3
?0.993 de mˆeme cos( ??B,?C) =?B·?C ??B???C?2×1 +⎷
3×2 +⎷2×2
3×3
?0.921 Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
et enfin cos( ??C,?A) =?C·?A ??C???A?1×3 + 2×2 + 2×⎷
33×4
?0.8723. On sait que les composantes du vecteur produit vectoriel entre?uBet?uCsont
donn´ees par ?e1=?uB??uC
3323⎷2
323?????
,-?????2313⎷2
323?????
,?????2313⎷3
323??????
2(⎷
3-⎷2)
9,⎷
2-49,4-⎷
3 9? de mˆeme ?e2=?uC??uA
?2 31223⎷
34?????
,-?????1 33423⎷
34?????
,????1 3342312?????
2(⎷
3-2)12,6-⎷
312,-13?
et ?e3=?uA??uB
?12⎷
33⎷3
4⎷
23?????
,-?????3423⎷3
4⎷
23?????
,?????3 42312⎷
33??????
2⎷
2-312,2⎷
3-3⎷2
12,4⎷
3-3 12?4. Calculons sin
?(?uA,?uB). On a ??e3?=??uA???uB?sin?(?uA,?uB) =?sin?(?uA,?uB) =??e3? ?0.1198 puisque?uAet?uBsont unitaires. On utilise la mˆeme d´emarche pour les autres angles : sin ?(?uB,?uC) =??e1?= 0.3886 Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.2 Solutions11
et sin ?(?uC,?uA) =??e2?= 0.4895Pour v´erifier ces derniers r´esultats, on utilise les cosinus de ces mˆemes angles d´ej`a
calcul´es auparavant et on trouve1-cos2?(?uA,?uB) = 0.1181? ?e3??
1-cos2?(?uB,?uC) = 0.3896? ?e1??
1-cos2?(?uC,?uA) = 0.4895? ?e2?
ce qui v´erifie bien que les angles calcul´es dans cette questions sont les mˆemes que ceux calcul´es dans la question 2.5. Pour qu"une famille de vecteurs constitue une base, il suffit
- que le cardinal de la famille, c"est `a dire le nombre de vecteurs de la famille, soit ´egal `a la dimension de l"espace vectoriel en question, et qui est dans notre cas 3. Ce qui est v´erifi´e pour (?e1,?e2,?e3);quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] courbes et surfaces l2
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