[PDF] [PDF] Courbes en polaires - Exo7 - Exercices de mathématiques

View - Download [PDF] Courbes en polaires - Exo7 - Exercices de mathématiques

Previous PDF

Next PDF

Exo7

Courbes en polaires

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1Construire les courbes suivantes :

1.r=pcos(2q),

2.r=sin2q3

3.r=aebq;(a;b)2]0;+¥[2,

4.r=2cos(2q)+1,

5.r=tan2q3

Etude complète de la courbe d"équation polairer=2cosq+12sinq+1. 1.

Construire la courbe.

2.

Longueur et dév eloppée.

Construire la courbe d"équation cartésiennex2(x2+y2)(yx)2=0 après être passé en polaires .

Développée de la spirale logarithmique d"équation polairer=aeq(a>0).

Correction del"exer cice1 N1.( Lemniscate deBERNOULLI.) SoitCla courbe d"équation polairer=pcos(2q).Domaine d"étude.

NotonsDle domaine de définition de la fonctionr:q7!pcos(2q). •q2D,q+2p2Det pour q2D, M(q+2p) = [r(q+2p);q+2p] = [r(q);q+2p] = [r(q);q] =M(q).

On obtient donc la courbe complète quandqdécrit un intervalle de longueur 2pcomme[p;p]. •q2

D, q2Det pourq2D,

M(q) = [r(q);q] = [r(q);q] =s(Ox)(M(q)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq2[0;p]puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Ox). •q2D,pq2Det pourq2D,

M(pq) = [r(pq);pq] = [r(q);pq] =s(Oy)(M(q)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq20;p2 puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Oy)puis d"axe(Ox). Pourq20;p2 ,q2D,cos(2q)>0,q20;p4

On étudie donc la courbe sur0;p4

.Variations et signe der.La fonctionrest strictement décroissante sur0;p4 , strictement positive sur0;p4 et s"annule enp4 .Etude enp4 .Mp4 =Oet donc la tangente enMp4 est la droite passant parOet d"angle polairep4 ou encore la droite d"équationy=x. Etude en0.M(0)est le point de coordonnées cartésiennes(1;0). Pourq2p4 ;p4 dMdq(q) =sin(2q)pcos(2q)!uq+pcos(2q)!vqet donc!dMdq(0) =!v0=!j. M(0)est le point de coordonnées cartésiennes(1;0)et la tangente enM(0)est dirigée par!j11 1

12.Soit Cla courbe d"équation polairer=sin2q3

.Domaine d"étude.• Pourq2R, M(q+6p) = [r(q+6p);q+6p] = [r(q);q+6p] = [r(q);q] =M(q). 2 Onobtientdonclacourbecomplètequandqdécritunintervalledelongueur6pcomme[3p;3p]. •Pour q2[3p;3p], M(q) = [r(q);q] = [r(q);q] = [r(q);pq] =s(Oy)(M(q)).

On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq2[0;3p]puis on obtient la courbe

complèteparréflexiond"axe(Oy). •Pourq2[0;3p],M(3pq)=[r(3pq);3pq]=[r(q);3pq]= [r(q);q]=s(Ox)(M(q)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq20;3p2 puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Ox)puis d"axe(Oy). • Pourq20;3p2 ,M3p2 q=r3p2 q;3p2 q=r(q);3p2 q=sy=x(M(q)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq20;3p4 puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d"axes la droite d"équationy=x, puis d"axe(Ox)et enfin d"axe(Oy).

•Remarque.La fonctionradmet 3ppour plus petite période strictement positive. Pourtant, on n"obtient

pas la courbe complète quandqdécrit[0;3p]car 3pne fournit pas un nombre entier de tours. Plus précisément,

M(q+3p) = [r(q+3p);q+3p] = [r(q);q+p] =sO(M(q)).

Variations et signe der.La fonctionrest strictement positive sur0;3p4 et s"annule en 0. La fonction rest strictement croissante sur0;3p4 . •M(0)est le pointO. La tangente enM(0)est la droite passant parOd"angle polaire 0 c"est-à-dire l"axe(Ox).11 1 1 ?0,3π 2?3 11 1 1

courb ecomplète3.Soit Cla courbe d"équation polairer=aebq. L"étude est très brève. La fonctionr:q7!aebq

est strictement positive et strictement croissante surR. Tout en tournant, on ne cesse de s"écarter de

l"origine : la courbe est une spirale.

1 2 3 4 512345

12345
1 2 3 4 5 a= 2b= 0,014.Soit Cla courbe d"équation polairer=2cos(q)+1. Domaine d"étude.• Pourq2R,M(q+2p) =M(q). On obtient donc la courbe complète quandq décrit un intervalle de longueur 2pcomme[p;p]. • Pourq2[p;p],M(q) =s(Ox)(M(q)). On

étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq2[0;p]puis on obtient la courbe complète

par réflexion d"axe(Ox).Variations et signe der.La fonctionrest strictement décroissante sur[0;p].

La fonctionrest strictement positive sur0;2p3

, strictement négative sur2p3 ;0et s"annule en2p3 . Donc la fonctionq7!OM(q) =jr(q)jest strictement décroissante sur0;2p3 et strictement croissante sur2p3 ;p. •M2p3 est le pointO. La tangente enM2p3 est la droite passant parOd"angle polaire2p3 4

c"est-à-dire la droite d"équationy=p3x. • Par symétrie par rapport à(Ox), les tangentes enM(0)et

M(p)sont parrallèles à(Oy).1 2 3

12 1

25.Soit Cla courbe d"équation polairer=tan2q3

.Domaine d"étude.NotonsDle domaine de définition de la fonctionr:q7!tan2q3 . •q2D,q+6p2DetM(q+6p) =M(q). On obtient donc la courbe complète quandqdécrit un intervalle de longueur 6pcomme[3p;3p]. •q2D, q2Det

M(q)=s(Oy)(M(q)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq2[0;3p]puis on

obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Oy). •q2D,3pq2DetM(3pq)=s(Ox)(M(q)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq20;3p2 puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Ox)puis par réflexion d"axe(Oy). •q2D,3p2 q2Det M 3p2 q=r(q);3p2 q=r(q);p2 q=sy=x(M(q)). On étudie et on construit la portion de courbe correspondant àq20;3p4 puis on obtient la courbe

complète par réflexions successives d"axe la droite d"équationy=x, puis d"axe(Ox)et enfin d"axe(Oy).

• Pourq20;3p4 ,r(q)existe si et seulement siq6=3p4 . On étudie donc surq20;3p4 Variations et signe der.La fonctionrest strictement croissante sur0;3p4 , strictement positive sur0;3p4 et s"annule en 0.

• La tangente enM(0)=Oest la droite passant parOet d"angle polaire 0 c"est-à-dire l"axe(Ox). •Etude

quandqtend vers3p4 .Quandqtend vers3p4 par valeurs inférieures,r(q)tend vers+¥. la courbe admet donc une direction asymptotique d"angle polaire 3p4 ou encore d"équationy=x. Recherchons une éventuelle droite asymptote. Pour cela, étudions lim q!3p4 q<3p4 r(q)sin q3p4 . Posonsh=3p4 qou encoreq=3p4 h. r(q)sinq3p4 =tanp2 2h3 sin(h) =cotanhsinh=cosh! 1. Ainsi,Cadmet une droite asymptote(D)quandqtend vers3p4 . De plus,

M(x;y)2(D),!OM:!v3p4

=1, 1p2 x1p2 y=1,y=x+p2. 5

1 2 3 4 5 6123456

1234
1 2 3

4Correction del"exer cice2 NDomaine d"étude.NotonsDle domaine de définition de la fonctionr:q7!2cosq+12sinq+1.8q2R,q2D,

q+2p2DetM(q+2p) =M(q). On obtient donc la courbe complète quandqdécrit un intervalle de longueur 2pcomme[p;p]. Pourq2[p;p], 2sinq+1=0,q25p6 ;p6 . On étudie donc la courbe sur[p;p]n5p6 ;p6 .Signe der.

5π62π3π62π3

???????r Variations der.La fonctionrest dérivable sur[p;p]n5p6 ;p6 et pourq2[p;p]n5p6 ;p6 r

0(q) =2sinq(2sinq+1)2cosq(2cosq+1)(2sinq+1)2=42cosq2sinq(2sinq+1)2=42p2cos

(qp4 )(2sinq+1)2<0. La fonctionrest strictement décroissante surp;5p6 , sur5p6 ;p6 et surp6 ;p.Etude quandq tend vers5p6 .lim q!5p6 x<5p6 r(q) =¥et lim q!5p6 x>5p6 r(q) = +¥. Donc la courbeCadmet une direction asymptotique d"angle polaire5p6 ou encore d"équationy=1p3 x. Etudions maintenant l"existence d"une éventuelle droite asymptote et pour cela étudions lim q!5p6 r(q)sinq+5p6 . On poseh=q+5p6 ou encoreq=5p6 +hde sorte queqtend vers5p6 si et seulement sihtend vers 0. Quandhtend vers 0 r(q)sin q+5p6 =2cos5p6 +h+12sin 5p6 +h+1sinh=(1p3cosh)+sinh p3sinh+(1cosh)sinh1p3 p3hh=11p3 Par suite,Cadmet une droite asymptote(D1)quandqtend vers5p6 . De plus

M(x;y)2(D1),!OM:!v5p6

=11p3 ,12 xp3 2 y=11p3 ,y=1p3 x+23 2p3 6

Etude quandqtend versp6

.limq!p6 xp6 r(q) = +¥. Donc la courbeCadmet une direction asymptotique d"angle polairep6 ou encore d"équationy=1p3 x. On pose ensuiteh=q+p6 . Quandhtend vers 0 r(q)sin q+p6 =2cosp6 +h+12sin p6 Par suite,Cadmet une droite asymptote(D2)quandqtend versp6 . De plus

M(x;y)2(D2),!OM:!vp6

=1+1p3 ,12 x+p3 2 y=1+1p3 ,y=1p3 x+23 +2p3 Tableau de variation der.5π62π3π62π3r()

1 +1+1

r0 0

1 1 1Recherche des points multiples.Soit(q1;q2)2[p;p]n5p6

;p6

2tel queq1 queq1=22p3 etq1=22p3 de sorte queM(q1)6=OetM(q2)6=O. M(q1) =M(q2),(9k2Z=q2=q1+2kpetr(q2) =r(q1))ou(9k2Z=q2=q1+p+2kpetr(q2) =r(q1)) ,q12[p;0];q2=q1+petr(q2) =r(q1)

Maintenant, pourq2[p;0]n5p6

;2p3 ;p6

2cos(q)+12sin(q)+1=2cos(q)+12sin(q)+1, 4cos(q)sin(q)+1=4cos(q)sin(q)1,sin(2q) =12

,2q2p6 +2pZou 2q25p6 +2pZ,q2p12 +pZouq25p12 +pZ ,q2 11p12 ;7p12 Ainsi, lespointsdoublesdistinctsdel"originesontM11p12 =Mp12 etM7p12 =M5p12 . Sinon,M2p3 M2p3 =O. 7

1 2 3 4 5 6123456

1234
1 2 3

4Correction del"exer cice3 N1.Domaine d"étude.La fonctionrest 2p-périodique et paire. Donc on étudie et on construit la courbe

quandqdécrit[0;p]et on obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Ox).Variations et signe de

r.La fonctionrest strictement décroissante sur[0;p], strictement positive sur]0;p]et s"annule enp.

Etude pourq=p.La tangente enM(p) =Oest la droite passant parOd"angle polairepc"est-à-dire

l"axe(Ox). Par symétrie par rapport à(Ox), le pointM(p)est un point de rebroussement de première

espèce. a2aa a2.Soient q2[p;p]puisM=O+a(1+cosq)!uqle point deCde paramètreq. dMdq=asinq!uq+a(1+cosq)!vq=2acosq2 sinq2 !uq+cosq2 !vq =2acosq2 cosq2 +p2 !uq+sinq2 +p2 !vq =2acosq2 !u3q2 +p2

Longueur`de la cardioïde.On a

dMdq =2acosq2 =2acosq2 (pourq2[p;p]) et donc 8 `=Rp p dMdq dq=2aRp pcos(q=2)dq=4a[sin(q=2)]p p=8a.

La cardioïde d"équation polairer=a(1+cosq),a>0, a pour longueur 8a.Développée.Le pointM(q)est régulier si et seulement siq6=p. Dans ce cas,

dsdq= dMdq =2acosq2 et aussi!t(q) =!u3q2 +p2

En notanta(q)une mesure de l"angle!i;!t(q)

, on peut prendrea(q) =3q2 +p2 . En notantR(q)le rayon de courbure au pointM(q),

R(q) =dsda=ds=dqda=dq=43

acosq2

Ensuite,

!n(q) =rp=2!t(q)=!u3q=2et donc, en notantW(q)le centre de courbure au pointM(q),

W(q) =M(q)+R(q)!n(q)

=O+a(1+cosq)!uq43 acosq2 !u3q=2 =O+a(1+cosq) cos(q)!i+sin(q)!j 43
a cosq2 cos3q2 !i+cosq2 sin3q2 !j =O+a cos(q)+cos2(q)23 (cos(q)+cos(2q))!i+ sin(q)+sin(q)cos(q)23 (sin(q)+sin(2q))!j =O+a23 +13 cos(q)13 cos2(q)!i+13 sin(q)13 sin(q)cos(q)!j =O+2a3 !i+a3 (1cosq)!uq NotonsGla développée cherchée. On aG=th(C1)oùtest la translation de vecteur2a3 !i,hest l"homothétie de centreOet de rapport13 etC1la courbe d"équation polairer=a(1cosq). Maintenant, en notantrla fonctionq7!a(1+cosq)etr1la fonctionq7!a(1cosq), [r1(q+p);q+p)] = [a(1+cosq);q+p] =sO([r(q);q)]).

La courbeC1est donc la symétrique par rapport àOde la courbeC. En résumé, la développée deCest

l"image deCpar la transformationthsO: c"est encore une cardioïde.a2aa a9

Correction del"exer cice4 NSoient(R;q)2R2puisMle point du plan dont un couple de coordonnées polaires est[r;q].

,r2[r2cos2q(sinqcosq)2] =0,r=0 our2=sinqcosqcosq 2 (cosq=0 ne fournit pas de solution) ,r=0 our=tanq1 our=1tanq:

Cest donc la réunion de la courbe(C1)d"équation polairer=tanq1,(C2)d"équation polairer=1tanq

etfOg. On note que le pointOappartient à(C1)carq=p4 fournitr=0. DoncC=C1[C2[fOg=C1[C2. Ensuite, on notantr1etr2respectivement la fonctionq7!tanq1 etr2=r1, M[q+p;r2(q+p)] =M[q+p;r2(q)] =M[q+p;r1(q)] =M[q;r1(q)],

et commeq+pdécritRsi et seulement siqdécritR, les courbesC1etC2sont une seule et même courbe.

Cest la courbe d"équation polairer=tanq1.Construction deC.1 2 3 41234 1234
1 2 3

4Correction del"exer cice5 NDéveloppée.M(q) =O+aeq!uqpuis

dMdq=aeq(!uq+!vq) =ap2eqcosp4 !uq+sinp4 !vq=ap2eq!uq+p4

On en déduit

dsdq=ap2eqet!t(q) =!uq+p4 . On peut alors prendrea(q) =q+p4 et doncdadq=1. Par suite

R(q) =ds=dqda=dq=ap2eq1

=ap2eq.

D"autre part,

!n(q) =!tq+p2 =!uq+3p4 =1p2 (!uq+!vq)et donc 10

W(q) =M(q)+R(q)!n(q) =O+aeq!uq+ap2eq:1p2

(!uq+!vq) =O+aeq!vq=rO;p2 (M(q)).

La développée de la spirale logarithmique d"équation polairer=aeqest l"image de cette spirale par le quart

de tour direct de centreO.?

M(θ)

Ω(θ)11

quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

[PDF] courbes et surfaces l2

[PDF] courbes et surfaces cours

[PDF] courbes planes exercices corrigés

[PDF] surface paramétrée

[PDF] courbure d une surface

[PDF] comment lire un sismogramme

[PDF] tache complexe volcanisme

[PDF] courbes paramétrées exercices corrigés

[PDF] natural pigeon voyageur a vendre

[PDF] revue pigeon rit

[PDF] station d'elevage de pigeons voyageurs

[PDF] station elevage natural belgique

[PDF] bon de commande station natural

[PDF] pigeon rit sport colombophile

[PDF] station elevage natural bon de commande 2017