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seraitd3m=(r)d3V. De plus, nous allons utiliser les coordonnees spheriques, et donc on peut ecrire directement : M= d 3m R0 =0 2 '=0 =0 0 1 +rR 0 r

2sindrdd'

= 20 R0 =0 2 '=0 1 +rR 0 r 2drd' = 40 R0 =0 1 +rR 0 r 2dr = 40r33 +r44R0 R0 0 =73

0R30Exercice 22.1 En appliquant le theoreme de Thales, on a immediatement :

r=R0hzh

2.2Ce cylindre a pour base un disque d'airer2et pour hauteurdz. On a donc immediatement :

dV=R20(hz)2h 2dz

2.3Il sut d'integrer l'expression precedente entre 0 eth:

V=R20 h

0(hz)2h

2dz =R20 (hz)33h2 h 0 =R20h3

On retrouve le volume du c^one habituel.

Exercice 3On part des coordonnees cylindriques ou : OM=!e

3.1On a par simple projection les deux relations suivantes :

e= cos'!ex+ sin'!ey!e'=sin'!ex+ cos'!ey

3.2On peut alors deriver sans problemes, puisque!exet!eysont, eux, des vecteurs xes :

d !edt =_'sin'!ex+ _'cos'!ey= _'!e' d !e'dt =_'cos'!ex_'sin'!ey=_'!e Gr^ace a ces deux relations, on va pouvoir retrouver la vitesse : v=d!edt = _!e+d!edt = _!e+_'!e'

De m^eme pour l'acceleration :

a=d_!e+_'!e'dt = !e+ __'!e'+ __'!e'+'!e'_'2!e

= (_'2)!e+ (2__'+')!e'Exercice 4On se place dans un systeme de coordonnees spheriques (r;;'), avec les vecteurs

elementaires associes (!er;!e;!e'). On appelleHle projete orthogonal deMdans le planxOy.

4.1Reprenons le vecteur!edes coordonnees cylindriques. En se placant dans le plan OMH, on

peut voir que :!er= cos!ez+ sin!e!e=sin!ez+ cos!e

De plus, dans l'exercice 3 on avait :

e= cos'!ex+ sin'!ey!e'=sin'!ex+ cos'!ey En reinjectant ces deux expressions dans les premieres, on obtient le resultat demande : er= sincos'!ex+ sinsin'!ey+ cos!ez!e= coscos'!ex+ cossin'!eysin!ez!e'=sin'!ex+ cos'!ey

4.2Il sut de deriver par rapport au temps. Le principe etant le m^eme pout les trois vecteurs,

faisons le juste pour!er: d !erdt =_coscos'!ex_'sinsin'!ex+_cossin'!ey+ _'sincos'!ey_sin!ez _(coscos'!ex+ cossin'!eysin!ez) + _'sin(sin'!ex+ cos'!ey) _!e+ _'sin!e'

On trouve de m^eme les relations suivantes :

d !erdt =_!e+ _'sin!e'd!edt =_!er+ _'cos!e'd!e'dt =_'sin!er_'cos!e

4.3En ce qui concerne la vitesse, il sut d'ecrire que!OM=r!er, et que :

v= _r!er+rd!erdr = _r!er+r(_!e+ _'sin!e') Pour l'acceleration, le calcul est du m^eme type, mais un peu plus fastidieux : a=d_r!er+r(_!e+ _'sin!e')dt = r!er+ _rd!erdt + _r(_!e+ _'sin!e') +r(!e+_d!edt + 'sin!e'+ _'_cos!e'+ _'sind!e'dt = r!er+ _r(_!e+ _'sin!e') + _r(_!e+ _'sin!e') +h r[!e+ 'sin!e'+ _'_cos!e'+_(_!er+ _'cos!e') + _'sin(_'sin!er_'cos!e)]

= (rr_2rsin2_'2)!er+ (2_r_+rrsincos_'2)!e+ (2_r_'sin+r'sin+ 2r_'_cos)!e'Exercice 55.1 On trouve immediatement que _x2+ _y2=R20. On a donc un mouvement circulaire

dans le planxOy.

5.2Le systeme de coordonnees le plus adapte est alors evidemment le systeme de coordonnees

cylindriques.

5.3On a alors immediatement, puisque de facon generalex=cos'ety=sin':

=R0'=!t z=z On a un mouvement helicodal.Exercice 6Mouvement oscillatoire derivant

6.1Il sut d'integrer l'expression de l'acceleration, sans oublier les constantes d'integration :

v=a0! sin(!t+') + Cste!ex

Or at= 0,!v=!0 , donc Cste =a0!

sin': v=a0! (sin(!t+')sin')!ex

6.2L'integrale du sinus est nul sur une periode, il ne reste donc plus que le terme constant. On

trouve directement : !v >=a0! sin't

6.3On a un mouvement oscillant mais donc la position moyenne possede un mouvement rectiligne

uniforme.Exercice 7Mouvement sur une cardiode.

7.1On a simplement :

dl=d!e+d'!e'

7.2On a :

ds=pd

2+2d'2

=s 12

0sin'd'

2 +204
(1 + cos')2d'2 0d'2 qsin

2'+ 1 + cos2'+ 2cos'

0d'2 p2 + 2cos' 0d'2 r4cos 2'2 =0cos'2 d'

7.3dsetant le module du deplacement elementaire le long de la courbe, il sut d'"additionner"

tous ces petits deplacements elementaires, et donc d'integrer : L= 2 0

0cos'2

d' = 20 0 cos'2 d' = 20h

2sin'2

i 0= 40

7.4On voit qu'on va refaire les m^emes calculs que pour l'evaluation deds. On a alors :

v=dsdt =0cos'2 d'dt

Exercice 8La voix de son Ma^tre

8.1Une projection montre que _x=vcoset que _y=vsin

De plus, la position du chien est donnee par!OM=!OA+!AMsoit en projection : x=!OM:!ex=v1trcos;y=rsin puisque la position du ma^tre vaut !OA=v1t!ex. On en deduit en derivant la premiere relation que : _x=v1_rcos+r_sin et la seconde que : _y=_rsinr_cos

En isolantr_dans la seconde, on trouve :

r _=(_r+v)sincos=(_r+v)tan qui mene en remplacant dans la premiere, a : vcos=v1_rcos_rsin2cosvsin2cos soit en multipliant tout par cos: vcos2=v1cos_rvsin2 et donc : _r=v1cosv En reinjectant cette expression dans celle der_,on trouve : r _=(v1cosv+v)tan=v1sin

8.2L'elimination dedtse fait en faisant le rapport de la premiere par la seconde :

1r drd =vv

1sincossin

Pour verier que la solution proposee fonctionne, calculons : drd =d" cossin

2tanvv

12 +1sinv2v11cos 22
tanvv 112
ce qui, multiplie par 1r =sindtanv=v12 , donne : 1r drd =cossin+v2v11cos 22
tan2

Or cos

22
tan2 = sin2 cos2 =sin2

Ce qui mene bien a :

1r drd =cossin+vv 1sin

Cette solution vaut biendquand=2

, ce qui est conforme aux conditions initiales.

8.3Lorsquetend vers 0, sinet tan=22

doncrd2 v=v1vv

11On a donc deux possibi-

lites : {si v > v1(le chien va plus vite que le ma^tre), alorsrtend vers zero lorsquetend vers zero : le chien rattrape le ma^tre. si v1< v(le ma^tre va plus vite), alorsrtend vers plus l'inni : le chien va nir sur l'axex, mais restera en arriere de son ma^tre.

8.4On sait quer_=v1sin, ce qui mene a :

dt=dv

1sin2tanvv

12 d Il faut quev > v1pour que le chien rattrape son ma^tre. Initialement,=2 et au nal 0, donc le temps mis pour rattraper le ma^tre vaut : T= 0 =2dv

1sin2tanvv

12 d ce qui concide bien avec l'expression de l'enonce, avec=vv 1.

On a donc :

T=vv1v

2v21 qui n'a de sens (c'est-a-dire est positif) siv > v1.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
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