MASTER 1 de mathématiques : Géométrie différentielle pdfsubject PDF

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Comment construire une courbe complète ?

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Comment calculer les points d’une courbe ?

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En particulier, la tangente au point d’abscisse 0 est horizontaleet a pour équationy=1. Pour déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en cepoint, on étudie le signe def(x)1 pourxproche de 0: Cette expression est positive au voisinage de 0 (et même>0 pourx6=0 proche de 0). La courbeest donc au-dessus de sa tangente. 5).

Introduction

Ce cours est difficile; en général les étudiants éprouvent beaucoup de dif- ficultés pour comprendre et faire les calculs; ceci provient essentiellement d"un manque de pratique dans la manipulation des outils : dérivées par- tielles, changement de variables, résolutions d"équations différentielles. Il faut chercher, faire, re-chercher re-faire les exercices de TD, les anciens partiels et examens, et aussi les calculs et les preuves du cours pour pou- voir être à l"aise.

Le plan du cours est le suivant :

Table des matièresIntroduction.. .......................................... 1 Le changement de variables ou changements de coordonnées .......................................................... 3

2.1. Le théorème d"inversion locale.. .............. 3

2.1.1. L"énoncé.. ................................ 3

2.1.2. Un critère global.......................... 3

2.1.3. A quoi ça sert?.. ........................ 4

2.2. Le théorème des fonctions implicites.. .... .... 6

2.2.1. L"énoncé.. ................................ 6

2.2.2. Application : suivre une racine simple de

polynôme.. .............. .............. 6

2.3. Applications à l"étude des courbes planes.. . . 7

2.3.1. Redressement d"une courbe.. ...... ...... 7

2.3.2. Courbe définie implicitement.. . . . . . . . . . . 7

2.3.3. Résumé : sous variété de dimension1du

plan :.. ................................ 7

2.3.4. Droite tangente.. ........................ 8

2.4. Applications : surfaces de l"espace.. ..... ..... 8

2.4.1. Définition.. .............................. 8

2.4.2. Plan tangent.. .......................... 10

2.4.3. Coordonnées locales sur une surface.. . . . . 10

2.4.4. Des exemples de surfaces.. . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Le changement de variables en intégration.. . . 12

2.5.1. Le théorème.. ............................ 12

2.5.2. La preuve.. .............................. 12

2.5.3. L"aire des surfaces et intégration sur les surfaces

.......................................... 142.5.4. Des exemples :.. .......................... 15 td1.. .................................................. 17 Équations différentielles.. .............................. 27

3.1. Rappel sur le cours de licence... .............. 27

3.1.1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz.. . . . . . . 27

3.1.2. Solutions maximales.. .................... 27

3.1.3. Dépendance par rapport aux conditions initiales.

.......................................... 27

3.1.4. Explosion en temps fini.. ........ ........ 28

3.2. Différentiabilité par rapport aux conditions initiales

.............................................. 30

3.2.1. Champs de vecteurs et flot.. . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2. Différentiabilité par rapport aux conditions

initiales.. ............... ............... 31

3.2.3. Différentiabilité d"ordre supérieur.. . . . . . . 32

3.2.4. Dépendance par rapport à un paramètre.. 32

3.2.5. Un exemple : une formule pour la différentielle

de l"exponentielle de matrice.. .......... 33

3.3. Quelques outils pour étudier les équations différentielles.

.............................................. 34

3.3.1. Orbites particulières.. .................... 34

3.3.2. Intégrale première.. ...................... 34

3.3.3. Intégrale première et orbite périodique.. 35

3.3.4. Le pendule.. .............. .............. 36

3.3.5. Equation différentielle à variables séparables

.......................................... 37

3.3.6. Appendice à cette partie : formes différentielles

.......................................... 38

3.4. Symétries et champs de vecteurs.. ............ 40

3.4.1. Comment transporter un champ de vecteurs

par un changement de coordonnées... . . 40

3.4.2. Symétrie, crochet de Lie... . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.3. Exemples : les champs de vecteurs invariants

par rotation surR2\ {0}... . . . . . . . . . . . . 42

3.4.4. Equation aux dérivées partielles du premier

ordre et redressement du flot... . . . . . . . . 43

3.5. Champs de vecteurs sur les surfaces.. . . . . . . . . 44

3.5.1. Flot d"un champ de vecteurs sur une surface

.......................................... 45 td2.. .................................................. 46 Extrema et Calcul des variations.. .......... .......... 51 1 2

4.1. Extrema liés.. ................................ 51

4.1.1. Deux exemples... ........................ 52

4.2. Problème variationnel.. ...................... 53

4.2.1. Motivation : le chemin le plus court pour

joindre deux points d"une surface... . . . . 53

4.2.2. Equation d"Euler-Lagrange.. . . . . . . . . . . . . 54

4.2.3. Avec une contrainte.. .................... 56

4.2.4. Retour aux surfaces : géodésiques.. . . . . . . 58

4.2.5. Géodésiques sur les surfaces de révolutions

.......................................... 59 td3.. .................................................. 61 Les courbes.. .......................................... 64

5.1. Généralités.................................... 64

5.1.1. Les arcs géométriques.. .................. 64

5.1.2. Longueur.. .............................. 64

5.2. Paramétrisation par longueur d"arc.. . . . . . . . . 65

5.3. Les courbes planes.. .......................... 66

5.3.1. La courbure.. ............................ 66

5.3.2. Enveloppe de Droites.. ......... ......... 69

5.4. Les courbes gauches.. ........................ 72

5.4.1. Courbure et Torsion.. .................... 72

5.4.2. Théorème fondamental.. ........ ........ 73

td4.. .................................................. 75 Les surfaces.. .......................................... 79

6.1. Rappel sur les formes quadratiques et bilinéaires

.............................................. 79

6.1.1. Définition.. .............................. 79

6.1.2. Matrices et changement de base.. .... .... 79

6.1.3. Formes quadratiques sur un espace euclidien

.......................................... 80

6.2. La première forme fondamentale.. ............ 80

6.2.1. Définition.. .............................. 80

6.2.2. Expression dans les cartes.. .............. 81

6.2.3. A quoi ça sert?.. ........................ 81

6.2.4. Quelques expressions.. ......... ......... 81

6.3. La seconde forme fondamentale.. . . . . . . . . . . . . 81

6.3.1. Définition.. .............................. 81

6.3.2. Expression dans les cartes.. .............. 82

6.3.3. Quelques Calculs.. ........... ........... 83

6.3.4. L"application de Weingarten ou "shape operator"

.......................................... 836.3.5. Courbures.. .............................. 84

6.3.6. Allure de la surface par rapport à son plan

tangent.. ............... ............... 84

6.3.7. Calcul des courbures d"une surface de révolution

.......................................... 86

6.3.8. Directions particulières.. ........ ........ 86

6.3.9. Appendice : Surfaces totalement ombilicales

.......................................... 87

6.4. Courbes sur une surface.. .................... 88

6.4.1. Repère de Darboux.. .......... .......... 88

6.4.2. Courbes particulières.. ......... ......... 89

6.5. Les surfaces réglées.. ............ ............ 89

6.5.1. Définitions.. .............................. 89

6.5.2. Surfaces développables.. .................. 91

6.6. Les surfaces minimales.. ...................... 92

6.6.1. Le problème.. ............................ 92

6.7. Exemple.. .................................... 93

6.8. Appendice : le Théorème Egregium de Gauss.. 95

6.8.1. Géométrie intrinsèque versus géométrie extrinsèque.

.......................................... 95

6.8.2. Le théorème Egregium.. .................. 96

td5.. .................................................. 99

Une bibliographie est la suivante :(1)Cartan, H.Calcul differentielHermann Paris 1967 Collection mé-

thodes(2)Donato, PaulCalcul différentiel pour la licence cours, exercices et

problèmes résolus.Dunod. Paris 2000 Sciences sup(3)M. Berger et B. Gostiaux :Géométrie différentielle : variétés, courbes

et surfaces.Seconde édition; Presses Universitaires de France, Paris, 1992.(4)Manfredo Do Carmo,Differential geometry of curves and surfaces

Prentice-Hall Inc. us Englewood Cliffs, NJ 1976.(5)Rouvière, FrançoisPetit guide de calcul differentiel à l"usage de la

licence et de l"agrégation.Cassini fr Paris 1999 Enseignement des Mathé- matique 3 (6)E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux :Cours de mathématiques

spéciales. 5. Applications de l"analyse à la géométrie.Masson, Paris, 1981.(7)M. Spivak, Michael :Calculus on manifolds. A modern approach to

classical theorems of advanced calculus.W. A. Benjamin, Inc., New York- Amsterdam 1965.(8)M. Spivak, Michael :A comprehensive introduction to differential

geometry.Vol. III. Publish or Perish, Inc., Boston, Mass., 1975.(9)Dirk Struik,Lectures on classical differential geometryAddison-

Wesley series in mathematics, 1961(10)Leborgne, D.Calcul différentiel et géométrie.Presses Universi-

taires de France. Paris, 1982.(11)Doss-Bachelet, Catherine Françoise, Jean-Pierre; Piquet, Claude Géométrie différentielle avec 80 figures.Ellipses, Paris 2000. Mathéma- tiques pour le 2e cycle - cours et exercices corrigé Le changement de variables ou changements de coordonnées Dans cette leçon,? ?est une norme quelconque sur l"espaceRn. SiU?Rn est un ouvert etr?N? {∞}, on noteCr(U,Rp)l"espace vectoriel des applications derfois continûment différentiables surUà valeurs dansRp. On noteB(x,R)la boule ouverte de centrexet de rayonR.

2.1. Le théorème d"inversion locale. -

2.1.1. L"énoncé. -Théorème 2.1. -SoitUun ouvert deRnetf?Cr(U,Rn)avecr≥1,

si enx0?U, la différentielle def,Df(x0)est inversible alors il y a une bouleB(x0,ε)?Utelle que

f:B(x0,ε)→f(B(x0,ε))soit unCrdifféomorphisme(1). De plus la différentielle de la réciproque

f -1(2)est donnée par

D(f-1)(y) =?

Df?f-1(y)??-1

Je vous conseille de revoir la preuve dans votre cours de Licence. De ce théorème on en déduit un critère global :

2.1.2. Un critère global. -Proposition 2.2. -SoitUun ouvert deRnetf?Cr≥1(U,Rn), on

suppose que ?x?U,Df(x)?GLn(R) et quefest injective, alorsfest unCrdifféomorphisme deUsurf(U).

Une application de ce résultat est le suivant :Corollaire 2.3. -Sif:Rn→Rnest une application de classeCr≥1

injective, propre telle que ?x?Rn,Df(x)?GLn(R) alorsfest unCrdifféomorphisme deRnsur lui même.

On donne la définition d"une application propreDéfinition 2.4. -On dit qu"une application continuef:Rn→Rpest

propre si l"une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée :i))Pour tout compactKdeRpalorsf-1(K)est un compact deRn.ii)lim

?x?→∞?f(x)?= +∞ La première condition permet de définir la notion d"applications propres sur tout espace topologique (mais cela n"est intéressant que sur les espaces topologiques localement compacts).(1) On rappelle qu"une application de classeCr≥1est unCrdifféomorphisme si elle est bijective et si sa réciproque est aussi de classeCr. Une application continue bijective dont la réciproque est continue est appelée homéomorphisme. (2)C"est un léger abus de notation, car c"est la réciproque de la restriction defà

B(x0,ε).

4 Il est clair que ces deux définitions coïncident : ii) équivaut au fait que pour toutM >0il y aR >0telle que ?x?> R? ?f(x)?> M.

Ou encore que

i.e.ii)nous dit que l"image réciproque de tout ensemble borné deRpest borné. Mais puisquefest continue, l"image réciproque d"un compact est toujours fermée (car l"image réciproque d"un fermé par une application continue est fermé); en particulier puisque les compacts deRnsont les fermés bornés, i) équivaut aussi au fait que l"image réciproque de tout ensemble borné de R nest borné. Pour montrer le corollaire il suffit de montrer qu"une telle applicationf est surjective. CommeRnest connexe, il suffit de démontrer que sous ces

hypothèsesf(Rn)est ouvert et fermé.-Siy0=f(x0)?f(Rn)alors grâce au théorèmes d"inversion locale2.1, il y aε >0telle que l"ouvertf(B(x0,ε))soit bien sur inclus dans

f(Rn),f(Rn)contient donc un ouvert contenanty0, et ceci pour tout y

0?f(Rn):f(Rn)est bien ouvert.-On montre maintenant quef(Rn)est fermé : si?

y k=f(xk)? k est une suite convergente def(Rn) lim kyk=y∞ alors l"ensemble constitué de cette suite et de sa limite est un compact deRndonc son image réciproque est un compact deRn, en particulier la suite? x k? k vit dans un compact : on peut extraire de cette suite une sous suite convergente? x n(k)? k lim kxn(k)=x∞ et par continuité defon a forcémenty∞=f(x∞). Doncf(Rn)est fermé.2.1.3. A quoi ça sert?-Cela sert à montrer qu"une application est loca- lement bijective, ou à montrer que l"inverse d"une application estCr; par exemple :la racine carrée des matrices symétriques définies posi- tivesSoitSym+n={A? Mn(R),tA=A,A >0}l"ensemble des matrices carréesn×nsymétriques définies positives : c"est un ouvert de l"espace vectorielSymn={A? Mn(R),tA=A,}des matrices symétriques. De plus siA?Sym+non sait qu"il existe une unique⎷A?Sym+ntel que (⎷A)2=A. Alors ⎷: Sym +n→Sym+n estC∞. La construction de la racine carrée d"une matrice symétrique définie posi- tive ne donne pas ce résultat. On montre plutôt que son inverse

C: Sym+n→Sym+n

A?→A2

est unC∞-difféomorphisme. C"est évidement une applicationC∞puisque les coefficients de la matrice deA2sont des polynômes en les coefficients deA, elle est bijective (par définition de la racine carrée!). Le théorème d"inversion globale2.2nous dit que siDC(A)est inversible pour toutA?Sym+nalorsCsera unC∞- difféomorphisme. MaisDC(A)?End(Symn)et pourH?Symn, nous avons :

DC(A)(H) =AH+HA

Soit doncH?Symntel queAH+HA= 0. En multipliant cette identité parHà gauche on obtientHAH+H2A= 0puis en prenant la trace de cette identité on obtient :

TrHAH+H2A= 2TrHAH= 0

(carTrH2A= TrHHA= TrHAH) mais on a aussi

HAH=t(⎷AH)(⎷AH),

on a doncTrt(⎷AH)(⎷AH) = 0, mais un petit calcul montre que cette trace est exactement la somme des carrés des coefficients de la matrice 5 ⎷AH, la matrice⎷AHest donc nulle et puisque⎷Aest inversible, on a aussiH= 0. On a donc de vérifier quekerDC(A) ={0}doncDC(A)est bien inversible pour toutA?Sym+n. Cela sert aussi à trouver des coordonnées plus adaptées (exemple plus loin des coordonnées polaires, cylindriques, sphériques). Il faut voir cela comme une version non linéaire du changement de base (qui correspond à un changement de coordonnées) en algèbre linéaire : celui ci vous permet d"exprimer une application linéaire de façon plus simple.

Exemple :Le lemme de Morse en dimension2(3):

Théorème 2.5. -SoitUun ouvert deR2etf?Cr(U,R)avecr≥3, on suppose qu"en(x0,y0)?U Df(x0,y0) = 0et queD2f(x0,y0)est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée. Grâce au lemme de Gauss, il y a une base(e1,e2)deR2telle que D

2f(x0,y0)(ue1+ve2,ue1+ve2) =?

2+v2siD2f(x0,y0)>0

-u2-v2siD2f(x0,y0)<0 u 2-v2 Alors il y aε >0et unCr-2difféomorphisme sur son imageC:B((x0,y0)),ε)?→ R 2,

C(x,y) = (u(x,y),v(x,y))

avecC(x0,y0) = (0,0)et telle que f(x,y) =f(x0,y0) +12 =f(x0,y0) +12 ?±u2(x,y)±v2(x,y)? Avant de prouver ce théorème, voyons comment il peut être utiliser pour l"étude des lignes de niveau{f= Cte}. Dans le cas oùD2f(x0,y0)(ue1+ ve

2,ue1+ve2) =u2+v2, on sait donc que pourc < f(x0,y0), l"ensemble

des points deB((x0,y0),ε)qui vérifie{f(x,y) =c}est vide alors que pourc=f(x0,y0), cet ensemble est réduit au point(x0,y0)et que pour c > f(x0,y0), c"est une courbe qui est l"image par le difféomorphismeC-1 d"un cercle de rayon?2(c-f(x0,y0)). On a un résultat analogue dans les(3)

Un tel résultat existe aussi en dimension supérieure.autres cas. Ainsi dans les coordonnées(u,v)l"applicationfest beaucoup

plus simple.lignes de niveau de x²+y²=1/2,1,2

±1±0.50.5

±2 ±1 1 2

x, ligne de niveau de x²-y²=±1,0,1

±2±1012