[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

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COURBES ET SURFACESUNIVERSITÉPARIS-SUD

MATH2132018-2019TD I - Corrigé

1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes

Exercice 1.1(Astroïde). -L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].

• On ax(¡t)AEx(t) ety(¡t)AE¡y(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼]. • On ax(¼¡t)AE¡x(t) ety(¼¡t)AEy(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼2

i • On ax³¼2

¡t´

AEy(t) ety³¼2

¡t´

AEx(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼4

i

De plusk°(t)k2É1 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier les

fonctionsxety:½x0(t)AE ¡3sin(t)cos2(t) y

0(t)AE3cos(t)sin2(t)

Sur l"intervalle [0,¼/4] on ax0(t)É0 ety0(t)Ê0. Ainsi,xest toujours décroissante etyest toujours croissante

sur [0,¼/4]. Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités. EntAE¼/4 on a

°0³¼4

AE3Ã

p2 2 3 (¡1,1). EntAE0 on a¡!°0(0)AE¡!0 et¡!°00(0)AE(¡3,0).

Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼/4] est en noir. La partie correspon-

dant à [¼/4,¼/2], en bleu, est obtenue par réflexion par rapport à la première bissectrice des axes. La partie

correspondant à [¼/2,¼], en vert, est obtenue par réflexion par rapport à l"axe des ordonnées. Le reste de la

courbe, en rouge, est obtenu par réflexion par rapport à l"axe des abscisses.Exercice 1.2(Cardioïde). - 1. On a d"une part

sin³p¡q2

AEsin³p2

cos³q2

¡sin³q2

cos³p2 et d"autre part cos³pÅq2

AEcos³p2

cos³q2

¡sin³p2

sin³q2 d"où sin³p¡q2 cos³pÅq2

AEcos2³q2

sin³p2 cos³p2

¡sin2³p2

cos³q2 sin³q2

¡cos2³p2

sin³q2 cos³q2

Åsin2³q2

sin³p2 cos³p2

AEsin³p2

cos³p2

¡sin³q2

cos³q2 AE 12 sin(p)¡12 sin(q). La deuxième égalité se démontre de même.

2. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].

• On ax(¡t)AEx(t) ety(¡t)AE¡y(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼].

De plus,k°(y)k2É18 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier

les fonctionsxety:8>>>< >>:x

0(t)AE ¡2sin(t)Å2sin(2t)AE4sinµt2

cosµ3t2 y

0(t)AE2cos(t)¡2cos(2t)AE4sinµt2

sinµ3t2

Sur l"intervalle [0,¼], sin(t/2)Ê0 et sin(3t/2) change de signe une fois en 2¼/3. Ainsi,yest croissante

sur [0,2¼/3] puis décroissante sur [2¼/3,¼]. D"autre part, cos(3t/2) change de signe une fois, pourtAE¼/3.

Ainsi,xest croissante sur [0,¼/3] puis décroissante sur [¼/3,¼]. Pour nous aider à tracer la courbe,

étudions les tangentes aux extrémités. EntAE¼on a

¡!°0(¼)AE(0,¡2)

EntAE0 on a¡!°0(0)AE¡!0 et¡!°00(0)AE(2,0).

Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼] est en bleu. Le reste de la

courbe, en vert, est obtenu par réflexion par rapport à l"axe des abscisses.Exercice 1.3. -L"arc n"a pas de symétrie particulière, nous allons donc faire l"étude surR. On remarque que

k°(t)k2¡!t!§1Å1, il y a donc deux branches infinies, en§1. • EnÅ1, on a y(t)x(t)!t!Å1Å1 et la courbe a une branche parabolique dans la direction ~j. • En¡1, on a y(t)x(t)!t!Å1¡1 et la courbe a une branche parabolique dans la direction ~j. Nous pouvons maintenant étudier les fonctionsxety:½x0(t)AE2tÅ3t2 y

0(t)AE4t3

Sur l"intervalle ]¡1,0], on ay0(t)É0 et sur l"intervalle [0,Å1[, on ay0(t)Ê0. Ainsi,yest décroissante pour

t2]¡1,0] puis croissante pourt2[0,Å1[. D"autre part, on a x

0(t)AEt(2Å3t)

doncx(t)É0 pourt2[¡2/3,0] etx(t)Ê0 en dehors. Ainsi,xest croissante sur ]¡1,¡2/3], puis décroissante sur

[¡2/3,0], puis à nouveau croissante sur [¡2/3,Å1[. Il y a un unique point singulier entAE0. Pour déterminer

sa nature, nous devons calculer les dérivées successives : ¡!°00(0)AE(2,0),¡!°000(0)AE(6,0) et¡!°000(0)AE(0,24).

On a donc un point de rebroussement de seconde espèce. Nous pouvons maintenant tracer la courbe.Un calcul direct permet de montrer qu"entAE ¡4/3, la courbure s"annule et change de signe. La branche

infinie "de gauche" s"infléchit donc en ce point. Pour des raisons d"échelle, ce phénomène n"apparaît pas sur la

figure précédente.

Exercice 1.4(Courbe orthoptique). - 1. D"après l"exercice 1.1, le vecteur tangent à l"astroïde au point

de paramètretest

AE3sin(t)cos(t)(¡cos(t),sin(t)).

Le point de paramètretest régulier si et seulement si sin(t)cos(t)6AE0 et le vecteur~u(t) de coordonnées

(¡cos(t),sin(t)) est alors un vecteur tangent unitaire.

2. Caculons le produit scalaire de ces deux vecteurs :

h

AEcos(t1¡t2).

Ainsi, les tangentes aux points°(t1) et°(t2) seront orthogonales si et seulement si t

1AEt2ż2

Åk¼

pourk2Z.

3. L"équation de la tangente au point°(t) est

sin(t)xÅcos(t)yAEsin(t)cos(t)

4. Il découle de ce qui précède que la courbe cherchée est l"ensemble des points d"intersections des tangentes

à l"astroïde aux points°(t) et°(tż/2) quandtparcourtR. L"équation de la tangente au pointtż/2 est

sin tż2 xÅcos³ tż2 yAEsin³ tż2 cos³ tż2 cos(t)x¡sin(t)yAE ¡cos(t)sin(t) cos(t)x¡sin(t)yAE ¡cos(t)sin(t)

Le point d"intersection des tangentes aux points°(t) et°(tż/2) est donc défini par le système d"équations

½sin(t)xÅcos(t)yAEsin(t)cos(t)

cos(t)x¡sin(t)yAE ¡sin(t)cos(t)

En multipliant la première ligne par sin(t) et la seconde par cos(t) et en additionnant, on obtient

xAEsin2(t)cos(t)¡sin(t)cos2(t).

En multipliant la première ligne par cos(t) et la seconde par¡sin(t) et en additionnant, on obtient

yAEsin(t)cos2(t)Åsin2(t)cos(t).

La courbe orthoptique de l"astroïde est donc le support de l"arc paramétréÃ:R!R2défini par

5. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].

• On ax(¡t)AEy(t) ety(¡t)AEx(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼]. • On ax(¼¡t)AE¡y(t) ety(¼¡t)AE¡x(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼2

i • On ax³¼2

¡t´

AE¡x(t) ety³¼2

¡t´

AEy(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼4

i

De plusd(0,°(t))2É8 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier

les fonctionsxety. Commençons parx, x

AE2(cos(t)Åsin(t))µ

¡1Å32

Sur l"intervalle [0,¼/4] la fonctiont7!1¡3sin(2t)/2 est strictement décroissante. Il existe donc un unique

t

02[0,¼/4] tel quex0(t)É0 pourt2[0,t0] etx0(t)Ê0 pour [t0,¼/4]. Ainsi,xest décroissante sur [0,t0]

puis croissante sur [t0,¼/4]. Nous pouvons maitenant étudiery: y

0(t)AE ¡2sin2(t)cos(t)Åcos3(t)¡sin3(t)Å2sin(t)cos2(t)

AE2(cos(t)¡sin(t))µ

1Å32

Sur l"intervalle [0,¼/4], on ay0(t)Ê0. Ainsi,yest toujours croissante. Pour nous aider à tracer la courbe,

étudions les tangentes aux extrémités. EntAE¼/4 on a

°0³¼4

AEÃ

p2 2 ,0!

EntAE0 on a

¡!°0(0)AE(¡2,2).

Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼/4] est en noir. La partie

correspondant à [¼/4,¼/2], en bleu, est obtenue par réflexion par rapport à l"axe des ordonnées. La partie

correspondant à [¼/2,¼], en vert, est obtenue par réflexion par rapport à la second bissectrice des axes.

Le reste de la courbe, en rouge, est obtenu par rélfexion par rapport à la première bissectrice des axes.2. Études de courbes en coordonnées polaires

Exercice 2.1. -L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

• La fonction½est 2¼-périodique, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].

• On a½(¡µ)AE½(µ), et~u¡µAE¾x(~uµ) où¾xdésigne la réflexion par rapport à l"axe des abscisses. On en

déduit que°(¡t)AE¾x(°(t) et qu"il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼].

De plus,j½(µ)j É3 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier la

fonction½:

0(µ)AE¡2sin(µ).

Sur l"intervalle [0,¼] on a½0(µ)É0. Ainsi,½est toujours décroissante. De plus,½s"annule enµAE2¼/3. On a

donc½(µ)Ê0 pourµ2[0,2¼/3] et½(µ)É0 pourµ2[2¼/3,¼]. Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les

tangentes aux extrémités. EntAE¼on a, avec les notations du cours,

EntAE0 on a

Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼] est en bleu. Le reste de la courbe,

en vert, est obtenu par réflexion par rapport à l"axe des abscisses. Exercice 2.2(Eadem mutata resurgo). - 1. Calculons les dérivées de°:

AEaln(b)bµ~uµÅabµ~vµ

et

Pour montrer que ces deux vecteurs forment une famille libre, il suffit de vérifier que leur déterminant

est non nul : det(

AEa2ln(b)2b2µÅa2b2µ

AEa2b2µ(ln(b)2Å1)

6AE0.

2. Soit®l"angle entre la tangente au pointMAE°(t) et la droite (OM). Un calcul immédiat montre que

k°0(µ)kAEabµp1Åln(b)2. Comme (OM) est dirigée par~uµ, on a alors cos(®)AE

¡!°0(t),~uµ®k

¡!°0(t)k

AE aln(b)bµab

µp1Åln(b)2

AE ln(b)p1Åln(b)2. On remarque que cet angle ne dépend pas du pointM.

3. D"après le cours, pourMAE°(t),

`(M)AEZ t ¡1 k¡!°0(µ)kdµ AE Z t ¡1 abµp1Åln(b)2dµ

AEap1Åln(b)2·bµln(b)¸

t ¡1

AEabµs1Å1ln(b)2

AEOMs1Å1ln(b)2.

On remarque que`(M)/OMne dépend pas du pointM.

4. Il suffit d"appliquer la formule du cours :

AE

¡abµ¢2(ln(b)2Å1)³

ab

µp1Åln(b)2´3

AE 1OM

1p1Åln(b)2

AE sin(®)OM

5. On remarque que le rayon de courbure au pointMAE°(t) est égal à

RAEOMsin(®).

SiCdésigne le centre de courbure, on a doncOMAECMsin(®)AECMcos(¼/2¡®). Il s"ensuit que le

triangleOCMest rectangle enO. Pour trouverC, il suffit donc de tracer la normale à la courbe au point

Met la perpendiculaire àOMpassant parO. Ces deux droites s"intersectent au centre de courbure.

3. Exercices complémentaires

Cette section contient quelques indications pour les exercices complémentaires. Exercice 3.1(Courbes cartésiennes). -Voici les tracés des courbes.

1. Lacycloïde:x(t)AEt¡sin(t) ety(t)AE1¡cos(t).

2. Lacourbe de Lissajous:x(t)AEcos(3t) ety(t)AEsin(4t).3.x(t)AE3t4¡2t3ety(t)AEt2¡t.

4.x(t)AEtetety(t)AEett

.5.x(t)AEetcos(t)ety(t)AEetsin(t). Exercice 3.2(Courbes polaires). -Voici les tracés des courbes.

3.½(µ)AEsin(µ)µ

.4.½(µ)AEsinµ2µ3

5.½(µ)AEtanµ2µ3

.Exercice 3.3(Lemniscate de Bernoulli). -Il faut étudier la courbe d"équation½AEpcos(2µ) sur [0,¼/4]

puis faire une symétrie par rapport à l"axe des abscisses pour obtenir la courbe sur [¡¼/4,0]. En faisant

une symétrie par rapport à l"origine on obtient ensuite le support de la courbe d"équation½AE ¡pcos(2µ). La

réunion des deux est la courbe cherchée.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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