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Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphique Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant
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ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 II Vecteurs 1 Définition : Définition : Méthode : Construire un point défini à partir d'une somme de vecteurs
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Déterminer la somme des vecteurs sur chacune des figures suivantes et Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l'aide d'une figure
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La deuxième représentation mathématique d'un vecteur peut se faire à l'aide d'un couple longueur et longueur utilisant la définition de l'addition :
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Un vecteur est un objet mathématique qui est caractérisé par 3 informations : une longueur une On définit donc une translation à l'aide d'un vecteur
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3) Conjecturer une relation liant les coordonnées de deux vecteurs égaux ACTIVITÉ 6 Opérations Partie 1 : coordonnées d'une somme 1) Dans un repère (O;
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Définition : La somme de deux vecteurs u et est le vecteur résultant de l'enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur Application :
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6 2 Somme de deux vecteurs 11 Fonction polynôme du second degré Souvent un évènement quelconque A peut s'exprimer à l'aide d'évènements
Chapitre2.1-Les vecteurs
Le vecteur
Le vecteur représente unmodule(grandeur)avec uneorientation. On utilise la flèche pour le représenter graphiquement.Pour identifier une variablecomme étantvectorielle, il suffit de mettre une "petite flèche» au-dessus de la variable:Pointede la flèche :Orientation
Longueurde la flèche:Module(Grandeur)
Addition graphique d'un vecteur
Un vecteur supporte l'opération de l'addition. Graphiquement, il suffit de mettre bout à bout les flèches: car:Soustraction graphique d'un vecteur
La soustraction est l'action d'inverser le sens d'un vecteur. Ainsi, la flèche point dans l'autre sens: car: Note de cours rédigée par: Simon VézinaPage2Représentation mathématique d'un vecteur
Puisqu'un vecteur représente une grandeur physique avecune orientation, on peut représenter mathématiquement un vecteur à l'aide d'un couplelongueuretangle: ,AA oùA: Le vecteur.A: Le module du vecteur (la longueur).
: Angle que fait le vecteur par rapport à un systèmed'axe.Exemples:30,5B45,12C
La deuxième représentation mathématique d'un vecteur peut se faire à l'aide d'un couple longueuretlongueurutilisant la définition de l'addition:yxyxAAAAA, oùA: Le vecteur. xA: Longueurdu vecteurprojetéesur l'axex. xA: Longueurdu vecteurprojetéesur l'axey. xA: Vecteur parallèle à l'axex. yA: Vecteur parallèle à l'axey. On peut faire le lien entre lesdeuxreprésentations grâce aux relationstrigonométriques suivantes: cosAAx sinAAy 22yxAAA Note de cours rédigée par: Simon VézinaPage3
Vecteur unitaire
Levecteur unitaireest un vecteur delongueur 1ayant unedirection particulière. Certains sontalignéssur unaxedusystème de coordonnée.D'autres sont alignés dans unedirectionreliéeà unconcept physique. On utilise le "chapeau» ( ex:n) pour représenterun vecteur unitaire: ioux: Vecteur unitaire aligné sur l'axex. jouy: Vecteur unitairealigné sur l'axey. kouz: Vecteur unitaire aligné sur l'axez.Exemple vecteur unitaire pas aligné sur l'axe:
v: Orientation de la vitesseModuled'un vecteur
Lemoduled'un vecteurreprésente salongueur(grandeur). On peut l'évaluer à l'aide du théorème de pythagore:En deux dimensions:
AAAAAAAyxyx22,,
oùA: Le vecteur étudié.etcosAAxA,A: La norme deA.sinAAy
22yxAA: Théorème de pythagoreen 2D22 yxAAA
En trois dimensions:
AAAAAAAAAzyxzyx222,,,,
où222 zyxAAA: Théorème de pythagore en 3D.Norme d'un vecteur unitaire:
1111nkji
Note de cours rédigée par: Simon VézinaPage4 Représentation d'un vecteur en vecteur unitaire À l'aide de la définition de l'addition graphique d'un vecteur, on peut décomposer un vecteur quelconque en vecteur unitaire de la façon suivante:kAjAiAAAAAzyxzyxExemple:
jiA353,5Addition algébrique d'un vecteur
Pour additionner des vecteurs algébriquement, il faut les représenter en vecteurs unitaires. Ainsi, tout comme l'addition graphique, on peut additionner les composantesx ensemble, les composantesyensemble et les composanteszensemble: N i iiiBABA 1 oùN: Nombre de dimensionsau vecteur.(en: en 3D,N= 3) i: Une dimension particulièreduvecteur( ex:x,y) i: Vecteur unitaire aligné sur l'axei( ex:ietx,yety)Exemple en 2D:jBAiBAjBiBjAiABAyyxxyxyx
Multiplication d'un vecteur par un scalaire
Puisque la multiplication est une répétition d'additionssemblables, on peut définir la multiplication d'un vecteur par un scalaire de la façon suivante: N i iiAA 1 où: Multiplicateurscalaire auvecteur ()Exemple en 2D:jAiAjAiAǹyxyx
Exemple en3D:kAjAiAkAjAiAǹzyxzyx
Note de cours rédigée par: Simon VézinaPage5Exercices
Exercice A:Vecteursgraphiqueset algébriques.Soit les deux vecteurs :30,4Aet60,7B
a) Dessinez les deux vecteurs avecl'échellesuivante 1 cm = 1 unité. b)Dessinez l'opérationBAC. c)Dessinez l'opérationBAC. d)Exprimez mathématiquement les vecteursAetBà l'aide des vecteurs unitaireietj. e)Exprimez mathématiquement l'opérationBAC. f)Exprimez mathématiquement l'opérationBAC. Exercice B:Vecteurs dans un plan cartésien.Pour positionner desobjets dans un plancartésien, on peut utiliser la notation vectorielle. Il est alors très important de connaître
l'origine (0,0) du plan cartésien. Considérons l'objet A à la coordonnée (4,5) et un l'objet B à la coordonnée (7,2): a)Dessinez les deuxvecteursAetBpartant de l'originepermettant de positionner l'objetA et B par rapport à l'origine.
b)Évaluez mathématiquement les vecteursAetBà l'aide des vecteursietj. Ceci représente le déplacement nécessaire enietjpour passer de la coordonnée (0,0) à la coordonnée de l'objet A et B. c)Dessinez le vecteurCreprésentant le déplacement nécessaire pour passer de l'objet Aà l'objet B.
d)Évaluez mathématiquement le vecteurCà l'aide des vecteursietj. e)Trouvez une opération mathématique qui permet de construire le vecteurCà partir des vecteurAetB. (Exemple:BAC,BAC,BAC2) Note de cours rédigée par: Simon VézinaPage6Solutions
Exercice A:Vecteursgraphiqueset algébriques.
a)P.S.ces dessins ne sont pas à l'échelle, mais l'idée est bien représentée. b)c) d) jijiA246,330sin430cos4)30,4( jijiB06,65,330sin460cos7)60,7( e) f) Note de cours rédigée par: Simon VézinaPage7Exercice B:Vecteurs dans un plan cartésien.
a) b) jiA54jiB27 c) d) jiC33 e)ABCcarjijijiABC335427
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