[PDF] [PDF] Mathématiques Lycée – Classe de 2nde 1 Ch 2 Vecteurs et problèmes

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 1 Ch 2 Vecteurs et problèmes 1°/ Notion de vecteur 2°/ Opérations sur les vecteurs 3°/ Coordonnées de vecteurs 4°/ Vecteurs colinéaires 1°/ Notion de vecteur 1. 1 Translation de vecteur í µí µ Définition : La translation qui transforme A en B est l'application qui à chaque point C du plan associe le point D tel que ABDC soit un .........................., c'est-à-dire tel que les segments [AB] et [CD] .................................... Remarque : de maniè re intuitive, une translat ion correspond à un glissement selon une direction, un sens et une longueur donnés. Définition : On associe à la translation qui transforme A en B un segment orienté appelé vecteur. On le note AB. La translation qui transforme A en B est alors appelée translation de vecteur í µí µ. 1.2 Egalité de vecteurs Définition : Deux vecteurs AB et CD sont égaux si la translation qui transforme A en B associe au point ... le point .... On note AB=CD. Remarque : ces deux vecteurs ont alors la même direction (c'est-à-dire que (AB) // (CD)), le même sens et la même longueur. Propriétés : • Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seu lement s i le quadrilatère ABDC est un ............................ (éventuellement aplati). • On considère trois points A, B et I. I est le milieu de [AB] si et seulement si í µí µ=í µí µ. Conséquence : il existe donc plusieurs représentants d'un même vecteur. Dans l'exemple ci-dessus, í µí µ et í µí µ représentent le même vecteur. Remarque : de la même façon que l'on peut désigner une droite avec une seule lettre (d), on peut également désigner un vecteur par une seule lettre í µ.

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 2 Application : Tracer le représentant d'un vecteur On considère le triangle quelconque ABC ci-dessous. • Tracer le représentant du vecteur í µí µ d'origine C, en utilisant un milieu. • Tracer le représentant du vecteur í µí µ d'extrémité B, en utilisant le compas. Vecteurs particuliers : • Le vecteur nul, noté 0, est associé à la translation qui transforme A en A, B en B, etc. On a : 0=í µí µ. • Le vecteur opposé au vecteur í µí µ est associé à la translation qui transforme B en A. On a : -í µí µ=í µí µ. Application : Déterminer des vecteurs égaux ; opposés Utiliser la figure ci-contre pour déterminer : • un vecteur égal à í µí µ : • un vecteur égal à í µí µ : • un vecteur opposé à í µí µ : • un vecteur égal à í µí µ : • un vecteur égal à í µí µ d'extrémité F : • un vecteur égal à í µí µ d'origine A : • deux vecte urs de même direction, de même sens mais qui ne sont pas égaux : • deux vecteurs de même longueur qui ne sont pas égaux : • deux vecteurs de même direction, de sens contraire, qui ne sont pas opposés :

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 3 Application : Démontrer à l'aide des vecteurs Soient A, B, I et J quatre points distincts. Construire les points C et D symétriques respectifs de A et B par rapport à I ; et les points E et F symétriques respectifs de A et B par rapport à J. Démontrer que FDCE est un parallélogramme. 2°/ Opérations sur les vecteurs 2.1 Multiplication d'un vecteur par un réel Définition : on considère un vecteur non-nul í µ et un réel non-nul k. Le vecteur í µí µ est tel que : • í µ et í µí µ ont la même direction ; et : • si k > 0 : í µ et í µí µ ont le même sens et í µí µ a pour longueur k fois la longueur de í µ. • si k < 0 : í µ et í µí µ ont des sens opposés et í µí µ a pour longueur (- k) fois la longueur de í µ.

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 4 Application : construire les représentants de vecteurs í µí µ On considère le vecteur í µ ci-dessous. Construire un représentant de chacun des vecteurs : 2í µ ;-3í µ ;!!í µ 2.2 Somme de vecteurs Définition : La somme de deux vecteurs í µ et í µ est le vecteur résultant de l'enchaînement des translations de vecteur í µ et de vecteur í µ. Application : construire les représentants de sommes de vecteurs On considère les vecteurs í µ et í µ ci-dessous. Construire les vecteurs suivants : • à partir du point A, le vecteur í µ+í µ ; • à partir du point B, le vecteur -í µ+í µ ; • à partir du point C, le vecteur 3í µ-í µ. Remarque : le point D t el que í µí µ=í µí µ+í µí µ est le quatriè me sommet du parallélogramme ABCD. 2.3 Relation de Chasles Relation de Chasles : On considère trois points A, B et C. Alors : í µí µ=í µí µ+í µí µ.

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 5 Application : simplifier des sommes de vecteurs 1) En utilisant la relation de Chasles, simplifiez les écritures des vecteurs suivants : í µ=í µí µ+í µí µ+í µí µ í µ=í µí µ-í µí µ+í µí µ-í µí µ í µ=í µí µ-í µí µ-í µí µ 2) On considère le triangle ABC ci-dessous. Construire le point M tel que í µí µ=2í µí µ+3í µí µ. 3°/ Coordonnées de vecteurs 3.1 Coordonnées d'un vecteur Définition : On considère un repère (O ; I, J) et un vecteur í µ. Les coordonnées du vecteur í µ dans ce repère sont les coordonnées (x ; y) du point M tel que í µí µ soit un représentant de í µ. Notation : on peut noter les coordonnées d'un vecteur de deux manières : í µí µ ; í µ ou í µí µí µ

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 6 Application : lire les coordonnées d'un vecteur a) Lire les coordonnées des vecteurs í µ,í µ,í µ représentés ci-contre. b) Construire un représentant du vecteur í µ(-4 ; -1). Remarques : • un repère (O ; I, J) se note également (O, í µ,í µ) ; • le vecteur nul 0 a pour coordonnées ( 0 ; 0) Propriété : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère. 3.2 Coordonnées du vecteur í µí µ Propriété : On considère un repère (O, í µ,í µ) et les points í µ(í µ!;í µ!) et í µ(í µ!;í µ!). í µí µí µ!-í µ! ; í µ!-í µ! Application : calculer les coordonnées d'un vecteur Dans un repère, on considère les points A( 2 ; - 3), B(- 1 ; 5) et C( - 2 ; 3). Déterminer les coordonnées des vecteurs í µí µ, í µí µ et í µí µ. 3.3 Coordonnées du vecteur í µí µ Propriété : Soit un réel k. Si dans un repère, í µ a pour coordonnées (x ; y), alors í µí µ a pour coordonnées (k x ; k y). Application : calculer les coordonnées d'un vecteur í µí µ Dans un repère, on considère les vecteurs í µ(-3;1) et í µ(!!;-1). Déterminer les coordonnées de !!í µ et de -2í µ. 3.4 Coordonnées du vecteur í µ+í µ Propriété : Si dans un repère, í µ a pour coordonnées (x ; y) et í µ a pour coordonnées (x' ; y') , alors í µ+í µ a pour coordonnées ( x + x' ; y + y').

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 7 Application : calculer les coordonnées d'une somme de vecteurs Dans un repère, on considère les vecteurs í µ-32 et í µ4-5. Déterminer les coordonnées de í µ+í µ et de í µ-í µ. 4°/ Vecteurs colinéaires 4.1 Définition et conséquence Définition : Deux vecteurs non nuls í µí µ í µí µ í µí µ sont dits colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire si les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Propriété : Deux vecteurs non nuls í µí µ í µí µ í µí µ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que í µ=í µí µ . Application : démontrer que des droites sont parallèles en utilisant la colinéarité Dans un repère, on considère les points A( - 1 ; 3), B(7 ; -1), C(5 ; 0) et D(4 ; 2). Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Conséquence : Les trois point s A, B et C sont alignés si et seul ement si les vecteurs í µí µ í µí µ í µí µ sont colinéaires. Application : démontrer que des points sont alignés en utilisant la colinéarité Dans un repère, on considère les points A( - 1 ; 3), B(7 ; -1), C(5 ; 0). Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

LFM - Mathématiques Lycée - Classe de 2nde 8 4.2 Colinéarité et coordonnées Comme nous l'avons dit précédemment, la colinéarité de deux vecteurs non nuls í µ(í µ ;í µ) í µí µ í µ (í µâ€²;í µ ′) se traduit par l'existence d'un réel k tel que í µ=í µí µ . Autrement dit, les coordonnées de í µ í µí µ í µ sont telles que x = k x' et y = k y'. Ce qui se traduit encore par le fait que les coordonnées de í µ í µí µ í µ sont proportionnelles. D'où la propriété suivante : Propriété : Deux vecte urs non nuls í µ(í µ ;í µ) í µí µ í µ (í µâ€²;í µ ′) sont colinéaires si, et seul ement si, í µí µâ€²-í µâ€²í µ=í µ. Application : trouver les coordonnées d'un point en utilisant la colinéarité Dans un repère, on considère les vecteurs í µ(2 ;5) et í µ(í µ ;3). Déterminer la valeur de x pour que les vecteurs í µ et í µ soient colinéaires.