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Avertissement
Ce document n'est pas un compte rendu exhaustif du cours d'Johnston (1988), Theil (1979), Maddala (1988), Gourieroux and Monfort (1989a), Gourieroux and Monfort
(1989b), Greene (1990), Cohen and Pradel (1993), Bourbonnais (1993), Johnston (1997), Johnson (1999),
Ruud (2000).
1Chapitre 1
1.1 Espace vectoriel
1.1.1 Vecteur
vecteur soit en ligne, soit en colonne. Exemple 1.1Le vecteura= [3 0];est un vecteur ligne et le vecteur b=0 @3 ¡2 01 A est un vecteur colonne. a0=µ3
1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition
On peut multiplier un vecteur par un scalaire Soit un scalairec2Ret un vecteur colonneadeRn;alors c£a=c£0 B @a 1... a n1 C A=0 B @ca 1... ca n1 C A:Deux vecteurs lignes (ou deux vecteurs colonnes) peuvent s'additionner s'ils sont de m^eme dimension.
0 B @a 1... a n1 C A+0 B @b 1... b n1 C A=0 B @a1+b1...
a n+bn1 C A: deux vecteursaetb: c1a+c2b=c10
B @a 1... a n1 C A+c20 B @b 1... b n1 C A=0 B @c1a1+c2b1...
c1an+c2bn1
C A: oµuc1;c22R: 24.1£x=x
a1u1+a2u2+¢¢¢+aJuJ=0
implique quea1=a2=¢¢¢:=aJ= 0:1.1.5 Sous-espace vectoriel
1.u+v2V;
2.au2Vpour touta2R:
deVsi et seulement si1.1.7 Base d'un sous-espace vectoriel
et seulement si1.1.8 Base canonique deRn
La base canonique deRnest0
BBBBB@1
0 0 01 CCCCCA;0
BBBBB@0
1 0 01 CCCCCA;0
BBBBB@0
0 1 01 CCCCCA;¢¢¢;0
BBBBB@0
0 0 11 CCCCCA:
31.1.9 Dimension d'un sous-espace vectoriel
l'engendrer. Cette dimension correspond en particulier au nombre de vecteurs constituant une base quelconque deV.1.2 Espace euclidien
1.2.1 Produit scalaire
a£b= (a1:::an)£0 B @b 1... b n1 C A=nX i=1a ibi: par : =u0b= (u1:::un)£0 B @b 1... b n1 C A=nX i=1u ibi:1.2.2 Norme
jjujj=p :1.2.3 Distance entre deux vecteurs
d(u;v) =jju¡vjj=v uut n X i=1(ui¡vi)2: p v(u) =v jjvjj2:(1.1)1.2.4 Vecteurs orthogonaux
= 0:On note alorsu?v
jju+vjj2=jjujj2+jjvjj2: 41.2.5 Orthogonal d'un sous-espace vectoriel
µa tous les vecteurs deV;on note alors
u?V: vecteur deW. V {(V?)?=V; {V\V?=f0g: {f(u+v) =f(u) +f(v); {f(au) =af(u):1.3.2 Matrice
Une matrice est un tableau de nombres. Par exemple : A=0 BBBBBB@a
11::: a1j::: a1J.........
a i1::: aij::: aiJ......... aI1::: aIj::: aIJ1
CCCCCCA
est une matrice deIlignes et deJcolonnes.deux matrices µa condition qu'elles aient le m^eme nombre de lignes et de colonnes. Sous cette m^eme condition,
1.3.3 Produit d'une matrice et d'un vecteur
Soient une matriceAde dimensionI£Jet un vecteur colonneude dimensionJle produitAuest Au=0 BBBBBB@a
11::: a1j::: a1J.........
a i1::: aij::: aiJ......... aI1::: aIj::: aIJ1
CCCCCCA£0
BBBBBB@u
1... u j... u J1 CCCCCCA=0
BBBBBBB@P
J j=1a1juj...PJ j=1aijuj...PJ j=1aIjuj1 CCCCCCCA:
nique. 51.3.4 Produit matriciel
Soient deux matricesAde dimensionI£JetBde dimensionJ£K;alors le produit de ces deux matrices AB=0 BBBBBB@a
11::: a1j::: a1J.........
a i1::: aij::: aiJ......... aI1::: aIj::: aIJ1
CCCCCCA£0
BBBBBB@b
11::: b1k::: b1K.........
b j1::: bjk::: bjK......... bJ1::: bJk::: bJK1
CCCCCCA
0 BBBBBB@c
11::: c1k::: c1K.........
c i1::: cik::: ciK......... cI1::: cIk::: cIK1
CCCCCCA
=C; oµu c ik=JX j=1a ijbjk: C'est le produit des lignes par les colonnes. La matriceCest de dimension (I£K).1.3.5 Transposition
Transposer une matrice revient µa remplacer les lignes par les colonnes et vice versa. Par exemple, si
A=0 @¡1 2 4 3¡2 51
A alorsA0=µ¡1 4¡2 deABCvaut (ABC)0=C0B0A0: sont nuls.Par exemple,
D=0 @6 0 00¡2 0
0 0 31
A est une matrice diagonale. 6Par exemple,
I=0 @1 0 0 0 1 00 0 11
A1.3.7 Rang d'une matrice
colonnes de la matrice. la matrice est dite de plein rang (ou de rang maximal).1.3.8 Trace d'une matrice
2.trace(AB) = trace(BA)maistrace(AB)6= trace(A)trace(B):
1.3.9 Matrices inversibles
A¡1A=I:
1.3.10 Inversion par parties
F=µA B
La technique d'inversion par partie permet d'obtenir l'inverse deF: F oµuQ=¡D¡CA¡1B¢¡1
7 { SiJ= 1;jAj=A { SiJ >1; jAj=JX i=1(¡1)i+jjMijjaij; obtenue en enlevant la colonneiet la lignejde la matriceA:Exemple 1.3SoitAune matrice (2£2),
A=µa b
en prenantj= 1;on a jAj=a£d¡c£b=ad¡cb: Exemple 1.4Soit une matriceAde dimension (3£3), le calcul se fait en prenantj= 1 A=0 @2 7 6 9 5 14 3 81
A jAj=¯¯¯¯5 13 8¯
¯¯¯£2¡¯¯¯¯7 6
3 8¯
¯¯¯£9 +¯¯¯¯7 6
5 1¯
¯¯¯£4
= (5£8¡1£3)£2¡(7£8¡3£6)£9 + (7£1¡6£5)£4 = 37£2¡38£9¡23£4 =¡360:1.jAj=jA0j;
2.jABj=jAjjBj;en particulierjAkj=jAjk.
3.jcAj=cJjAj;(oµuAest de dimensionJ£J),
1.AB6=BA;
2.A+B=B+A;
3.(AB)C=A(BC);
5.(ABC)0=C0B0A0;
6.trace(AB) = trace(BA);
7.trace(A+B) = trace(A) + trace(B);
8.detA= detA0;
9.(ABC)¡1=C¡1B¡1A¡1:
81.3.13 Matrices orthogonales
0=¡¡1:
1.3.14 Valeurs propres et vecteurs propres
jA¡¸Ij= 0: Au i=¸iui: gonaux. Alors un vecteur colonne de dimensionI. On appelle a 0b; Bb; b 0Ab: b0Ab>0;
pour toutb2RInf0g: b0Ab¸0;
pour toutb2RI: 9 b0D0Db=a0a=X
ia2i¸0:
21.3.16 Image et noyau d'une matrice
Ker(A) =©u2RJjAu=0ª:
dans la matriceA.Im(B) =©x2RIjil existeu2RJtel queBu=xª:
Remarque 1.2Le sous-espace Im(B) est l'orthogonal de Ker(B0):En statistique, on utilise souvent des matricesX(individus-variables) de dimensionn£pavecn¸p:Le
1.4 Projection et matrice idempotente
1.4.1 Projection
unique en une somme d'un vecteur deVet d'un vecteur deV?.1.4.2 Projection orthogonale
101.4.3 Projection orthogonale dans l'image et le noyau d'une matrice
Le projecteur orthogonal dans l'image d'une matriceXde plein rang de dimensionn£pavecn¸pest PX=X(X0X)¡1X0
Le projecteur orthogonal dans le noyau d'une matriceX0de plein rang de dimensionn£pavecn¸p P ?X=I¡X(X0X)¡1X0=I¡PX: Remarque 1.3SiX=vest un vecteur, alors le projecteur est P v=v(v0v)¡1v0=vjjvjj¡2v0=vv0 jjvjj2; et la projection deusurv p v(u) =Pvu=v jjvjj2v0u=v1.4.4 Matrice idempotente
Une matrice de projection est idempotente.
P =X(X0X)¡1X0X(X0X)¡1 {z =IX 0 =X(X0X)¡1X0=PX:De plus
P ?XP?X= (I¡PX)(I¡PX) =I¡2PX+PXPX| {z =PX=I¡PX=P?X: P ?X=I¡X(X0X)¡1X0=I¡PX:Pu=¸u;(1.2)
PP |{z}Pu=P¸u;
et donc,¸u=¸2u:
u0¸u=u0¸2u;
11 on obtient donc¸=¸2;
P espace sur lequel projettePX:1.4.5 Projecteurs obliques
Il existe des projecteurs non-orthogonaux. On parle alors de projecteurs obliques. SoitZune matrice ayant le m^eme nombre de lignes et de colonnes queX;alors PO=X(Z0X)¡1Z0
l'image deX: PVPW=PWPV=PV:
1.5.1 Gradient
Soit une fonctionf(:) deRpdansR:
f(x) =f(x1;:::;xj;:::;xp): gradf=@f @x0=µ@f @x1;:::;@f
@x j;:::;@f @xSoitaun vecteur deRp;alors
@a0x @x0=µ@Pp i=1aixi @x1;:::;@Pp
i=1aixi @x j;:::;@Pp i=1aixi @x = (a1;:::;aj;:::;ap) =a0:SoitAune matrice de dimensionq£p;alors
Ax=0 BBBBBB@P
p j=1a1jxj...Pp j=1aijxj...Pp j=1aqjxj1 CCCCCCA:
12 On a @Ax @x j=0 BBBBBB@a
1j... a ij... a qj1 CCCCCCA:
Donc, @Ax @x0=0 BBBBBB@0
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