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Résumé du Cours d´Econométrie R

Avertissement

Ce document n'est pas un compte rendu exhaustif du cours d'

Johnston (1988), Theil (1979), Maddala (1988), Gourieroux and Monfort (1989a), Gourieroux and Monfort

(1989b), Greene (1990), Cohen and Pradel (1993), Bourbonnais (1993), Johnston (1997), Johnson (1999),

Ruud (2000).

1

Chapitre 1

1.1 Espace vectoriel

1.1.1 Vecteur

vecteur soit en ligne, soit en colonne. Exemple 1.1Le vecteura= [3 0];est un vecteur ligne et le vecteur b=0 @3 ¡2 01 A est un vecteur colonne. a

0=µ3

1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition

On peut multiplier un vecteur par un scalaire Soit un scalairec2Ret un vecteur colonneadeRn;alors c£a=c£0 B @a 1... a n1 C A=0 B @ca 1... ca n1 C A:

Deux vecteurs lignes (ou deux vecteurs colonnes) peuvent s'additionner s'ils sont de m^eme dimension.

0 B @a 1... a n1 C A+0 B @b 1... b n1 C A=0 B @a

1+b1...

a n+bn1 C A: deux vecteursaetb: c

1a+c2b=c10

B @a 1... a n1 C A+c20 B @b 1... b n1 C A=0 B @c

1a1+c2b1...

c

1an+c2bn1

C A: oµuc1;c22R: 2

4.1£x=x

a

1u1+a2u2+¢¢¢+aJuJ=0

implique quea1=a2=¢¢¢:=aJ= 0:

1.1.5 Sous-espace vectoriel

1.u+v2V;

2.au2Vpour touta2R:

deVsi et seulement si

1.1.7 Base d'un sous-espace vectoriel

et seulement si

1.1.8 Base canonique deRn

La base canonique deRnest0

B

BBBB@1

0 0 01 C

CCCCA;0

B

BBBB@0

1 0 01 C

CCCCA;0

B

BBBB@0

0 1 01 C

CCCCA;¢¢¢;0

B

BBBB@0

0 0 11 C

CCCCA:

3

1.1.9 Dimension d'un sous-espace vectoriel

l'engendrer. Cette dimension correspond en particulier au nombre de vecteurs constituant une base quelconque deV.

1.2 Espace euclidien

1.2.1 Produit scalaire

a£b= (a1:::an)£0 B @b 1... b n1 C A=nX i=1a ibi: par : =u0b= (u1:::un)£0 B @b 1... b n1 C A=nX i=1u ibi:

1.2.2 Norme

jjujj=p :

1.2.3 Distance entre deux vecteurs

d(u;v) =jju¡vjj=v uut n X i=1(ui¡vi)2: p v(u) =v jjvjj2:(1.1)

1.2.4 Vecteurs orthogonaux

= 0:

On note alorsu?v

jju+vjj2=jjujj2+jjvjj2: 4

1.2.5 Orthogonal d'un sous-espace vectoriel

µa tous les vecteurs deV;on note alors

u?V: vecteur deW. V {(V?)?=V; {V\V?=f0g: {f(u+v) =f(u) +f(v); {f(au) =af(u):

1.3.2 Matrice

Une matrice est un tableau de nombres. Par exemple : A=0 B

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

a i1::: aij::: aiJ......... a

I1::: aIj::: aIJ1

C

CCCCCA

est une matrice deIlignes et deJcolonnes.

deux matrices µa condition qu'elles aient le m^eme nombre de lignes et de colonnes. Sous cette m^eme condition,

1.3.3 Produit d'une matrice et d'un vecteur

Soient une matriceAde dimensionI£Jet un vecteur colonneude dimensionJle produitAuest Au=0 B

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

a i1::: aij::: aiJ......... a

I1::: aIj::: aIJ1

C

CCCCCA£0

B

BBBBB@u

1... u j... u J1 C

CCCCCA=0

B

BBBBBB@P

J j=1a1juj...PJ j=1aijuj...PJ j=1aIjuj1 C

CCCCCCA:

nique. 5

1.3.4 Produit matriciel

Soient deux matricesAde dimensionI£JetBde dimensionJ£K;alors le produit de ces deux matrices AB=0 B

BBBBB@a

11::: a1j::: a1J.........

a i1::: aij::: aiJ......... a

I1::: aIj::: aIJ1

C

CCCCCA£0

B

BBBBB@b

11::: b1k::: b1K.........

b j1::: bjk::: bjK......... b

J1::: bJk::: bJK1

C

CCCCCA

0 B

BBBBB@c

11::: c1k::: c1K.........

c i1::: cik::: ciK......... c

I1::: cIk::: cIK1

C

CCCCCA

=C; oµu c ik=JX j=1a ijbjk: C'est le produit des lignes par les colonnes. La matriceCest de dimension (I£K).

1.3.5 Transposition

Transposer une matrice revient µa remplacer les lignes par les colonnes et vice versa. Par exemple, si

A=0 @¡1 2 4 3

¡2 51

A alorsA0=µ¡1 4¡2 deABCvaut (ABC)0=C0B0A0: sont nuls.

Par exemple,

D=0 @6 0 0

0¡2 0

0 0 31

A est une matrice diagonale. 6

Par exemple,

I=0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A

1.3.7 Rang d'une matrice

colonnes de la matrice. la matrice est dite de plein rang (ou de rang maximal).

1.3.8 Trace d'une matrice

2.trace(AB) = trace(BA)maistrace(AB)6= trace(A)trace(B):

1.3.9 Matrices inversibles

A

¡1A=I:

1.3.10 Inversion par parties

F=µA B

La technique d'inversion par partie permet d'obtenir l'inverse deF: F oµu

Q=¡D¡CA¡1B¢¡1

7 { SiJ= 1;jAj=A { SiJ >1; jAj=JX i=1(¡1)i+jjMijjaij; obtenue en enlevant la colonneiet la lignejde la matriceA:

Exemple 1.3SoitAune matrice (2£2),

A=µa b

en prenantj= 1;on a jAj=a£d¡c£b=ad¡cb: Exemple 1.4Soit une matriceAde dimension (3£3), le calcul se fait en prenantj= 1 A=0 @2 7 6 9 5 1

4 3 81

A jAj=¯¯¯¯5 1

3 8¯

¯¯¯£2¡¯¯¯¯7 6

3 8¯

¯¯¯£9 +¯¯¯¯7 6

5 1¯

¯¯¯£4

= (5£8¡1£3)£2¡(7£8¡3£6)£9 + (7£1¡6£5)£4 = 37£2¡38£9¡23£4 =¡360:

1.jAj=jA0j;

2.jABj=jAjjBj;en particulierjAkj=jAjk.

3.jcAj=cJjAj;(oµuAest de dimensionJ£J),

1.AB6=BA;

2.A+B=B+A;

3.(AB)C=A(BC);

5.(ABC)0=C0B0A0;

6.trace(AB) = trace(BA);

7.trace(A+B) = trace(A) + trace(B);

8.detA= detA0;

9.(ABC)¡1=C¡1B¡1A¡1:

8

1.3.13 Matrices orthogonales

0=¡¡1:

1.3.14 Valeurs propres et vecteurs propres

jA¡¸Ij= 0: Au i=¸iui: gonaux. Alors un vecteur colonne de dimensionI. On appelle a 0b; Bb; b 0Ab: b

0Ab>0;

pour toutb2RInf0g: b

0Ab¸0;

pour toutb2RI: 9 b

0D0Db=a0a=X

ia

2i¸0:

2

1.3.16 Image et noyau d'une matrice

Ker(A) =©u2RJjAu=0ª:

dans la matriceA.

Im(B) =©x2RIjil existeu2RJtel queBu=xª:

Remarque 1.2Le sous-espace Im(B) est l'orthogonal de Ker(B0):

En statistique, on utilise souvent des matricesX(individus-variables) de dimensionn£pavecn¸p:Le

1.4 Projection et matrice idempotente

1.4.1 Projection

unique en une somme d'un vecteur deVet d'un vecteur deV?.

1.4.2 Projection orthogonale

10

1.4.3 Projection orthogonale dans l'image et le noyau d'une matrice

Le projecteur orthogonal dans l'image d'une matriceXde plein rang de dimensionn£pavecn¸pest P

X=X(X0X)¡1X0

Le projecteur orthogonal dans le noyau d'une matriceX0de plein rang de dimensionn£pavecn¸p P ?X=I¡X(X0X)¡1X0=I¡PX: Remarque 1.3SiX=vest un vecteur, alors le projecteur est P v=v(v0v)¡1v0=vjjvjj¡2v0=vv0 jjvjj2; et la projection deusurv p v(u) =Pvu=v jjvjj2v0u=v jjvjj2;

1.4.4 Matrice idempotente

Une matrice de projection est idempotente.

P =X(X0X)¡1X0X(X0X)¡1 {z =IX 0 =X(X0X)¡1X0=PX:

De plus

P ?XP?X= (I¡PX)(I¡PX) =I¡2PX+PXPX| {z =PX=I¡PX=P?X: P ?X=I¡X(X0X)¡1X0=I¡PX:

Pu=¸u;(1.2)

PP |{z}

Pu=P¸u;

et donc,

¸u=¸2u:

u

0¸u=u0¸2u;

11 on obtient donc

¸=¸2;

P espace sur lequel projettePX:

1.4.5 Projecteurs obliques

Il existe des projecteurs non-orthogonaux. On parle alors de projecteurs obliques. SoitZune matrice ayant le m^eme nombre de lignes et de colonnes queX;alors P

O=X(Z0X)¡1Z0

l'image deX: P

VPW=PWPV=PV:

1.5.1 Gradient

Soit une fonctionf(:) deRpdansR:

f(x) =f(x1;:::;xj;:::;xp): gradf=@f @x0=µ@f @x

1;:::;@f

@x j;:::;@f @x

Soitaun vecteur deRp;alors

@a0x @x0=µ@Pp i=1aixi @x

1;:::;@Pp

i=1aixi @x j;:::;@Pp i=1aixi @x = (a1;:::;aj;:::;ap) =a0:

SoitAune matrice de dimensionq£p;alors

Ax=0 B

BBBBB@P

p j=1a1jxj...Pp j=1aijxj...Pp j=1aqjxj1 C

CCCCCA:

12 On a @Ax @x j=0 B

BBBBB@a

1j... a ij... a qj1 C

CCCCCA:

Donc, @Ax @x0=0 B

BBBBB@0

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