[PDF] Résumé du chapitre 4 : Diagonalisation

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L2 S4 Calcul matricielRésumé du chapitre 4DiagonalisationRésumé du chapitre 4 : Diagonalisation

Dans ce chapitre, toutes les matrices considérées sont car rées: elles ont autant de lignes que de colonnes. La dia go na li sa

tionest un procédé utilisé dans de nombreux domaines et qui simplifie considérablement les

applications des matrices. En particulier, cela nous permet de calculer les puissances d"une matrice carré.

1. Valeurs propres, vecteurs propres

Définition 1.

SoitAune matrice carré de taillen(on ditA? Mn(R))etλ?R.

λest une

va leur propresdeAs"il existe un vecteurX?Rnnon nul, tel que

AX=λX.

Un tel vecteur

X?=-→0est un

vec teur propredeAassocié àλ.

Remarque

Pour déterminer les valeurs propres, on utilise le po ly nôme ca rac té ris tique

Pourdéterminer les vecteurs propres, on

ré sout des sys tèmes.

Certaines matrices n"ont pas de valeurs propres. Chaque matrice de carré de taillenpeut avoir jusqu"à

nvaleurs propres distinctes. Pour chaque valeur propreλil existe une infinité de vecteurs propres.

2. Polynôme caractéristique et valeurs propres

Définition 2.

Le po ly nôme ca rac té ris tiqueP(λ)d"une matriceA? Mn(R)est le déterminant de la matriceA-λIn:

P(λ) = det(A-λIn)

Les ra cinesde ce polynôme (= les solutions deP(λ) = 0)sont les va leurs propresdeA.

Exemple :

SoitA=(

5-1 6 0) . On aP(λ) = det(A-λIn) =(

5-λ-1

6-λ)

. On calcule ce déterminant :

P(λ) = (5-λ)(-λ) + 6 =λ2-5λ+ 6.

On calcule ses racines avecΔ = 52-4×6 = 1et il vientλ1= 2etλ2= 3.

Lesvaleurs propresdeAsontλ1= 2etλ2= 3.

3. Déterminer les vecteurs propres d"une matrice

Cette étape suppose d"avoirdéjàobtenu lesvaleurs propresd"une matrice.

Méthode :

On considère une matriceA.

Pour déterminer ses

vec teurs propresassociés à la valeur propreλ on ré sout le sys tème

A-λI=-→0

Chaque solution, non nulle, de ce système est un vecteur propre de la matriceAassocié à la valeur propreλ.

Remarque :

On se placera dorénavant dans des situations où il suffit de donnerun seulvecteur propre pour chaque valeur

propre.

Le cas général (où l"on peut être amené à en donner plusieurs) ne sera pas étudié cette année.

1 L2 S4 Calcul matricielRésumé du chapitre 4DiagonalisationExemple :

Considérons à nouveauA=(

5-1 6 0) . On a déterminé plus haut ses valeurs propresλ1= 2etλ2= 3. Vecteurs propres associés àλ1= 2. On résout le systèmeA-2I2=-→0 (S) (S)??( 5-2-1 6-2) x y) 0 0) ?3x-y= 0

6x-2y= 0??y= 3x

On peut proposer commevecteur propreassocié à la valeur propreλ1= 2:X1=( 1 3) Vecteurs propres associés àλ1= 3. On résout le systèmeA-2I3=-→0 (S) (S)??( 5-3-1 6-3) x y) 0 0) ?2x-y= 0

6x-3y= 0??y= 2x

On peut proposer commevecteur propreassocié à la valeur propreλ2= 3:X2=( 1 2)

4. Diagonaliser une matrice

Théorème

Une matriceA? Mn(R)est

dia go na li sables"il existe deux matricesDetStelles que : Dsoit dia go nale, Ssoit in ver sible,

A=SDS-1.

Soit une matriceA? Mn(R).

Si A a n va leurs propres dis tinctes alors A est dia go na li sable.

Remarque

Cette relation s"inverse alors en :

D=S-1AS

Diagonaliserune matrice c"estdonner les matricesSetDainsi, qu"éventuellement,S-1.

Théorème

SiAest diagonalisable alors :

Lescoefficients diagonauxdeDsont lesvaleurs propresdeA. Destunique, à l"ordre près des valeurs propres. LescolonnesdeSsont lesvecteurs propresdeA,donnésdans le même ordreque les valeurs propres.

Exemple

On a vu pourA=(

5-1 6 0) que ses valeurs propres étaientλ1= 2etλ2= 3.

Elles sont associées aux vecteurs propresX1=(

1 3) etX2=( 1 2)

Donc les matricesDetSsont alorsD=(

2 0 0 3) etS=( 1 1 3 2) On peut calculerS-1(avec la formule des cofacteurs) :S-1=( -2 1 3-1) On peut vérifier les deux formules :D=S-1ASetA=SDS-1. 2quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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