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Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018

Exercices corrig´es

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Fonctions d"une variable

Exercice 2.3

Soient les fonctionsf,g,hd´efinies de la mani`ere suivante : f(x) =?2-3x5-2x, g(x) =⎷2x-5 eth(x) = ln(4x-3)2 1.

D ´eterminerleur domaine de d ´efinition.

2. D ´eterminerle domaine d ed ´efinitiondes fonctions marginales de f,g,het les calculer. 3.

Donner un p ointx0appartenant aux trois domaines de d´efinition des fonctions marginales def,geth.

4. Calculer l" ´elasticit´edes fonctions f,g,hetfg/henx0. 5.

On consid `ereque la fonction hrepr´esente le chiffre d"affaires d"une entreprise en fonction du temps de travailx≥1.

(a) Mon trerque le c hiffred"affaires est stricte mentcroissan tpar r apportau temps de tra vail. (b) Donner un d ´eveloppementli mit´e` al"ordre 2 de hau point 1. (c) En d ´eduirela p ositionde la tangen teau p ointd"abscisse x= 1.

Corrig´e

1.

La fonction ⎷·´etant d´efinie surR+, dressons un tableau de signe pour d´eterminer le domaine de d´efinition def.

x]- ∞,2/3][2/3,5/2[]5/2,+∞[2-3x+--

5-2x++-

2-3x5-2x+-+

fest donc d´efinie sur ]- ∞,2/3]?]5/2,+∞[.gest d´efinie sur [5/2,+∞[. ln ´etant d´efinie surR?+, la fonctionhest

d´efinie sur ]3/4,+∞[. 2.

La fonction

⎷·´etant d´erivable sur tout son domaine de d´efinition sauf en 0,fest d´erivable sur ]-∞,2/3[?]5/2,+∞[,

et alorsfm(x) =f?(x) =12 ?5-2x2-3x×-3(5-2x) + 2(2-3x)(5-2x)2=-112(2-3x)1/2(5-2x)3/2. De mˆeme,gest d´erivable sur ]5/2,+∞[ et alorsgm(x) =g?(x) =22 ⎷2x-5=1⎷2x-5.

Enfin, ln ety?→y2´etant d´erivables sur tout leur domaine de d´efinition,hest d´erivable sur ]3/4,+∞[ et

h m(x) =h?(x) = 2ln(4x-3)×44x-3=8ln(4x-3)4x-3 3.

L"in tersectiondes trois domaines de d ´efinitiondes fon ctionsmarginales est ]5 /2,+∞[. Ainsi,x0= 3 appartient aux

trois domaines de d´efinition. 4.

On a, p ourtout x?]- ∞,2/3[?]5/2,+∞[,

e f(x) =xf?(x)f(x)=-11x2(2-3x)1/2(5-2x)3/2?5-2x2-3x=-11x2(2-3x)(5-2x).

Pour toutx?]5/2,+∞[,eg(x) =xg?(x)g(x)=x2x-5. Pour toutx?]3/4,+∞[,eh(x) =xh?(x)h(x)=8x(4x-3)ln(4x-3).

Enfin, pour toutx?]5/2,+∞[,efg/h(x) =ef(x)+eg(x)-eh(x) =-11x2(2-3x)(5-2x)+x2x-5-8x(4x-3)ln(4x-3).

1 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018 5. (a) ´Etudions le signe dehm. Pourx >1, 4x-3>1 donc ln(4x-3)>0, et 4x-3>0, donchm(x)>0 pour x >1, ce qui prouve quehest strictement croissante sur [1,+∞[. (b)

P ourtout x?]3/4,+∞[,h??(x) =8×44x-3(4x-3)-8ln(4x-3)×4(4x-3)2=32(1-ln(4x-3))(4x-3)2. D"o`u le d´eveloppement

limit´e `a l"ordre 2 en 1 : h(x) =h(1)+h?(1)(x-1)+h??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) = 16(x-1)2+(x-1)2ε(x-1), avecε(x-1)-→x→10. (c) On calcule, au v oisinagede 1, h(x)-h(1)-h?(1)(x-1) = (x-1)2(16 +ε(x-1)). Or (x-1)2≥0 et

16+ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque limx→1ε(x-1) = 0. Donc au voisinage de 1, la courbe repr´esentative

dehest au-dessus de la tangente en 1.

Exercice 2.19

Soitf:x?→xex2+1/x.

1.

Donner le domaine de d ´efinitionde f.

2. Donner le d ´eveloppementlimit ´ede fau pointx= 1 `a l"ordre 2. 3. En d ´eduirela p ositiond ela tangen tede fau voisinage du pointx= 1. 4.

Mon trerque fest convexe sur [1,+∞[.

Corrig´e

1.

L"exp onentielle´ etantd ´efiniesur R, la fonctionfest d´efinie en tout pointxtel quex2+ 1/xsoit d´efini, c"est-`a-dire

queDf=R?. 2.

On calcule, p ourtout x?R?,f?(x) =ex2+1/x+x?

2x-1x 2? e x2+1/x=?

2x2+ 1-1x

e x2+1/x, puis f ??(x) =?

2x2+ 1-1x

2x-1x 2? e x2+1/x+? 4x+1x 2? e x2+1/x=?

4x3-2 + 2x-1x

2-2 +1x

3+ 4x+1x

2? e x2+1/x

4x3+ 6x-4 +1x

3? e x2+1/x. Il existe alors une fonctionεtelle qu"au voisinage de 1, f(x) =f(1)+f?(1)(x-1)+f??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) =e2+e2(x-1)+72 e2(x-1)2+(x-1)2ε(x-1) avec lim x→1ε(x-1) = 0. 3.

L" ´equationde la tangen te` ala courb erepr ´esentativede fen 1 esty=f(1) +f?(1)(x-1). On calcule alors

f(x)-f(1)-f?(1)(x-1) = (x-1)2?72 +ε(x-1)? . Or (x-1)2≥0 et72 +ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque lim

x→1ε(x-1) = 0. Ainsi, au voisinage de 1, on af(x)≥f(1) +f?(1)(x-1), et donc la courbe repr´esentative def

est au-dessus de la tangente en 1 au voisinage de 1. 4. On a, p ourtout x≥1,4x3-4≥0,6x≥0,1x

3≥0 etex2+1/x≥0. Il s"ensuit que

f ??(x) =?

4x3+ 6x-4 +1x

3? e x2+1/x≥0 pour toutx?[1,+∞[, et donc quefest convexe sur [1,+∞[.

Exercice 2.37

Soit la fonction d´efinie parf(x) =(x-1)ln(x-1)-x2x-2 1.

Donner le domaine de d ´efinitionde f. On admet quefest de classeC2sur son domaine de d´efinition.

2. Donner au p oint2 un d ´eveloppementlimit ´ede f`a l"ordre 2. 2 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018 3.

Pr ´eciserl"appro ximationaffin ede fau point 2 et donner la position relative de la tangente par rapport `a la courbe

repr´esentative defau voisinage de ce point. 4. Calculer l" ´elasticit´ede fsur son domaine de d´efinition. 5. Donner une v aleurappro ch´eede la v ariationrelativ ede florsquexdiminue de 3% `a partir de 2. 6. A partir d e2, de com biendoit v arierxpour que la valeur def(x) augmente de 5% ?

Corrig´e

1.

Le d ´enominateurs"ann uleen x= 1. De plus, ln(x-1) est d´efini pour toutx?]1,+∞[. Le domaine de d´efinition de

fest doncDf=]1,+∞[. 2.

On a, p ourtout x >1,f(x) =12

ln(x-1)-x2(x-1). Par suite, pour toutx >1, f ?(x) =12(x-1)-12 (x-1)-x(x-1)2=12(x-1)+12(x-1)2. Il vient alors f ??(x) =-12(x-1)2-12

2(x-1)(x-1)4=-1(x-1)3-12(x-1)2. Il existe alorsεtelle qu"au voisinage de 2,

f(x) =f(2) +f?(2)(x-2) +f??(2)2 (x-2)2+ (x-2)2ε(x-2) =-1 + (x-2)-34 (x-2)2+ (x-2)2ε(x-2) avec lim x→2ε(x-2) = 0. 3.

L"appro ximationaffine de fau point 2 est donn´ee par?f2(x) =f(2) +f?(2)(x-2) =-1 + (x-2). Au voisinage

de 2,f(x)-?f2(x) = (x-2)2? -34 +ε(x-1)? . Or (x-1)2≥0 et? -34 +ε(x-1)? lim

x→2ε(x-2) = 0. Doncf(x)-?f2(x) = 0 au voisinage de 2, et la courbe repr´esentative defest en-dessous de la

tangente en 2 au voisinage de 2. 4.

P ourtout x >1,ef(x) =xf?(x)f(x)=12(x-1)+12(x-1)2(x-1)ln(x-1)-x2x-2=x1 +1(x-1)(x-1)ln(x-1)-x=x2(x-1)2ln(x-1)-x(x-1).

En particulier,ef(2) =-2.

5.

On rapp elleque

Δff

?ef(2)Δxx

Ainsi, sixdiminue de 3%, la variation relative defest d"environ-2×(-0.03) = 0.06, soit une augmentation de 6%.

6.

In versement,

Δxx

?1e f(2)Δff =-12 ×0.05 =-0.025. Pour quefaugmente de 5%, il faut quexdiminue de 2.5%. 3 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018

Fonctions de deux variables

Exercice 2.25

Soit la fonctionfd´efinie parf(x,y) =xey+yex.

1. Donner le domaine de d ´efinitionDfdef. On admet quefest de classeC1surDf. 2. Calculer les d ´eriv´eespartielles premi `eresde fen tout point deDf. 3. D ´eterminerl" ´equationdu plan tangen t` ala surface repr ´esentativede fau point (0,0). 4.

D ´eterminerla p ositionrelativ edu plan tangen tet de la surface repr ´esentativede fau voisinage du point (0,0).

5. ´Etudier la convexit´e defsur son ensemble de d´efinition. 6.

Donner une v aleurappro ch´eede f(0.1,-0.2).

7.

Soit a >0. On se place au voisinage du pointA= (a,a). On suppose que les variablesxetyaugmentent toutes les

deux de 5%, et que la variation correspondante defest une augmentation de 10%. En utilisant un calcul approch´e,

d´eterminer alors la valeur dea.

Corrig´e

1.fest d´efinie surR2.

2.

P ourtout ( x,y)?R2, on a∂f∂x

(x,y) =ey+yexet∂f∂y (x,y) =xey+ex. 3. L" ´equationdu plan tangen test donn ´eepar z=f(0,0) +∂f∂x (0,0)(x-0) +∂f∂y (0,0)(y-0) =x+y. 4. On calcule les d ´eriv´eespartiel lessecond es: ?(x,y)?R2,∂2f∂x

2(x,y) =yex,∂2f∂y

2(x,y) =xey,

2f∂x∂y

(x,y) =ex+ey. D"o`u en (0,0),r=∂2f∂x

2(0,0) = 0,s=∂2f∂x∂y

(0,0) = 2,∂2f∂y

2(0,0) = 0.

Ainsi en (0,0),rt-s2=-4<0. La surface repr´esentative deftraverse le plan tangent en (0,0). 5. D"apr `esce qui pr ´ec`ede,la fonction fn"est ni convexe ni concave surR2. 6.

L"appro ximationaffine au v oisinagede O= (0,0) est donn´ee parˆfO(x,y) =x+yd"apr`es la question 3 (le plan tangent

´etant la surface repr´esentative de l"approximation affine). Ainsif(0.1,-0.2)?ˆfO(0.1,-0.2) = 0.1-0.2 =-0.1.

7.

En A= (a,a), on aef/x(a,a) =af(a,a)∂f∂x

(a,a) =a2aea(1 +a)ea=1 +a2 . De mˆeme, e f/y(a,a) =af(a,a)∂f∂y (a,a) =1 +a2 . Or on aΔff ?ef/x(a,a)Δxx +ef/y(a,a)Δyy soit

0.1 =1 +a2

×0.05 +1 +a2

×0.05 =1 +a2

×0.1. Il s"ensuit que1 +a2

= 1, donc 1 +a= 2 eta= 1.

Exercice 2.26

Soitgla fonction `a deux variables d´efinie parg(x,y) =exp(x+y)⎷x+y. 1.

D ´eterminerson domaine de d ´efinitionDg. On admet qu"il est ouvert et quegest de classeC1surDg.

2.Dgest-il convexe ?

3. ´Etudier la convexit´e degsur son domaine de d´efinition. 4. Calculer les d ´eriv´eespartielles d"ordre 1 de gsurDg. 4 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018 5.

Donner l" ´equationdu plan tangen t` ala surface repr ´esentativede gen (1,0) et sa position relative par rapport `a la

surface repr´esentative degau voisinage de (1,0).

Corrig´e

1.

Le d ´enominateurn"est d ´efinique si x+y≥0, et il ne doit pas s"annuler ce qui interditx+y= 0. On a donc

D g={(x,y)?R2,x+y >0}.

2.Dgest convexe car c"est un demi-plan.

3. P ourtout ( x,y)? Dg,g(x,y)>0 et ln(g(x,y)) =x+y-ln(⎷x+y) =x+y-12 ln(x+y). Or (x,y)?→x+yest convexe car c"est une fonction affine. (x,y)?→ -12 ln(x+y) est convexe car c"est la compos´ee d"une fonction affine par la fonction-12 ln(·) qui est convexe. Par la propri´et´e d"addition, ln◦gest convexe surDg, etgest par cons´equent aussi convexe surDg. 4.

On a, p ourtout ( x,y)? Dg,

∂g∂x (x,y) =exp(x+y)⎷x+y-exp(x+y)12 ⎷x+y( ⎷x+y)2=(2x+ 2y-1)exp(x+y)2(x+y)3/2et de mˆeme, ∂g∂y (x,y) =exp(x+y)⎷x+y-exp(x+y)12 ⎷x+y( ⎷x+y)2=(2x+ 2y-1)exp(x+y)2(x+y)3/2. 5.

Le plan tan genten (1 ,0) a pour ´equation

z=f(1,0) +∂g∂x (1,0)(x-1) +∂g∂yquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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