[PDF] Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis





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Problème 1 : étude de points fixes

Dans ce problème on étudie la méthode du point fixe





Analyse Numérique

1.5 Exercices du chapitre 1 . 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés . ... Exercice 1.1 En écrivant un petit programme trouver la capacité et le pas de ...



Exercices - Capes 2017 - deuxième épreuve : corrigé Premier

Exercices - Capes 2017 - deuxième épreuve : corrigé arguments classiques d'analyse mais aussi des propriétés de statistiques



Exercices corrigés

Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans. "Probabilités pour l'ingénieur des fondements aux calculs".



Exercices corrigés

Exercices corrigés. Merci de me signaler toute coquille présente dans ce document : selim.cornet@dauphine.fr. Fonctions d'une variable. Exercice 2.3.



Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis

Exercice 5 Soient p et q deux réels et n un entier naturel supérieur ou égal `a 2. Montrer que la fonction polynômiale P définie par P(x) = xn +px+q admet 







Capes 2011 - première épreuve : corrigé Deuxième exercice

Exercices - Capes 2011 - première épreuve : corrigé gagner des points si on maitrise bien les bases de l'analyse niveau Terminale ou L1. Il est clair.



Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques. Espaces vectoriels

2 oct. 2015 Avec corrigés. Les numéros de Théorèmes Propositions

Exercices corrig´es

Th´eor`eme de Rolle, accroissements finis

1 Enonc´es

Exercice 1D´emonstration du th´eor`eme des accroissements finis.

Soitf: [a,b]→R, continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. En appliquant le th´eor`eme de Rolle `a la fonction

F: [a,b]→Rd´efinie par

F(x) =f(x)-f(b)-f(a)b-a(x-a),

montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f ?(c) =f(b)-f(a)b-a. Exercice 2SoitPla fonction polynˆomiale d´efinie parP(x) = 3x4-11x3+ 12x2-4x+ 2. Montrer queP? s"annule au moins une fois sur ]0,1[. Exercice 3Soitf:R→Rla fonction d´efinie par f(x) =sinx+ cosx1 + cos 2x. Montrer que, pour touta?R,f?s"annule au moins une fois sur l"intervalle ]a,a+ 2π[.

Exercice 4Soientf,g: [a,b]→R, continues sur [a,b], d´erivables sur ]a,b[. On suppose quef(a)?=f(b) et

g(a)?=g(b). Montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f ?(c)f(a)-f(b)=g?(c)g(a)-g(b).

On consid´erera pour cela la fonctionFd´efinie sur [a,b] parF(x) =?f(a)-f(b)?g(x)-?g(a)-g(b)?f(x).

Exercice 5Soientpetqdeux r´eels etnun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. Montrer que la fonction

polynˆomialePd´efinie parP(x) =xn+px+qadmet au plus trois racines r´eelles sinest impair et au plus deux

racines r´eelles sinest pair. Exercice 6En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction Arctg, montrer que ?t >0,Arctgt >t1 +t2.

Exercice 7Soitf:R?→Rla fonction d´efinie parf(x) = exp(1/x). Montrer que, pour toutx >0, il existe

c?]x,x+ 1[ tel que f(x)-f(x+ 1) =1c

2exp?1c

D´eterminer

lim x→∞x2? exp?1x -exp?1x+ 1?? 1

Exercice 8Soitf: [a,b]→R?+, continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. En utilisant la fonctiong:= lnf,

montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f(b)f(a)= exp?f?(c)f(c)(b-a)? Exercice 9SoitPla fonction polynˆomiale r´eelle d´efinie par

P(x) =a0+a1x+···+anxn.

On suppose que les coefficients dePsatisfont la relation a 0+a12 +···+ann+ 1= 0. En consid´erant une primitive deP, montrer quePadmet au moins une racine dans l"intervalle ]0,1[. Exercice 10(a) A l"aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer que ?x >0,1x+ 1Montrer que, sifetgsont deux fonctionsNfois d´erivables (o`uN?N?), alorsfgest au moinsNfois d´erivable

(fg)(n)=n? k=1C nkf(k)g(n-k).

Exercice 12En utilisant la formule de Leibniz, calculer la d´eriv´ee d"ordrende la fonctionfd´efinie surR?+parf(x) =x2lnx.

2 Solutions

Solution de l"exercice 1.La fonctionFest continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, de d´eriv´ee

F ?(x) =f?(x)-f(b)-f(a)b-a.

De plus,F(a) =F(b) =f(a). Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence d"un r´eelc?]a,b[ tel que

F ?(c) = 0, c"est-`a-dire, f ?(c)-f(b)-f(a)b-a.

Solution de l"exercice 2.

La fonctionPest ´evidemment continue sur [0,1] et d´erivable sur ]0,1[. De plus,P(0) =P(1) = 2. D"apr`es le

th´eor`eme des accroissements finis, il existec?]0,1[ tel que P ?(c) =P(1)-P(0)1-0= 0. 2

Solution de l"exercice 3.

La fonctionfest 2π-p´eriodique et d´erivable surR. Pour touta?R,f(a) =f(a+ 2π) et le th´eor`eme de Rolle

montre l"existence d"un r´eelc?]a,a+ 2π[ tel quef?(c) = 0.

Solution de l"exercice 4.

La FonctionFest sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, de d´eriv´ee F ?(x) =?f(a)-f(b)?g?(x)-?g(a)-g(b)?f?(x).

De plus, on v´erifie facilement queF(a) =f(a)g(b)-f(b)g(a) =F(b). On peut donc appliquer le th´eor`eme de

Rolle : il existe un r´eelc?]a,b[ tel queF?(c) = 0, c"est-`a-dire, tel que f ?(c)f(a)-f(b)=g?(c)g(a)-g(b).

Solution de l"exercice 5.

On aP?(x) =nxn-1+petP??(x) =n(n-1)xn-2. En particulier, on voit queP??admet exactement une racine, `a savoirx= 0.

Commen¸cons par le cas o`unest impair. Supposons, en vue d"obtenir une contradiction, quePadmette quatre

racines distinctesa < b < c < d. La fonctionPest ´evidemment continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[ et telle

queP(a) =P(b). Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence dea1?]a,b[ tel queP?(a1) = 0. Le mˆeme

raisonnement sur les intervalles [b,c] et [c,d] montre l"existence deb1?]b,c[ etc1?]c,d[ tel queP?(b1) = 0

etP?(c1) = 0. DoncP?admet trois racines distinctesa1< b1< c1. Le mˆeme raisonnement montre alors aussi

queP??admet deux racinesa2?]a1,b1[ etb2?]b1,c1[. Ces racines ´etant n´ecessairement distinctes, il y a

contradiction avec le fait queP??admet pour unique racinex= 0. Il s"ensuit quePadmet au plus trois racines

r´eelles distinctes.

Traitons maintenant le cas o`unest pair. Supposons, en vue d"obtenir une contradiction, quePadmette trois

racines distinctesa < b < c. Comme pr´ec´edemment, on d´eduit l"existence de deux racines deP?distinctes

a

1?]a,b[ etb1?]b,c[, puis l"existence d"une racinea2?]b1,c1[. Or on a vu queP??admet 0 pour unique

racine, de sorte quea2= 0 et quea1<0< b1. Mais puisqueP?(x) =nxn-1+p, les racines deP?satisfont l"´equation x n-1=-pn

et puisquenest impair, les racines sont toutes du signe de-p/n. On ne peut donc avoira1<0< b1. Il s"ensuit

quePadmet au plus deux racines r´eelles distinctes.

Solution de l"exercice 6.

Le th´eor`eme des accroissements finis, appliqu´e `a la fonction Arctg sur l"intervalle [0,t] (o`utest quelconque dans

R ?+), implique l"existence dec?]0,t[ tel que

11 +c2=Arctgt-Arctg0t-0=Arctgtt

Puisque la fonctiont?→1/(1 +t2) est strictement d´ecroissante surR+, on en d´eduit imm´ediatement que

Arctgtt

>11 +t2, puis l"in´egalit´e demand´ee.

Solution de l"exercice 7.

La d´eriv´ee defest donn´ee surR?par

f ?(x) =-1x

2exp?1x

Le th´eor`eme des accroissements finis montre que, pour toutx >0, il existec?]x,x+ 1[ tel quef?(c) =

f(x+ 1)-f(x), c"est-`a-dire, 1c

2exp?1c

= exp?1x+ 1? -exp?1x 3

On v´erifie facilement que la fonctiont?→t-2exp(1/t) est strictement d´ecroissante surR+. On en d´eduit les

in´egalit´es

1(x+ 1)2exp?1x+ 1?

<1c

2exp?1c

<1x

2exp?1x

puis les in´egalit´es x

2(x+ 1)2exp?1x+ 1?

2exp?1c =x2? exp?1x -exp?1x+ 1?? Les fonctions apparaissant aux extr´emit´es tendent toutes deux vers 1 lorsquex→ ∞, et le th´eor`eme des

gendarmes montre alors que lim x→∞x2? exp?1x -exp?1x+ 1?? = 1.

Solution de l"exercice 8.

En appliquant les th´eor`emes de composition, on v´erifie facilement que la fonctiongest continue sur [a,b] et

d´erivable sur ]a,b[. D"apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, il existec?]a,b[ tel que

g ?(c) =g(b)-g(a)b-a.

Puisqueg(x) = lnf(x) on obtient :

f ?(c)f(c)=lnf(b)-lnf(a)b-a, c"est-`a-dire, f(b)f(a)= exp?f?(c)f(c)(b-a)? Solution de l"exercice 9.Les primitives dePsont les fonctions polynˆomiales de la forme

Q(x) =α+a0x+a12

x2+···+ann+ 1xn+1,

avecα?Rquelconque. On remarque queQ(0) =Q(1) =α. Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence de

c?]0,1[ tel queQ?(c) =P(c) = 0.

Solution de l"exercice 10.

(a) Appliquons le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction (x?→lnx), sur l"intervalle [x,x+ 1] : il existe

c?]x,x+ 1[ tel que 1c =ln(x+ 1)-lnx(x+ 1)-x= ln(x+ 1)-lnx.

L"encadrement demand´e provient du fait que

1c ??1x+ 1,1x Remarquons que cet encadrement peut aussi s"´ecrire ?x >0,1x+ 1La premi`ere in´egalit´e dans (1) montre alors que (lnf)?(x)>0 pour toutx >0, donc que lnfest strictement

croissante surR?+. De mˆeme, on v´erifie facilement que (lng)?(x) =g?(x)g(x)= ln? 1 +1x -1x

La deuxi`eme in´egalit´e dans (1) montre alors que (lng)?(x)<0 pour toutx >0, donc que lngest strictement

d´ecroissante surR?+. (c) En multipliant la double in´egalit´e (1) parx, puis parx+ 1 on obtient : ?x >0,xx+ 1< xln? 1 +1x <1<(x+ 1)ln? 1 +1x Solution de l"exercice 11.

On consid`ere la propri´et´e

(Pn)fgest au moinsnfois d´erivable et (fg)(n)=n? k=0C nkf(k)g(n-k).

Nous allons montrer que, si (Pn) est satisfaite pourn < N, alors (Pn+1) est satisfaite. Il s"agit d"uner´ecurrence

finie, c"est-`a-dire d"une r´ecurrence qui s"interrompt apr`es un nombre fini d"incr´ementations den.

On v´erifie ais´ement que (P0) et (P1) sont satisfaites. Supposons que (Pn) soit satisfaite pourn < N. La

fonction (fg)(n)est d´erivable, puisque chaque fonctionf(k)g(n-k)est d´erivable, de d´eriv´ee

?f(k)g(n-k)??=f(k+1)g(n-k)+f(k)g(n+1-k). Doncfgest au moinsn+ 1 fois d´erivable, et l"on a (fg)(n+1)=n? k=0C nk?f(k)g(n-k)?? n? k=0C nkf(k+1)g(n-k)+n? k=0C nkf(k)g(n+1-k) n+1? k=1C nk-1f(k)g(n+1-k)+n? k=0C nkf(k)g(n+1-k). On a obtenue une somme de termes de la formeαkf(k)g(n+1-k), o`u

0=Cn0= 1 =Cn+10, αn+1=Cnn= 1 =Cn+1n+1,et?k? {1,...,n}, αk=Cnk+Cnk-1=Cn+1

k d"apr`es la propri´et´e foncdamentale du triangle de Pascal. Il s"ensuit que (fg)(n+1)=n+1? k=0C n+1 kf(k)g(n+1-k),

qui est la formule de Leibniz `a l"ordren+ 1. On remarque que, par commutativit´e du produit, on a aussi la

formule (fg)(n)= (gf)(n)=n? k=0C nkg(k)f(n-k). 5

Solution de l"exercice 12.

Calculons, en vue d"appliquer la formule de Leibniz, les d´eriv´ees successives des fonctionsuetvd´efinies par

u(x) =x2etv(x) = lnx.

On au?(x) = 2x,u??(x) = 2, puisu(k)≡0 pour toutk≥3. On a aussi, pour toutn≥1,v(n)(x) =

(-1)n-1(n-1)!x-n(on pourra montrer ceci par rcurrence). D"apr`es la formule de Leibniz, on a f ?(x) =C01x21x +C112xlnx=x+ 2xlnx, f ??(x) =C02x2? -1x 2? +C122x1x +C222lnx= 2lnx+ 3, puis, pourn≥3, f (n)(x) =C0nx2?(-1)n-1(n-1)!x-n?+C1n2x?(-1)n-2(n-2)!x-n+1?+C2n2?(-1)n-3(n-3)!x-n+2? = (-1)n-1(n-1)!x-n+2+ 2n(-1)n-2(n-2)!x-n+2+ 2n(n-1)2 (-1)n-3(n-3)!x-n+2 (-1)n-1x n-2? (n-1)!-2n(n-2)! +n(n-1)(n-3)!? (-1)n-1(n-1)!x n-2?

1-2nn-1+nn-2?

(-1)n-1(n-1)!x n-22(n-1)(n-2)

2(-1)n-1(n-3)!x

n-2. 6quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
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