Problème 1 : étude de points fixes
Dans ce problème on étudie la méthode du point fixe
Concours Centrale-Supélec 2001 PSI - Sujet 2 - Corrigé
matricielle LU
Analyse Numérique
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Exercices - Capes 2017 - deuxième épreuve : corrigé Premier
Exercices - Capes 2017 - deuxième épreuve : corrigé arguments classiques d'analyse mais aussi des propriétés de statistiques
Exercices corrigés
Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans. "Probabilités pour l'ingénieur des fondements aux calculs".
Exercices corrigés
Exercices corrigés. Merci de me signaler toute coquille présente dans ce document : selim.cornet@dauphine.fr. Fonctions d'une variable. Exercice 2.3.
Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis
Exercice 5 Soient p et q deux réels et n un entier naturel supérieur ou égal `a 2. Montrer que la fonction polynômiale P définie par P(x) = xn +px+q admet
Exercices corrigés sur les séries de Fourier
que f(x) = ? ?
sur ]?? ?]. La série converge-t-elle vers f ? Exercice 2 Calculer la série de Fourier
de la fonction 2?
Capes 2011 - première épreuve : corrigé Deuxième exercice
Exercices - Capes 2011 - première épreuve : corrigé gagner des points si on maitrise bien les bases de l'analyse niveau Terminale ou L1. Il est clair.
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques. Espaces vectoriels
2 oct. 2015 Avec corrigés. Les numéros de Théorèmes Propositions
Exercices corrig´es
Th´eor`eme de Rolle, accroissements finis
1 Enonc´es
Exercice 1D´emonstration du th´eor`eme des accroissements finis.Soitf: [a,b]→R, continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. En appliquant le th´eor`eme de Rolle `a la fonction
F: [a,b]→Rd´efinie par
F(x) =f(x)-f(b)-f(a)b-a(x-a),
montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f ?(c) =f(b)-f(a)b-a. Exercice 2SoitPla fonction polynˆomiale d´efinie parP(x) = 3x4-11x3+ 12x2-4x+ 2. Montrer queP? s"annule au moins une fois sur ]0,1[. Exercice 3Soitf:R→Rla fonction d´efinie par f(x) =sinx+ cosx1 + cos 2x. Montrer que, pour touta?R,f?s"annule au moins une fois sur l"intervalle ]a,a+ 2π[.Exercice 4Soientf,g: [a,b]→R, continues sur [a,b], d´erivables sur ]a,b[. On suppose quef(a)?=f(b) et
g(a)?=g(b). Montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f ?(c)f(a)-f(b)=g?(c)g(a)-g(b).On consid´erera pour cela la fonctionFd´efinie sur [a,b] parF(x) =?f(a)-f(b)?g(x)-?g(a)-g(b)?f(x).
Exercice 5Soientpetqdeux r´eels etnun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. Montrer que la fonction
polynˆomialePd´efinie parP(x) =xn+px+qadmet au plus trois racines r´eelles sinest impair et au plus deux
racines r´eelles sinest pair. Exercice 6En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction Arctg, montrer que ?t >0,Arctgt >t1 +t2.Exercice 7Soitf:R?→Rla fonction d´efinie parf(x) = exp(1/x). Montrer que, pour toutx >0, il existe
c?]x,x+ 1[ tel que f(x)-f(x+ 1) =1c2exp?1c
D´eterminer
lim x→∞x2? exp?1x -exp?1x+ 1?? 1Exercice 8Soitf: [a,b]→R?+, continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. En utilisant la fonctiong:= lnf,
montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f(b)f(a)= exp?f?(c)f(c)(b-a)? Exercice 9SoitPla fonction polynˆomiale r´eelle d´efinie parP(x) =a0+a1x+···+anxn.
On suppose que les coefficients dePsatisfont la relation a 0+a12 +···+ann+ 1= 0. En consid´erant une primitive deP, montrer quePadmet au moins une racine dans l"intervalle ]0,1[. Exercice 10(a) A l"aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer que ?x >0,1x+ 1Exercice 12En utilisant la formule de Leibniz, calculer la d´eriv´ee d"ordrende la fonctionfd´efinie surR?+parf(x) =x2lnx.
2 Solutions
Solution de l"exercice 1.La fonctionFest continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, de d´eriv´ee
F ?(x) =f?(x)-f(b)-f(a)b-a.De plus,F(a) =F(b) =f(a). Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence d"un r´eelc?]a,b[ tel que
F ?(c) = 0, c"est-`a-dire, f ?(c)-f(b)-f(a)b-a.Solution de l"exercice 2.
La fonctionPest ´evidemment continue sur [0,1] et d´erivable sur ]0,1[. De plus,P(0) =P(1) = 2. D"apr`es le
th´eor`eme des accroissements finis, il existec?]0,1[ tel que P ?(c) =P(1)-P(0)1-0= 0. 2Solution de l"exercice 3.
La fonctionfest 2π-p´eriodique et d´erivable surR. Pour touta?R,f(a) =f(a+ 2π) et le th´eor`eme de Rolle
montre l"existence d"un r´eelc?]a,a+ 2π[ tel quef?(c) = 0.Solution de l"exercice 4.
La FonctionFest sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, de d´eriv´ee F ?(x) =?f(a)-f(b)?g?(x)-?g(a)-g(b)?f?(x).De plus, on v´erifie facilement queF(a) =f(a)g(b)-f(b)g(a) =F(b). On peut donc appliquer le th´eor`eme de
Rolle : il existe un r´eelc?]a,b[ tel queF?(c) = 0, c"est-`a-dire, tel que f ?(c)f(a)-f(b)=g?(c)g(a)-g(b).Solution de l"exercice 5.
On aP?(x) =nxn-1+petP??(x) =n(n-1)xn-2. En particulier, on voit queP??admet exactement une racine, `a savoirx= 0.Commen¸cons par le cas o`unest impair. Supposons, en vue d"obtenir une contradiction, quePadmette quatre
racines distinctesa < b < c < d. La fonctionPest ´evidemment continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[ et telle
queP(a) =P(b). Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence dea1?]a,b[ tel queP?(a1) = 0. Le mˆeme
raisonnement sur les intervalles [b,c] et [c,d] montre l"existence deb1?]b,c[ etc1?]c,d[ tel queP?(b1) = 0
etP?(c1) = 0. DoncP?admet trois racines distinctesa1< b1< c1. Le mˆeme raisonnement montre alors aussi
queP??admet deux racinesa2?]a1,b1[ etb2?]b1,c1[. Ces racines ´etant n´ecessairement distinctes, il y a
contradiction avec le fait queP??admet pour unique racinex= 0. Il s"ensuit quePadmet au plus trois racines
r´eelles distinctes.Traitons maintenant le cas o`unest pair. Supposons, en vue d"obtenir une contradiction, quePadmette trois
racines distinctesa < b < c. Comme pr´ec´edemment, on d´eduit l"existence de deux racines deP?distinctes
a1?]a,b[ etb1?]b,c[, puis l"existence d"une racinea2?]b1,c1[. Or on a vu queP??admet 0 pour unique
racine, de sorte quea2= 0 et quea1<0< b1. Mais puisqueP?(x) =nxn-1+p, les racines deP?satisfont l"´equation x n-1=-pnet puisquenest impair, les racines sont toutes du signe de-p/n. On ne peut donc avoira1<0< b1. Il s"ensuit
quePadmet au plus deux racines r´eelles distinctes.Solution de l"exercice 6.
Le th´eor`eme des accroissements finis, appliqu´e `a la fonction Arctg sur l"intervalle [0,t] (o`utest quelconque dans
R ?+), implique l"existence dec?]0,t[ tel que11 +c2=Arctgt-Arctg0t-0=Arctgtt
Puisque la fonctiont?→1/(1 +t2) est strictement d´ecroissante surR+, on en d´eduit imm´ediatement que
Arctgtt
>11 +t2, puis l"in´egalit´e demand´ee.Solution de l"exercice 7.
La d´eriv´ee defest donn´ee surR?par
f ?(x) =-1x2exp?1x
Le th´eor`eme des accroissements finis montre que, pour toutx >0, il existec?]x,x+ 1[ tel quef?(c) =
f(x+ 1)-f(x), c"est-`a-dire, 1c2exp?1c
= exp?1x+ 1? -exp?1x 3On v´erifie facilement que la fonctiont?→t-2exp(1/t) est strictement d´ecroissante surR+. On en d´eduit les
in´egalit´es1(x+ 1)2exp?1x+ 1?
<1c2exp?1c
<1x2exp?1x
puis les in´egalit´es x2(x+ 1)2exp?1x+ 1?
Solution de l"exercice 8.
En appliquant les th´eor`emes de composition, on v´erifie facilement que la fonctiongest continue sur [a,b] et
d´erivable sur ]a,b[. D"apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, il existec?]a,b[ tel que
g ?(c) =g(b)-g(a)b-a.Puisqueg(x) = lnf(x) on obtient :
f ?(c)f(c)=lnf(b)-lnf(a)b-a, c"est-`a-dire, f(b)f(a)= exp?f?(c)f(c)(b-a)? Solution de l"exercice 9.Les primitives dePsont les fonctions polynˆomiales de la formeQ(x) =α+a0x+a12
x2+···+ann+ 1xn+1,avecα?Rquelconque. On remarque queQ(0) =Q(1) =α. Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence de
c?]0,1[ tel queQ?(c) =P(c) = 0.Solution de l"exercice 10.
(a) Appliquons le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction (x?→lnx), sur l"intervalle [x,x+ 1] : il existe
c?]x,x+ 1[ tel que 1c =ln(x+ 1)-lnx(x+ 1)-x= ln(x+ 1)-lnx.L"encadrement demand´e provient du fait que
1c ??1x+ 1,1x Remarquons que cet encadrement peut aussi s"´ecrire ?x >0,1x+ 1La deuxi`eme in´egalit´e dans (1) montre alors que (lng)?(x)<0 pour toutx >0, donc que lngest strictement
d´ecroissante surR?+. (c) En multipliant la double in´egalit´e (1) parx, puis parx+ 1 on obtient : ?x >0,xx+ 1< xln? 1 +1x <1<(x+ 1)ln? 1 +1xOn consid`ere la propri´et´e
(Pn)fgest au moinsnfois d´erivable et (fg)(n)=n? k=0C nkf(k)g(n-k).Nous allons montrer que, si (Pn) est satisfaite pourn < N, alors (Pn+1) est satisfaite. Il s"agit d"uner´ecurrence
finie, c"est-`a-dire d"une r´ecurrence qui s"interrompt apr`es un nombre fini d"incr´ementations den.
On v´erifie ais´ement que (P0) et (P1) sont satisfaites. Supposons que (Pn) soit satisfaite pourn < N. La
fonction (fg)(n)est d´erivable, puisque chaque fonctionf(k)g(n-k)est d´erivable, de d´eriv´ee
?f(k)g(n-k)??=f(k+1)g(n-k)+f(k)g(n+1-k). Doncfgest au moinsn+ 1 fois d´erivable, et l"on a (fg)(n+1)=n? k=0C nk?f(k)g(n-k)?? n? k=0C nkf(k+1)g(n-k)+n? k=0C nkf(k)g(n+1-k) n+1? k=1C nk-1f(k)g(n+1-k)+n? k=0C nkf(k)g(n+1-k). On a obtenue une somme de termes de la formeαkf(k)g(n+1-k), o`u0=Cn0= 1 =Cn+10, αn+1=Cnn= 1 =Cn+1n+1,et?k? {1,...,n}, αk=Cnk+Cnk-1=Cn+1
k d"apr`es la propri´et´e foncdamentale du triangle de Pascal. Il s"ensuit que (fg)(n+1)=n+1? k=0C n+1 kf(k)g(n+1-k),qui est la formule de Leibniz `a l"ordren+ 1. On remarque que, par commutativit´e du produit, on a aussi la
formule (fg)(n)= (gf)(n)=n? k=0C nkg(k)f(n-k). 5Solution de l"exercice 12.
Calculons, en vue d"appliquer la formule de Leibniz, les d´eriv´ees successives des fonctionsuetvd´efinies par
u(x) =x2etv(x) = lnx.On au?(x) = 2x,u??(x) = 2, puisu(k)≡0 pour toutk≥3. On a aussi, pour toutn≥1,v(n)(x) =
(-1)n-1(n-1)!x-n(on pourra montrer ceci par rcurrence). D"apr`es la formule de Leibniz, on a f ?(x) =C01x21x +C112xlnx=x+ 2xlnx, f ??(x) =C02x2? -1x 2? +C122x1x +C222lnx= 2lnx+ 3, puis, pourn≥3, f (n)(x) =C0nx2?(-1)n-1(n-1)!x-n?+C1n2x?(-1)n-2(n-2)!x-n+1?+C2n2?(-1)n-3(n-3)!x-n+2? = (-1)n-1(n-1)!x-n+2+ 2n(-1)n-2(n-2)!x-n+2+ 2n(n-1)2 (-1)n-3(n-3)!x-n+2 (-1)n-1x n-2? (n-1)!-2n(n-2)! +n(n-1)(n-3)!? (-1)n-1(n-1)!x n-2?1-2nn-1+nn-2?
(-1)n-1(n-1)!x n-22(n-1)(n-2)2(-1)n-1(n-3)!x
n-2. 6quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] bien rédiger en français pdf
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