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3 – Déterminer la parité du nombre A. Soit n un nombre entier naturel. Exercices corrigés d'arithmétique dans N. Tronc commun science biof
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Exercices corrigés
d'arithmétique dans NPartie I
Tronc commun science biof
Exercice 1 :
Soient m et n deux nombres entiers naturels, tel que m n .1 Montrer que m n et m + n ont la même parité.
2 5pVRXGUH GMQV 1 O·pTXMPLRQ P2 n2 = 12
Exercice 2 :
Exercice 3 :
2 Soit n un entier naturel. Vérifier que :
n2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1 puis montrer que n2 + 5n + 7 est impair.1 Déterminer la parité des nombres suivants :
A = n(n + 1) ; B= (2n+1)2021 + (4n)2020 ; C = 3n3 n1 Développer le nombre ; n
28(3 2) 5 ( ) 35A n n n
2 En déduire que A est un carré parfait.
3 Déterminer la parité du nombre A.
Soit n un nombre entier naturel.
Exercices corrigés d'arithmétique dans N
Tronc commun science biof
6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 1
1 Déterminer la parité des nombres suivants :
Soit n un nombre entier naturel.
A = n(n + 1) ; B = (2n+1)2021 + (4n)2020 ; C = 3n3 nOn a A = n(n + 1)
On distingue deux cas:
Si n est pair il existe un entier naturel k tel que : n = 2k donc n + 1 = 2k + 1 Donc n(n + 1) = 2k(2k + 1) donc A = 2 (2k2 + k) on pose k = 2k2 + k donc kDonc A = 2k A est pair
Si n est impair il existe un entier naturel k tel que : n = 2k + 1 donc n + 1 = 2k + 2 Donc n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) donc A = 2 (2k + 1)(k + 1) on pose k = (2k + 1)(k + 1) donc kDonc A = 2k A est pair
Conclusion : pour tout n entier naturel n(n + 1) est pair Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est pair.Exercices corrigés d'arithmétique dans N
Tronc commun science biof
2) Vérifier que : n2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1
n2 + 5n + 7 est impair est impair On a (n + 2)(n + 3) est pair il existe un entier naturel k tel que: (n + 2)(n + 3) = 2kDonc n2 + 5n + 7 = 2k + 1
B = (2n+1)2021 + (4n)2020
On a 2n + 1 est impair donc (2n+1)2021 est aussi impair On a 4n = 2(2n) est pair donc (4n)2020 est aussi pairOM VRPPH G·XQ
nombre pair etG·XQ QRPNUH
impair est impair le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est pairOn a C = 3n3 n = 2n3 + n3 n
Donc C = 2n3 + 2k(n 1) = 2(n3 + kn k)
Donc C = 2n3 + n(n2 1) Donc C = 2n3 + n(n + 1)(n 1) n(n + 1) est pair il existe un entier naturel k tel que: n(n + 1) = 2k on pose k = n3 + kn k donc kDonc C = 2k C est pair
2 + 5n + 7 = (n + 2)(n + 3) + 1
On a (n + 2)(n + 3) + 1 = n2 + 3n + 2n + 6 + 1 donc (n + 2)(n + 3) + 1 = n2 + 5n + 7Exercices corrigés d'arithmétique dans N
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On a 2n + 1 est impair donc (2n+1)2 est aussi impairUn carré parfait
est un nombre qui est le carré d'un autre entier6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 2
0n a2 2 28(3 2) 5 ( ) 3 9 12 4 5 8 35n n n n n n n
2 En déduire que A est un carré parfait. 2 2 2 24 4 1 (2 ) 2 2 1 1 (2 1)n n n n n
0n a3 Déterminer la parité du nombre A.
Donc A = 4n2 + 4n + 1
Donc A = (2n + 1)2 G·RZ $ HVP XQ ŃMUUp SMUIMLPA est impair
Etudier la parité
d'un nombre entier c'est déterminer si cet entier est pair ou impair.Exercices corrigés d'arithmétique dans N
Tronc commun science biof
6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 3
On suppose que m n est pair et montrons que m + n est aussi pair + n est pair Soient m et n deux nombres entiers naturels, tel que m n .1 Montrer que m n et m + n ont la même parité.
m n est pair il existe un entier naturel k tel que : m n = 2k m n + 2n = 2k + 2n donc m + n = 2(k + n) on pose k = k + n donc kDonc m + n = 2k
On suppose que m n est impair et montrons que m + n est aussi impair m n est impair il existe un entier naturel k tel que : m n = 2k + 1 m n + 2n = 2k + 1 + 2n donc m + n = 2(k + n) + 1 on pose k = k + n donc kDonc m + n = 2k + 1
+ n est impairExercices corrigés d'arithmétique dans N
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Soient m et n deux nombres entiers naturels, tel que m n . m n et m + n ont la même parité et 12 est pair2 5pVRXGUH GMQV 1 O·pTXMPLRQ P2 n2 = 12
m = 4 et n = 2 m2 n2 = (m n) (m + n)Puisque m n < m + n
Donc (m n) (m + n) = 12
Donc (m n) et (m + n) sont pairs On a 12 = 2 × 6Donc m n = 2 et m + n = 6
6 2 mn mn quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] l'abc du télescope pdf
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