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Exercices corrigés
d'arithmétique dans NPartie III
Tronc commun science biof
([HUŃLŃHV G·MULPOPpPLTXHExercice 9 :
Exercice 10 :
d Déterminer O·HQPLHU QMPXUHO Q tel que n + 4 divise n + 17Exercice 8 :
a Décomposer 1008 et 1608 en produit de facteurs premiers. b Déduire PGCD(1008 , 1608) et PPCM(1008 , 1608) . Soient a et b deux entiers naturels tel que : a b = 18 PGCD(a , b) = a b1 Déterminer tous les diviseurs communs de a et b
2 Sachant que ab = 972 calculer a v b et en déduire a et b
Soient les entiers naturels a = 2352 et b = 14850
1 Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
2 Donner le nombre de diviseurs de chacun des entiers a et b.
3 Déterminer PGCD(a ,b) et PPCM(a ,b).
4 Déterminer le plus petit entier p tel que le nombre pa soit un carré parfait.
5 Déterminer le plus petit entier q tel que le nombre qb soit un cube parfait
c ² En déduire la forme irréductible de 10081608 et de 111608 1008Tronc commun science biof
([HUŃLŃHV G·MULPOPpPLTXH a Décomposer 1008 et 1608 en produit de facteurs premiers. b Déduire PGCD(1008 , 1608) et PPCM(1008 , 1608)1008 2
504 2
252 2
126 2
63 3
21 3
7 7
11608 2
804 2
402 2
201 3
67 67
11008 = 24 × 32 × 7
PGCD(1008 , 1608) = 23 × 3 = 24
1008 = 24 × 32 × 7
PPCM(1008 , 1608) = 24 × 32 × 7 × 67= 675361608 = 23 × 3 × 67
6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 8 :
1608 = 23 × 3 × 67
Tronc commun science biof
PGCD(a , b) est le
produit des facteurs premiers communs à a et b munis du plus petit des exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de a et b.PPCM(a , b) est le produit
des facteurs premiers communs ou non à a et b munis du plus grand des exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de a et b. ([HUŃLŃHV G·MULPOPpPLTXH1008 = 24 × 32 × 7 ; 1608 = 23 × 3 × 67
d Déterminer n tel que n + 4 divise n + 17 Pour que (n + 4) divise n + 17 il faut que (n + 4) divise 13 Les diviseurs de 13 sont : 1 ;13. On a 17 4 13 1344 4 4 4nnnn n n n donc 17 13144nnn Donc n + 4 = 1 ou n + 4 = 13 donc n = 1 4 ou n = 13 4Or 3 G·RZ n = 9
donc n = 3 ou n = 9 On a342 2 244 7 7 7
2 3 71 1 1 11608 100867
2 3 67 2 3 2 3 67 2 3 67
u u u u u u u u u u D·ou4242 67 109111608 1008 675367 2 3 67 uu
c ² En déduire la forme irréductible de 10081608 et de 111608 1008Tronc commun science biof
On a PPCM(1008 , 1608) = 24 × 32 × 7 × 67= 67536On a 4
3271008 2 3 7421667 6078
232 3 67
u uu u ([HUŃLŃHV G·MULPOPpPLTXH6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 9 :
Soient a et b deux entiers naturels tel que : a b = 181 Déterminer tous les diviseurs communs de a et b
les diviseurs communs de a et b sont les diviseurs de 18 les diviseurs de 18 sont: 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 les diviseurs communs de a et b sont D18 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 }2 Sachant que ab = 972 calculer a v b et en déduire a et b
On sait que (a b) × (a b) = a×b
a b = 18 et a b divise a et b ab = 18 × 18 × 3 a = 18 et b = 18 × 3 ou a = 18 × 3 et b = 18 a = 18 et b = 54 ou a = 54 et b = 18Tronc commun science biof
([HUŃLŃHV G·MULPOPpPLTXH14850 2
7425 3
2475 3
825 3
275 5
55 511 11
12352 2
1176 2
588 2
294 2
147 3
49 7
7 7 12352 = 24 × 3 × 72
6ROXPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 10 :
Soient les entiers naturels a = 2352 et b = 14850
1 Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
2 Donner le nombre de diviseurs de chacun des entiers a et b.
14850 = 2 × 33 × 52 × 11
Le nombre de diviseurs
d'un nombre est égal au produit des puissances de chacun de ses facteurs premiers, augmentée de 1. a = 24 × 31 × 72 (4+1) (1+1) (2+1) = 5×2×3 = 30 le nombre de diviseurs de a est 30 b = 21 × 33 × 52 × 111 (1+1) (3+1) (2+1) (1+1) = 2×4×3 ×2 le nombre de diviseurs de b est 48Tronc commun science biof
([HUŃLŃHV G·MULPOPpPLTXHPGCD(a , b) = 2 × 3 = 6
PPCM(a , b) = 24 × 33 × 52 × 72 × 11= 58212003 Déterminer PGCD(a ,b) et PPCM(a ,b).
4 Déterminer le plus petit entier p tel que le nombre pa soit un carré parfait.
5 ² Déterminer le plus petit entier naturel q tel que le nombre qb soit un cube parfait
a = 2352 = 24 × 3 × 72 b = 14850 = 2 × 33 × 52 × 11 a = 24 × 3 × 72 donc a = (22 × 7)2 × 3 Pour déterminer le plus petit entier naturel p pour que pa soit un carré parfait il suffit de prendre p = 33a = 3 × 24 × 3 × 72 donc 3a = 24 × 32 × 72 = (22 × 3 × 7 )2
Le plus petit entier naturel p pour que pa soit un carré parfait est p = 3 b = 14850 = 2 × 33 × 52 × 1122 × 5 × 112 × b = 22 × 5 × 112 × 2 × 33 × 52 × 11 22 × 5 × 112 = 2420
2420b = (2 × 3 × 5 × 11)3 donc 2420b = (330)3
Le plus petit entier naturel q pour que qb soit un cube parfait est q = 2420Tronc commun science biof
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