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Ce document est la premi`ere partie d'un cours d'arithmétique écrit pour les él`eves pré- grand commun diviseur (pgcd) de a et b et noté pgcd(a b).
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: `0;1;2;... a) Le nombre 0 est le nombre entier naturel nul. `1;2;... non nuls 7 appartient a on écrit : 7 (-32) Diviseurs et multiples : Soit a IN, b IN* : On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a b On dit aussi que b est un diviseur de a. Et tout nombre entier naturel non nul a admet au moins deux diviseurs, 1 et a. Le nombre 0 est un multiple de tous entiers naturels. 3)Critères de divisibilité : soit n un nombre entier naturel, n est divisible par : a)2 si et seulement si son nombre ; 8. b)3 si et seulement si la somme de ces chiffres est divisible par 3 . c)4 si et seulement si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est divisible par 4. d) e)9 si et seulement si la somme de ces chiffres est divisible par 9 . 3)er : a) on un multiple de 2 existe un Entier naturel k tel que n = 2.k b) on k tel que n = 2.k+1 Remarques : Un nombre entier naturel est soit paire soit impaire, et on a les résultats suivants : Nombres a b ab ab ab Parité des nombres pair pair pair pair pair impair impair pair pair impair pair impair impair impair pair 4)nombres premiers Un nombre entier naturel est dit premier exactement deux diviseurs : 1 et lui-même Remarques1 nest pas premier car il na quun seul diviseur : 1 2 est le seul nombre premier pair Il y a une infinité de nombre premier 5)Décomposition en produit de facteurs premiers tout entier naturel non premier se décompose en produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique. 6) le plus grand commun diviseur a) Soient a et b deux entiers non nuls Le PGCD de a et b est le plus grand diviseur commun des nombres a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a v b b) Le plus grand diviseur commun de deux nombres est le produit des facteurs communs munis du plus petit des exposants trouvés dans la décomposition de a et b . 7) Le plus petit commun multiple a) Soient a et b deux entiers non nuls. PPCM de a et b est le plus petit multiple commun des nombres a et b. On le note PPCM (a ; b). b) Le plus petit multiple commun de deux nombres est le produit des facteurs communs munis Du plus grand des exposants trouvés dans la décomposition de a et b. » Dit un proverbe. P MPOP P N N P
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