1.8 Le théorème des accroissements finis
Une autre variante du théorème des accroissement finis où l'égalité est rempla- cée par une inégalité sur les normes. 1.8.10 THÉORÈME (L'INÉGALITÉ DES
Inégalité des accroissements finis. Exemples dapplications à létude
May 18 2009 Inégalité des accroissements finis. Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions. L'exposé pourra être illustré par un ou des.
THEOREME DE ROLLE ; THEOREME DES ACCROISSEMENTS
Cours : THEOREME DE ROLLE ; THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS (T.A.F). PROF: ATMANI NAJIB. 2BAC SM BIOF 5)Inégalité des accroissements finies I.A.F :.
6 1. 2. On en déduit
y) ? 0
LEÇON N? 65 : Inégalité des accroissements finis. Exemples d
Inégalité des accroissements finis. Exemples d'applications à l'étude de suites ou de fonctions. L'exposé pourra être illustré par un ou des
Accroissements finis
L'inégalité des accroissements finis et son dessin. Théor`eme IAF. Soit f dérivable sur I := [ab] avec a < b et m et M deux nombres réels. On suppose.
6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis.
Souvent pour étudier des fonctions et calculer des limites
Math´ematiques - ECS1
Dérivation des fonctions réciproques. Théorème de Rolle. Égalité et inégalités des accroissements finis. (1) Si m ? f ? M sur un intervalle I alors :.
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Vérifier que les hypothèse du théorème de Rolle s'appliquent à la fonction f(x) = x³ – x Inégalité des accroissements finis.
Fonctions de classe C - Inégalité des accroissements finis.
On a vu que le théorème de. Rolle et donc le théorème des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction de plusieurs variables. L'inégalité des
Accroissements finis - unicefr
L’in´egalit´e des accroissements ?nis `a reculons Th´eor`eme IAF `a reculons Soit f d´erivable sur I := [ab] avec a < b et m et M deux nombres r´eels On suppose m ? f0 ? M sur I Alors on a l’encadrement suivant de f(b) : f(b)?M(b ?a) ? f(a) ? f(b)?m(b ?a) Et ca se dessine grave
18 Le théorème des accroissements ?nis - univ-rennes1fr
1 Applications différentiables: Le théorème des accroissements ?nis 35 Démonstration: On applique 1 8 4 à chaque composante f j de Une autre variante du théorème des accroissement ?nis où l’égalité est rempla-cée par une inégalité sur les normes 1 8 10 THÉORÈME(L’INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS) Soit f : U !
4 Inegalit e des accroissements finis - univ-amufr
vers f et que la suite des d eriv ees f 0 n converge uniform ement sur vers g Alors: fest d erivable sur et f = g Le th eor eme 2 2 (ou 2 2-bis) s’applique souvent a des s eries de fonctions en prenant f n= P n 0 u k Il se reformule de la mani ere suivante dans le cas des s eries de fonctions de R dans C: Corollaire 2 3 Soit u k:
Fonctionsdeclasse C -Inégalité desaccroissements?nis
Fonctions de classe C1 - Inégalité des accroissements finis Par composition de fonctions di?érentiables (on l’admet pour le moment ce sera vu au chapitre6
LEÇON N? 65 : Inégalité des accroissements ?nis Exemples d
Inégalité des accroissements ?nis Exemples d’applications à l’étude de suites ou de fonctions L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice Pré-requis: – Notions de continuité dérivabilité; – Théorème des valeurs intermédiaires; – Intégration
INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS - ACCESMAD
INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS Exercice 1 1: On considère la fonction f définie par f(x)= e2x 1- Etudier les variations de f et tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère (O;ij G G) Unité 2 cm 2- a) Etudier le sens de variation de g : x 6 g(x)= f(x)-x
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Exercice 4 Le théorème des accroissements ?nis peut être utilisé pour montrer le théorème de Darboux qui nous dit qu’une fonction dérivée véri?e la propriété des valeurs intermédiaires On donne ensuite quelques applications du théorème de Darboux
Accroissements finis
D´edou
F´evrier 2011
L"in´egalit´e des accroissements finis et son dessinTh´eor`eme IAF
Soitfd´erivable surI:= [a,b] avecaUn exemple I
Je peux prendre n"importe quellefd´erivable, par exemple f:=x?→ex, et n"importe quelI:= [a,b] dans DDf, par exemple a:= 0,b:= 1.Un exemple II
PourmetM, c"est plus compliqu´e.
Je dois d"abord calculerf?, facile :
f ?=x?→ex. Et apr`es, je dois encadrerf?sur [0,1]. Commef?est croissante, elle est encadr´ee par ses valeurs aux bornes 0 et 1, `a savoir 1 ete. Donc pourmje peux prendre n"importe quel nombre inf´erieur `a 1, par exemple 1, et pourMje peux prendre n"importe quel nombre sup´erieur `ae, par exemple 3 :Bien sˆur on le savait d´ej`a.
Exercice
Quand on applique IAF, on sait peut-ˆetre qui sontf,aetb, mais il faut choisirmetMde fa¸con que l"hypoth`ese soit v´erifi´ee.Alors on a l"encadrement suivant def(b) :
Encadrer ln2 en appliquant IAF `a ln sur [1,2].
La variante en termes de taux
La conclusion de IAF
peut se reformuler comme suit (en retranchantf(a) aux trois termes) : ou encore (en divisant les trois termes parb-aqui est bien positif) :Le point de vue physique
En physique, on utilise une fonctionfpour repr´esenter la position f(x) d"un point mobile sur un axe en fonction du temps (x, qu"onpr´ef`ere alors appelert).La d´eriv´eef?(t) repr´esente alors la vitesse de notre mobile `a
l"instantt;le quotient f(b)-f(a)b-arepr´esente la vitesse moyenne entre les temps consid´er´e, la vitesse de notre mobile reste comprise moyenne est elle aussi comprise entremetM.Que cette hypoth`ese implique cette conclusion semble "physiquement" incontestable. Accroissements finis et approximation lin´eaire Dans l"approximation lin´eaire on "approche"f(b) par f(a) +f?(a)(b-a).Avec IAF, on encadre le mˆemef(b) par
f(a) +m(b-a) etf(a) +M(b-a). Notez que l"hypoth`ese de IAF implique en particulierIAF `a reculons
On a vu comment encadrerf(b) en termes def(a) mais comment encadrerf(a) en termes def(b)? On a qui est l"encadrement rˆev´e. Ca se comprend bien sur le dessin. L"in´egalit´e des accroissements finis `a reculonsTh´eor`eme IAF `a reculons
Soitfd´erivable surI:= [a,b] avecaExemple
Encadrons ln2.7 "en partant de lne". On prend doncf:= ln,a:= 2.7,b:=e.On af?=x?→1x . Cette fonction est d´ecroissante sur [a,b], o`u elle est donc encadr´ee par ses valeurs aux bornes :m:=1eExercice
Rappel de IAF `a reculons
Encadrer sin3 en appliquant IAF `a la fonction sinus sur [3,π].Preuve de IAF
On poseg:=x?→f(x)-f(a)-m(x-a) et on calcule
g ?=x?→f?(x)-m. Notre hypoth`ese assure queg?est positive, "donc" quegest croissante sur l"intervalle [a,b]. Quand on calcule On montre la deuxi`eme moiti´e de la mˆeme fa¸con en posant h:=x?→f(x)-f(a)-M(x-a).Preuve de IAF
On poseg:=x?→f(x)-f(a)-m(x-a) et on calcule
g ?=x?→f?(x)-m. Notre hypoth`ese assure queg?est positive, "donc" quegest croissante sur l"intervalle [a,b]. Quand on calcule On montre la deuxi`eme moiti´e de la mˆeme fa¸con en posant h:=x?→f(x)-f(a)-M(x-a).Exo 3Faire cette deuxi`eme moiti´e de preuve.
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