[PDF] Cours de Cosmologie F.-Xavier Désert





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Introduction à la RELATIVITE RESTREINTE

Mécanique classique relativiste (restreinte ou spéciale). La relativité se manifeste pour des vitesses d'objets v élevées. La vitesse de la.



Cours de Cosmologie F.-Xavier Désert

04-Mar-2018 la relativité restreinte (2.1) et la gravitation Newtonienne (2.2) ... théorie doit retrouver la Relativité Restreinte pour les champs nuls.



Relativité générale pour débutants

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Chapter 2 La théorie de la relativité restreinte

et de même pour tout autre quadrivecteur. La derni`ere égalité introduit la conven- tion de sommation d'Einstein dans l'espace de Minkowski. Comme auparavant on.



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la relativité restreinte sur deux postulats : 1. Le principe du relativité : Les équations fondamentales de la physique reste forme invariante par un 



Introduction `a la relativité générale dun point de vue mathématique

(1) En 1905 Einstein introduit la relativité restreinte



Fondements mathématiques de la relativité restreinte

13-Oct-2020 des fondements de la relativité restreinte . ... le paramètre l d'après 3 est un réel non nul qui ne dépend que de y : l = l y .



Enseigner la relativité restreinte en CPGE - obspmfr

Dans ce cours on présente la mécanique classique relativiste ou relativité restreinte établie par Einstein en 1905 En relativité il est nécéssaire de concevoir la mécanique dans l'espace-temps de façon globale et non à un instant précis Les explications feront donc appel à des schémas espace-temps souvent 1+1 Dimensions



Cours de Relativité Générale - Institut d'astrophysique de

Nous allons commencer par un tour d’horizon sur la RELATIVITÉ RESTREINTE (RR) et l’ ESPACE-TEMPS plat associé : est plat un espace-temps dont la métrique peut être mise sous une forme où les coefficients ne dépendent pas des coordonnées



Présentation des relativités restreintes et générales

« La relativité a changé radicalement les notions d’espace et de temps considérés jusqu’en 1905 comme des catégories indépendantes Or c’est la combinaison de l’espace et du temps qui est la réalité Dans le monde auquel la relativité nous a conduits espace et temps sont physiquement liés » (p 3)



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La relativité restreinte est l’un des piliers de la physique moderne à la base de la théorie quantique des champs de la physique nucléaire et de la physique des particules mais aussi de nombreux domaines de l’astrophysique Or elle est complètement absente des programmes

Qu'est-ce que la relativité restreinte ?

La dernièrepartie, plus mathématique, pourrait servir d’illustration du cours d’algèbre en classede MP ou MP*. La relativité restreinte est l’un des piliers de la physique moderne, à la base de la théoriequantique des champs, de la physique nucléaire et de la physique des particules, mais ausside nombreux domaines de l’astrophysique.

Comment calculer la relativité restreinte ?

Pour la relativité restreinte, il s’agit de la structure mathématique la plus simple quisoit pour un tel continuum3 : celle d’un espace a?ne de dimension4sur R. L’espace vectorielassocié est alors R4. Pour les aspects graphiques, on se limitera à une seule dimension spatiale x. L’espace-temps apparaît alors comme un plan a?ne.

Quelle est la différence entre relativité générale et relativité restreinte ?

3. La relativité générale, qui, à la di?érence de la relativité restreinte, incorpore la gravitation, met en œuvreune structure plus complexe, à savoir celle de variété di?érentielle.

Quelle est la théorie de la relativité générale ?

Le 25 novembre 1915, il présente à l’Académie royale de Prusse les équations définitives de la théorie de la relativité générale. Celle-ci s'appuie sur le principe d’équivalence entre gravitation et accélération.

Cours de Cosmologie F.-Xavier Désert

CoursdeCosmologie

F.-XavierDésert

(Figure:WMAPScienceTeam) v2.3-2004-10FindescoursSept-Oct2004

Tabledesmatières

Chapitre1.Introduction5

1.1.Préambule5

1.2.Dénition5

1.3.Survolhistorique5

1.4.L'Universparadoxal6

1.5.Planducours7

Chapitre2.Lesfondements9

2.1.Larelativitérestreinte9

Exercises10

2.2.Lagravitationuniverselle10

3.1.Introduction13

3.3.Rudimentsd'analysetensorielle15

3.4.Géodésiques16

3.5.Tenseurénergie-impulsion16

3.6.Courbure17

3.7.Équationsd'Einstein18

3.8.LimiteNewtonienne19

3.9.MétriquedeSchwarzschild20

3.10.Ondesgravitationnelles21

3.11.Redshiftgravitationnel21

3.12.Conclusions22

Chapitre4.Cosmologiestandard23

4.2.Géodésiques24

Chapitre5.L'expansiondel'Univers31

5.1.Distancesethorizons31

5.2.LoideHubble34

5.3.DéterminerlaconstantedeHubble34

Chapitre6.Lesconstituantsdel'Univers35

6.1.Lamatièrelumineuse35

6.2.Lamatièrebaryoniquesombre35

6.3.Lamatièrenoire35

3

4TABLEDESMATIÈRES

7.3.Desquarksauxatomes40

7.4.Abondancecosmique40

7.5.Fondcosmologiquedeneutrinos41

8.2.MesuredesanisotropiesduCMB43

8.3.Interprétationdesanisotropies44

8.4.Croissancedesperturbations44

9.1.Paradoxesdubigbangstandard47

9.2.L'inationsimple47

9.3.Conséquencesobservables47

Chapitre10.Réponsesauxexercices49

Bibliographie51

Bibliographie51

Index53

CHAPITRE1

Introduction

1.1.Préambule

Astrophysiqueetmilieuxdilués:

et

PhysiqueSubatomiqueetAstroparticules:

http://lpsc.in2p3.fr/Master/index.html coquinescoquilles.

1.2.Dénition

peuventtester. gonie.

1.3.Survolhistorique

5

61.INTRODUCTION

liardd'années.

ConstantedeHubbleH0725km=s=Mpc

Densitécritiquec0:9741026kgm3

Densitétotaleréduite

tot1:020:02

Densitédecourbureréduite

k0:020:02

0:700:10

Équationd'étatw1:00:3

Densitétotaledematièreréduite

m0:290:07

Densitéréduitedesbaryons

b0:04700:0006

Densitéréduitedesphotons

ph4:760:30105

Rapportnombredebaryons/photons6:50:41010

Densiténumériquedesphotonsn

410:40:9106m3

lum0:0100:005

Densitéréduitedesneutrinos

1041:4102

Agedel'Universt013:40:3Gan

Redshiftdudécouplagezdec10882

vitation)

Penzias&Wilson,Peebles,Silk,Mather&Smoot

Maintenant

1.4.L'Universparadoxal

moinsdecurieuxparadoxes:

1.5.Planducours

(1)Danslalangueanglo-saxophone: -Weinberg[15] -Misner,Thorne,Wheeler[7] -Peebles[9,10] -Kolb&Turner[4,3] -Padmanabhan[8] -Liddle&Lyth[5] (2)Enfrançais: -Einstein:[2] -Cotéastrophysique:[1,6] -Culturegénérale:[12,14] (3)Surleweb: -LecoursdeRG:Carroll: http://arxiv.in2p3.fr/abs/gr-qc/9712019 -LecoursdeNedWright(dansles2langues): -[français]LecoursdeLaurentBaulieu: -[français]UncoursdelaSAF: http://cdfpc53.in2p3.fr/~bouquet/ http://igd.univ-lyon1.fr/home/mizony http://cdnfo.in2p3.fr/~kaplan/RG.html

CHAPITRE2

Lesfondements

2.1.Larelativitérestreinte

x 0= (xct)(2.1.1) y

0=y(2.1.2)

z

0=z(2.1.3)

ct 0= (ctx),(2.1.4) où=u=cet =1=p danslevide.

Observez:

(1)Contractiondeslongueurspar1= (2)Dilatationdesduréespar (4)Loidesvitesses: (2.1.5)v0x=vxu

1vxu=c2

(2.1.6)ds2=(cdt)2dx2dy2dz2 troisdimensionsd'espace. 9

102.LESFONDEMENTS

E=mc2 p1v2=c2(2.1.7) p=mv p1v2=c2(2.1.8)

MondedelaphysiquedesparticulesOK

Exercises

qu'onobservedesmuonsausol.

9:111031kgete=1:601019C.

2.2.Lagravitationuniverselle

M: estundesfoyers. (2.2.1)F=Gmm0 d2; oùG=6:671011Nm2kg2=6:671011m3s2kg1.

F=mgrad;(2.2.2)

=GX im i ri:(2.2.3)

1Onnoteengrasdesvecteur3Dd'espace.

2.2.LAGRAVITATIONUNIVERSELLE11

loisdeKepler. toniennesatisfaitaugroupedeGalilée: x

0=Rx+ut(2.2.4)

t

0=t;(2.2.5)

Exercice:Notiondechamp.Lescalairer=p

x2+y2+z2représenteunchampscalaire. div(r)rr=3 rot(r)rr=0 grad(r)rr=r r r 1 r=rr3 rr r3=4(r): stipulequepourtoutchampscalairef:Z dVrf=Z dSf: imi(rri)est (2.2.6)r2=4G; scalaire.

CHAPITRE3

Larelativitégénérale

3.1.Introduction

lagravitationuniverselle(Eq.2.2.1). m m a

Mach?Cf.ladiscussiondeWeinberg[15]p.86.

13

143.LARELATIVITÉGÉNÉRALE

propreàlaRR. desvitessespetitesdevantc. etdesvitessesquelconques. donnedeuxfoismoins. taientjusquelàinexpliquée. doublePSR1913+16...

Problème:laRGn'estpasquantiable.

trique 1: (3.2.1)d2=ds2=gdxdx=g0dx0dx0 etx0, g respective. (3.2.2)ds2=dd:

3.3.RUDIMENTSD'ANALYSETENSORIELLE15

3.3.Rudimentsd'analysetensorielle

dansunsystème(x0)tellesque: (3.3.1)V0=@x0 @xV; lesigneP3 (3.3.2)p=mdx d; laquadri-force: (3.3.3)f=md2x d2: quelconque? (3.3.4)T0=@x0 @x@x0@xT: sachantque (3.3.5)gg=; utiliselatransformationinverse:U0=@x @x0U.Lesscalaires,0etKroneckersontles

163.LARELATIVITÉGÉNÉRALE

obligéd'introduirelaconnectionafne (3.3.6) dV dx=@V@x+ V; delamétriquegrâceà: (3.3.7) =1

2g@g@x+@g@x@g@x

3.4.Géodésiques

unevitesseconstante: (3.4.1) d2 d2=0: rmerque: (3.4.2) d2x d2+ dxddx d=0; ouencore,entermedevitesseslocalesu: (3.4.3) du d+ uu=0: (3.4.4) @x 2@x@x (3.4.5)g=@ @x@@x: quelconquesdel'espace-temps.

3.5.Tenseurénergie-impulsion

3.6.COURBURE17

(cf.Eq.3.3.2)estp nonpeutformercetenseurainsi: T part(x)X np nvn(xxn);(3.5.1) X nZ dp np n

En4(xxn()):(3.5.2)

(3.5.3) @T part @x=0: F champFauxcourantsJ: (3.5.4) @F @x=J; (3.5.5) @F @x=0; (3.5.6)f=eF dx d: (3.5.7)T EMFF1 4gFF: total: (3.5.8)T tot=T part+T

EM+:::;

(3.5.9) @T tot @x=0:

3.6.Courbure

183.LARELATIVITÉGÉNÉRALE

laconnectionafne(Eq.3.3.7)selon: (3.6.1)R@ @x@ @x+ (3.6.2)RR; (3.6.3)RSgR: (3.6.4) d dxR+ddxR+ddxR=0; (3.6.5) d dx(R12gRS)=0:

3.7.Équationsd'Einstein

desidentitésdeBianchi: (3.7.1)Rg(1

2RS+)=8GT;

10 nelle“effective"variable. l'Univers.

3.8.LIMITENEWTONIENNE19

3.8.LimiteNewtonienne

(3.8.1)g=+h; (3.8.2)R'@ @x@ @x:

Laconnectionafne(Eq.3.3.7)sesimplieen:

(3.8.3) '1

2@h@x+@h@x@h@x

dx d dt d (3.8.4) d2x d2+

00(dtd)2=0:

prendret=).Pourles3autresindices,ona: (3.8.5) d2x dt2=12rh00; carlaconnectionafneserésumeà 00=1

2g@g00@x.Enidentiantl'équationde

(3.8.6)h00=2: 1 (3.8.7)g00= 1+2 c2 contientpasc.

203.LARELATIVITÉGÉNÉRALE

3.9.MétriquedeSchwarzschild

(3.9.1)ds2= 12GM r dt 2 12GMr 1 dr

2r2d2r2sin2d':

tanceR)delamasseMparunangletotalde: (3.9.2)=4MG c2R=1:75"MMRR 1 (3.9.3)'3GM c2

1r++1r

radiansrevolution; secondesd'arcparsiècle.

Onpourraconsulter

http://www.resonancepub.com/gravity.htm 1%.

3.11.REDSHIFTGRAVITATIONNEL21

3.10.Ondesgravitationnelles

(3.10.1)h=0; (3.10.2) @h @x=12@h@x: (3.10.3)=@ @x@@x=r2@2@t2: droitenonnul(16G[T1 (1993,R.HulseetJ.Taylor).

3.11.Redshiftgravitationnel

(3.11.1)dt/1 pg00(r): lage4telque: (3.11.2) 4 =c2:

223.LARELATIVITÉGÉNÉRALE

c22106.Cedécalagesesuperpose parleprinciped'équivalence).

3.12.Conclusions

CHAPITRE4

Cosmologiestandard

nomique). (4.1.1)ds2=dt2R(t)2dr2

1kr2+r2d2+r2sin2d'2

hypothèsed'isotropieoblige. 23

244.COSMOLOGIESTANDARD

x=sincos y=sinsin z=cos;(4.1.2)

1r2+r2d2descrochets.Cen'est

(4.1.3)ds2=dt2R(t)2d2+Sk()2(d2+sin2d'2): (4.1.4)ds2=R(t)2d2d2Sk()2(d2+sin2d'2):

4.2.Géodésiques

libre.Laquadri-vitessesatisfaità: (4.2.1) du0 d+0 uu=0: (4.2.2)0 ij=_R Rgij;

3Dduvecteurvitesseestpardénition:

(4.2.3)j~uj2gijuiuj; etellesatisfaità: (4.2.4)(u0)2j~uj2=1:

L'équation(4.2.1)devientdonc:

(4.2.5) 1 j~ujdj~ujdt=_RR; quiintégréemontreque: (4.2.6)j~uj/1 R: (4.2.7) 2

1=R(t1)R(t2);5.1.1

T (4.3.1)T=2 6 6 4000
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