[PDF] Elemente de matematică aplicate în biologie

View - Download Elemente de matematică aplicate în biologie

Previous PDF

Next PDF

Elemente de matematică

aplicate în biologie Motto

Matematica se bucură de o poziĠie specială în raport cu celelalte tiinĠe pentru că legile ei sunt

absolut certe i indiscutabile (A. Einstein, Geometry and experience, Sidelight on Relativity, Dover Publication, New York, 1983)

Conf. Univ.Dr. Dana Constantinescu

1. Introducere

Argument

Matematica a câtigat i i-a menĠinut o poziĠie excepĠională între tiinĠe pentru că rezultatele sale

sunt obĠinute dintr-un număr mic de axiome (mai mult sau mai puĠin evidente) printr -un lanĠ de

raĠionamente. Deoarece e bazată pe o logică impecabilă, matematica furnizează tiinĠelor naturale

un grad înalt de securitate (i claritate) care altfel nu poate fi atins. Din acest motiv, tratarea

riguros matematică a acestora este de dorit i se realizează ori de câte ori e posibil. Mai mult decât

atât, matematica este un mijloc de comunicare între oameni de tiinĠă i ingineri de diverse

specialităĠi, Ca rezultat, dacă o anumită ramură a tiinĠei este prezentată în formă riguros

matematică, accesibilitatea i audienĠa ei sporete. (I. D. Mayergoyz, Mathematical Models of hysteresis and their applications, Elsevier Science Inc.

New York, 2003)

Dei dezvoltarea biologiei nu a fost influenĠatӽ în mod esenĠial de dezvoltarea matematicii, în

ultimele decenii este recunoscută importanĠa completării studiului descriptiv al unor fenomene sau

mecanisme biologice cu aspecte legate de prelucrearea i interpretarea datelor obĠinute.

Cea mai avansată formă a folosirii matematicii în biologie este biologia matematică. Ea îi propune

modelarea matematică a proceselor biologice i studiul modelelor folosind metode specifice matematicii.

Pentru construirea i validarea modelelor matematice se pot folosi cercetări statistice.

Statistica dezvoltă tehnici i proceduri de înregistrare, descriere, analiză i interpretare a datelor

experimentale sau a rezultatelor obĠinute din observarea unui proces social, economic, biologic etc.,

precum i vizualizarea datelor folosind softuri dedicate acestui scop. Cunoaterea unor elemente i

principii de bază ale statisticii este importantă în momentul actual, permiĠând realizarea unor analize

corecte a datelor i evitarea erorilor de interpretare a acestora. Strâns legată de statistica inferenĠială este

teoria probabilităĠilor, care furnizează metode i tehnici pentru stabilirea unor previziuni (inferenĠe

statistice) referitoare la caracteristicile unei populaĠii pornind de la rezultatele obĠinute din observarea

unui eantion al acesteia.

Biostatistica (combinaĠie de cuvinte între biologie i statistică) este aplicarea statisticii într-un număr

mare de domenii ale biologiei. Biostatistica are drept obiectiv i fundamentarea teoretic ă a proiectării i controlului experimentelor

biologice, mai ales în medicină i agricultură, deoarece ea analizează i interpretează date concrete i

realizează inferenĠe asupra acestora. Se consideră că principalii beneficiari ai biostatisticii sunt

- Sănatatea publică (studiul aspectelor epidemiologe, legate de nutriĠie, corelarea stării de sănătate

i proprietăĠile mediului înconjurător, organizarea serviciilor de studiu al sănătăĠii populaĠiei)

- Ecologia i previziunile ecologice (studiul inflenĠei diverilor factori asupra dinamicii populaĠiilor)

- Statistica genetică (studiază legătura între variaĠiile genotipului i ale fenotipului). Studiul

genetic al populaĠiilor este folosit în agricultură pentru îmbunătăĠirea soiurilor de plante i

animale, iar în genetica umană studiul statistic ajută la identificarea cauzelor care influenĠează

predispoziĠ ia la anumite afecĠiuni) - Analiza secvenĠelor biologice (secvenĠe AND, secvenĠe de peptide...)

In cele ce urmează prezentăm unele aplicaĠii directe ale statisticii matematice i ale teoriei

probabilităĠilor în descrierea unor fenomene simple ce apar în biologie i agricultură. Asocierea celor

două domenii beneficiare ale matematicii nu este întâmplătoare, agricultura fiind în bună măsură biologie

aplicată.

2. AplicaĠii ale statisticii descriptive în biologie i în agricultură

Statistica matematicӽ se ocupӽ cu descrierea i analiza numericӽ a fenomenelor (sociale, economice,

tiinĠifice etc). Statistica opereazӽ cu date care se pot colecta din surse existente sau se pot obĠine prin

observaĠii i studii experimentale.

Datele statistice sunt în fapt observaĠii codificate realizate asupra unei mulĠimi de elemente de

aceeai naturӽ, mulĠime care se numete populaĠie statistic΁. O populaĠie poate fi finitӽ sau infinitӽ.

Numӽrul de elemente al unei populaĠii finite se numete volumul populaĠiei.

Elementele populaĠiei (indivizii) sunt purtӽtoare de informaĠii. Indivizii pot fi persoane (de exemplu

formând populaĠia unei localitӽĠi), agenĠi economici, obiecte (de exemplu mijloacele fixe ale unui agent

economic, piese produse sau comercializate), evenimente (de exemplu operatiuni bancare), opinii (relative la servicii, calitatea unui produs), etc.

Caracteristica populaĠiei este trӽsӽtura comunӽ a elementelor sale care este supusӽ studiului

statistic. In statistica matematicӽ ea este cuantificatӽ prin valori numerice. Deoarece o caracteristicӽ

variazӽ de la individ la individ, ea poate fi consideratӽ ca o funcĠie RPX:, unde P este populaĠia statisticӽ.

O caracteristicӽ poate fi discretӽ (dacӽ valorile sale formeazӽ o mulĠime finitӽ) sau continuӽ (în cazul

când caracteristica poate lua orice valoare realӽ).

De exemplu, caracteristica ce indicӽ numӽrul de piese defecte din fiecare lot este o discretӽ, în

timp ce profitul unei firme sau volumul încasӽrilor pot fi interpretate ca i caracteristici continue.

Un fenomen deosebit de important este cuantificarea fenomenelor sociale, adicӽ transpunerea în

limbaj numeric a caracteristiclor acestor fenomene pentru a înlesni compararea, analiza i sinteza lor,

precum i pentru a face prognoze asupra lor.

Problema cuantificӽrii fenomenelor sociale este o problemӽ de bazӽ a tiinĠelor sociale, în

condiĠiile creterii exigenĠelor faĠӽ de determinӽrile tinĠifice ale acestora. Existӽ fenomene sociale m΁surabile prin natura lor, de exemplu fenomenele demografice, fenomenele economice, diverse fenomene politice sau culturale

Fenomenele sociale m΁surabile cu aproximaĠie se referӽ în special la opiniile i comportamentele

colectivitӽĠilor umane. În acest caz mӽsurarea nu poate fi efectuatӽ decât prin compararea intensitӽĠilor cu

care se manifestӽ acestea la diverse persoane, adicӽ prin realizarea unei scӽri de mӽrimi numitӽ scalogram΁.

Un exemplu de scalogramӽ care reprezintӽ intensitatea opiniilor este cea care conĠine trei niveluri:

cu totul de acord, de acord, nu sunt de acord.

Statistica matematicӽ opereazӽ cu fenome cuantificabile numeric, deci fiecӽrui element al unei

scalograme i se asociazӽ un numӽr.

Demersul statistic are douӽ niveluri: descrierea statisticӽ (statistica descriptivӽ) i inferenĠa

statisticӽ (statistica inferenĠialӽ).

Statistica descriptiv΁ se ocupӽ cu înregistrarea, gruparea, prelucrarea i prezentarea datelor

obĠinute prin investigaĠie i pe aceastӽ bazӽ descrie fenomenul studiat. În studiul statistic descriptiv toate

elementele populaĠiei sunt luate în consideraĠie. Scopul statisticii descriptive este îndepӽrtarea detaliilor

neimportante i focalizarea atenĠiei asupra unor aspecte de interes i anume: - precizarea valorii în jurul cӽreia sunt centrate datele - descrierea împrӽtierea acestora în jurul valorii centrale - vizualizarea datelor cu ajutorul histogramelor - analiza corelaĠiei între fenomene

Statistica inferenĠial΁ are ca obiect de studiu investigarea prin sondaj: din întreaga populaĠie se

selecteazӽ un eantion reprezentativ asupra cӽruia se fac mӽsurӽtori sau observaĠii legate de o

anumitӽ caracteristicӽ a populaĠiei. Pe baza rezultatelor obĠinute se fac inferenĠe statistice (adicӽ se

formuleazӽ concluzii) asupra parametrilor populaĠiei. Statistica inferenĠialӽ folosete deci informaĠia

rezultatӽ din studierea unui eantion pentru a obĠine concluzii referitoare la întraga populaĠie din care

a fost selectat eantionul. Aceste concluzii nu sunt de tip determinist ci se obĠin folosind metode i

tehnici ale teoriei probabilitӽĠilor, teorie ce conĠine mecanisme de mӽsurare i analizӽ a incertitudinii

legate de evenimentele viitoare. Aceastӽ incertitudine este exprimatӽ cu ajutorul nivelelor de

încredere.

In realizarea unei cercetӽri statistice se parcurg de obicei urmatoarele etape:

- colectarea datelor care se realizeazӽ prin metode specifice obiectivului i condiĠiilor cercetӽrii. In

funcĠie de tipul de analizӽ folosit (descriptivӽ sau inferenĠialӽ) se folosete întreaga populaĠiei sau

doar un eantion. - procesarea datelor înseamnӽ cuantificarea lor numericӽ i obĠinerea seriilor de date.

- analiza datelor se realizeazӽ prin metode i tehnici specifice statisticii matematice. Aceastӽ etapӽ

necesitӽ o cunotere profundӽ a filosofiei ce stӽ în spatele fiecӽrei metode deoarece este posibil sӽ se

obĠinӽ rezultate nesemnificative statistic atunci când ipotezele de lucru sau condiĠiile de aplicare a

metodelor nu sunt îndeplinite.

-interpretarea rezultatelor este diferitӽ în statistica descriptivӽ i în cea inferenĠialӽ. In primul caz se

obĠin informaĠii concrete i clare despre populaĠia studiatӽ, în al doilea caz validarea rezultatelor

obĠinute este realizatӽ prin compararea cu ce se tia sau se bӽnuia în domeniul respective. In unele

situaĠii analiza statisticӽ dezvӽluie corelaĠii între fenomene, legӽturi care ar fi fost greu sau chiar

imposibil de observat fӽrӽ eficientul mecanism statistico-matematic.

In momentul de fatӽ existӽ o vastӽ informaĠie statisticӽ la nivel global, datoratӽ în principal

dezvoltӽrii continue a tehnologiei calculatoarelor. Realizarea i folosirea corectӽ a bazelor de date

reprezintӽ o preocupare importantӽ în mediul economic si nu numai. Soft-urile statistice joacӽ un rol

important în analiza datelor. Ele îmbinӽ proceduri statistice clasice i moderne cu tehnici de graficӽ

interactivӽ. Multe soft-uri au douӽ versiuni: una profesionalӽ i una academicӽ. Literatura de

specialitate califica drept foarte performante, printer altele, urmӽtoarele pachete de programe: - S-PLUS (http://www.insightful.com/products/splus/ - XploRe (http://www.xploretech.com/index.pl - Statistica (http://www.statsoft.com/ - SPSS (http://www.spss.com/

2.1. Serii de date i distribuĠii de frecvenĠe

Considerӽm o populaĠie statisticӽ P finitӽ de volum N pentru care o caracteristicӽ C este codificatӽ de

valorile numerice N xxx,...,, 21
, nu neapӽrat diferite.

Sirul finit de numere se noteazӽ

N xxxX,....,,: 21
i se numete serie de date.

Exemplu:

2,0,0,1,0:X este o serie de date care poate fi interpretatӽ o funcĠie }2,1,0{},,,,{:edcbaX

, unde

0aX, 1bX, 0cX, 0dX, 2eX.

In acest caz populaĠia este

},,,,{edcbaP. Deoarece identitatea indivizilor din populaĠie nu este interesantӽ din punct de vedere statistic, aceasta este neglijatӽ în etapele urmӽtoare.

DefiniĠie: DistribuĠia de frecvenĠe (sau variabila statisticӽ) asociatӽ caracteristicii C a populaĠiei P

de volum N este kk nnnnxxxxX

321321

unde },...,2,1{,kjx j sunt valorile diferite înregistrate pentru caracteristica C iar },...2,1{,kjn j reprezintӽ numӽrul indivizilor populaĠiei caracterizaĠi de valoarea j x.

Numӽrul

j nse numete frecvenĠa absolutӽ de apariĠie a valorii j x. ObservaĠii: 1. Din definiĠia frecvenĠelor relative rezultӽ cӽ Nnnnn kk j j 21
1

2. Unei caracteristici i se poate asocia i distribuĠia frecvenĠelor relative

NnfffffxxxxX

j j kk r

321321

În acest caz

k j j f 1

1. FrecvenĠa relativӽ

j f poate fi interpretatӽ ca fiind probabilitatea ca valoarea j

xsӽ fie luatӽ de caracteristica C, iar distribuĠia frecvenĠelor relative este în fapt o variabilӽ aleatoare.

Exemplu: Pentru seria de date

2,3,3,2,5,2,1,0:X

distribuĠia de frecvenĠe este

1231153210X

iar cea a frecvenĠelor relative este

8/18/28/38/18/153210

r X

2.2. Reprezentări grafice

Graficul corespunzӽtor unei serii statistice se numete diagramӽ. Cazul seriilor pentru care caracteristica este mӽsuratӽ cantitativ (i exprimatӽ prin numere reale) se

întâlnesc în mod current

urmӽtoarele reprezentӽri grafice: - reprezentarea cu segmente vericale: - histograma cu bare - poligonul frecvenĠelor - reprezentarea cu sectoare circulare

a) Reprezentarea cu segmente verticale (histograma cu segmente) se folosete pentru serii cu un numӽr

redus de date, de obicei numere întregi.

Pentru distribuĠia de frecvenĠe

kk r nnnnxxxxX

321321

, histograma cu segmente, sau reprezentarea cu segmente, este familia de segmente verticale ce unesc punctele de coordonate 0, i x i ii nx, unde },...,2,1{ki

Exemplu: Pentru

1342354231

Xreprezentarea cu segmente verticale este prezentată în figura 2.1.

Figura 2.1. Histograma cu segmente

b) Histograma cu bare se folosete pentru seriile cu un numӽr mare de date ce nu sunt neapӽrat numere întregi. Ea se realizeazӽ astfel: - se determina valoarea minimӽ, min xi valoarea maximӽ max x a seriei de date - se divide segmentul ],[ maxmin xx prin puncte echidistante cu pasul nxxh minmax , unde n este numӽrul de intervale ales de analistul seriei. Punctele de diviziune sunt hjxx j min , unde },...,2,1,0{nj - se calculeazӽ câte valori ale seriei aparĠin fiecărui interval 1 jjj xxI. Acest număr, notat j n, se numete frecvenĠa clasei j I. - Deasupra fiecărui interval j

I se trasează un dreptunghi cu baza

j

I i înălĠimea proporĠională cu

j n. Pentru determinarea înăltimii dreptunghiului se poate folosi formula NhnH j j

Obiecul grafic rezultat din alăturarea acestor dreptunghiuri se numete histograma cu bare a seriei de

date sau histograma distribuĠiei de frecvenĠe, pentru că ilustrează modul în care sunt distribuite datele.

Un exemplu de histogramă cu bare este dat in Figura 2.2.

Figura 1.2. Histograma cu bare

O problemă legată de generarea histogramelor este legată de precizarea numărului de intervale de

diviziune. In perioada de început a statisticii computaĠionale numărul de intervale era proporĠional cu

N. In unele programme statistice el este ales proporĠional cu N 2 log. Cea mai bună idée este să generăm histograme corespunzătoare mai multor numere de intervale i să le comparăm.

c) Poligonul frecventelor se obĠine unind vârfurile segmentelor verticale în cazul reprezentării cu

segmente. In cazul reprezentării din Figura 2.1, poligonul de frecvenĠe,

EDCBA,,,, este dat în figura

2.3.

Figura 2.3. Poligon de frecvenĠe

d) Reprezentarea cu sectoare circulare este folosită pentru obĠinerea rapidă a unei viziuni globale

asupra importanĠei relative a diverselor clase ale statisticii, interpretarea lor fiind uurată de colorarea

diferită a diverselor clase. In general această reprezentare este folosită pentru seriile cu un număr mic

de clase.

Reprezentarea se realizează astfel:

- se determină clasele seriei i numărul de valori ale seriei din fiecare clasă (frecvenĠele absolute ale

claselor)

- pe un cerc se consideră sectoare circulare proporĠionale cu frecvenĠele fiecărei clase. Unghiul la

centru corespunzător clasei cu frecvenĠa absolută j n este Nn j j 360

e) Reprezentarea polară se folosete atunci când caracteristica statistică prezintă o anumită

periodicitate. De exemplu date inregistrate calendaristic (numarul de nasteri inregistrate în fiecare

lună) sau date referitoare la aspecte geografice (intensitatea vântului ce bate din anumite direcĠii).

Ea se construiete astfel: pe semidrepte cu aceeai origine i care impart planul într-un număr de

sectoare egale (acest număr se stabilete în funcĠie de caracterul seriei statistice) se consideră

segmente ce pornesc din origine, proporĠionale cu frecvenĠele absolute ale claselor i se unesc

extremităĠile acestoe segmente. Se obĠine un poligon închis în care clasele cu frecvenĠă mai mare sunt

reprezentate prin vârfuri aflate la distanĠă mai mare faĠă de origine.

2.3. Indicatori statistici

2.3.1. Indicatori de poziĠie (de nivel, de localizare)

a) media aritmeticӽ

Nnxnxnxx

kk 2211

Media aritmetică este sensibilă faĠă de valorile extreme ale seriei, ea devenind nereprezentativă dacă

termenii seriei sunt foarte împrăstiaĠi. Omogenitatea colectivităĠii este o condiĠie a reprezentativităĠii,

pentru orice tip de mărime medie. b) media armonicӽ kk arm xn xn xnNx 22
11

Media armonică este influenĠată de prezenĠa valorilor individuale mici i de frecvenĠa acestora.

Media armonică se utilizează pentru exprimarea tendinĠei centrale în funcĠie de scopul cercetării i

mai ales în funcĠie de natura obiectivă dintre valorile variabilei numerice observate.

In economie este folositӽ la calculul productivitӽĠii, pentru calculul indicelui (sintetic) al preĠurilor

mărfurilor i tarifelor serviciilor (care sintetizează indicii individuali ai acestor preĠuri i tarife).

c) media geometricӽ Nn knn gk xxxx.... 21
21

Media geometrică este folosită mai rar ca indicator statistic, îndeosebi când termenii prezintă o

evidentă concentrare către valorile cele mai mici sau când se urmărete să se acorde o importanĠă

deosebită valorilor individuale reduse.

Dacă cel puĠin o valoare individuală este nulă sau negativă, calculul mediei geometrice este lipsit de

sens. Ea nu poate fi folosită dacă în cadrul seriei există cel puĠin un termen negativ, deoarece expresia

devine imaginară.

Media geometrică mai este denumită i medie de ritm, fiind folosită pentru calculul ritmului mediu de

crestere. Un exemplu de folosire a mediei geometrice ca indicator statistic este dat în exemplul următor:

Exemplu O colonie de microorganisme a fost studiată pe parcursul a două zile. S-a constatat ca masa

sa iniĠială era 10 g, după o zi era 20 g iagr a treia zi era 160 . Să se calculeze ritmul mediu de cretere al

coloniei.

Masa coloniei s-a dublat în prima zi i s-a multiplicat de 8 ori în a doua zi. Dacă se calculează rapid

media aritmetică se constată că, în medie, ritmul de cretere este 282
= 5.

Acest rezultat în mod evident este incorect deoarece, în acest caz după o zi colonia ar avea ,

g50510, iar după două zile ar avea g250550, ceea ce nu este adevărat

Dimpotrivă, dacă indicele mediu de dinamică se determină ca media geometrică a dinamicilor

individuale se obĠine următoarea valoare: 482
g x. Acesta este un rezultat mult mai corect decât cel anterior deoarece pornind de la 10 g colonia ar avea g40410 după prima zi (ceea ce nu e adevărat) i

g160440după a doua zi. Acest rezultat verifică datele problemei, deci ritmul mediu de cretere este

egal cu media geometrică a ritmurilor intermediare de cretere, adică este 4. d) mediana seriei de date N xxxX,....,,: 21
cu termenii ordonaĠi crescӽtor este numӽrul paresteNdacaxximparesteNdacax me NNN 2

2/12/21

Mediana este o valoare ce caracterizeazӽ "centrul" seriei de date. În cazul când N este par mediana nu

este obligatoriu valoare a seriei de date.

Are proprietatea cӽ suma frecvenĠelor valorilor mai mici ca me este egalӽ cu suma frecvenĠelor mai

mari ca me.

Este utilizatӽ în studiul fertilitӽĠii, mortalitӽĠii, determinarea duratei de viaĠӽ.

e) modul (moda su dominanta) este valoarea cu cea mai mare frecvenĠӽ de apariĠie (care este la

modӽ). Existӽ repartiĠii unimodale (cu un singur mod), bimodale (cu douӽ moduri) etc.

Valoare modală este influenĠată de mărimea valorilor din centrul seriei (la distribuĠiile unimodale) sau din

centrul îngrămădirii de observaĠii (la distribuĠiile plurimodale). Celelalte valori nu au nici o influenĠă

asupra ei.

DistribuĠiile bimodale (cu două frecvenĠe maxime) reprezintă o situaĠie rar întâlnită, care impune

separarea unităĠilor colectivităĠii în două distribuĠii de frecvenĠe.

2.3.2. Indicatorii variaĠiei (împr΁tierii)

Indicatorii tendinĠei centrale nu dau nici o explicaĠie asupra împrăstierii, respectiv a modului în care termenii

seriei se abat între ei sau de la medie. Astfel, apare necesitatea calculării unor noi indicatori care rezolvă:

- verificarea reprezentativităĠii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuĠie; - verificarea gradului de omogenitate al seriei; - verificarea sistematizării informaĠiilor prin gruparea statistică; - caracterizarea gradului si formei de variaĠie a unei variabile statistice.

Aceti indicatori care dau o caracterizare precisă a unei serii statistice prin care se poate cunoate

variaĠia

valorilor individuale (cum se grupează aceste valori în jurul valorii medii, dacă sunt apropiate sau îndepărtate de

această valoare), se numesc indicatorii variaĠiei. Ei sunt:

a) amplitudinea este diferenĠa dintre cea mai mare i cea mai micӽ valoare a seriei de date ( sau a

distribuĠiei de frecvenĠe) b) abaterea medie absolutӽ k i iiX xxnNe 1 1 c) varianĠa (dispersia) N i i xxNs 12 2 1 d) abaterea medie pӽtraticӽ (standard) N i i xxNs 12 1 PropoziĠie Dispersia i abaterea medie pӽtraticӽ ale unei distribuĠii de frecvenĠe kk nnnnxxxxX......

321321

, unde Nn k i i 1 se calculeazӽ folosind formulele 2 112
2 Nnx Nnx s k i iik i ii , respectiv 2 112
Nnx Nnx s k i iik i ii

Dispersia este un indice de variaĠie ce dă indicaĠii privind împrătierea valorilor seriei în jurul

valorii medii. Cu cât este mai mică dispersia, cu atât valorile seriei statistice se grupează mai mult în

jurul valorii medii. In acest caz media este un indicator statistic relevant pentru studiul seriei. O

dispersie mare arată că elementele eantionului au o împrătiere mare i valoarea medie nu dă

informaĠii relevante despre serie.

Dispersia este influenĠată de mărimea valorilor din seria de date. Dacă valorile sunt mari, dispersia

poate fi si ea mare, dar cazul seriilor de date cu valori mici dispersia poate avea valori mici chiar

dacă datele nu sunt grupate în jurul mediei. De aceea, pentru studiul împrătierii se folosete

coeficientul de variaĠie care nu este influenĠat în mod esenĠial de mărimea termenilor seriei de date.

e) coeficientul de variaĠie xsCV Coeficientul de variaĠie are valori cuprinse în intervalul ]1,0[. El este cel mai sintetic indicator al

împrătierii.

Cu cât coeficientul de variaĠie e mai aproape de 0, cu atât seria este mai omogenӽ i media este mai

reprezentativӽ. Dacӽ este mai apropiat de 1, împrӽtierea valorilor este mare i media nu este un

indicator reprezentativ.

Practica utilizării coeficientului de variaĠie a stabilit pragul de trecere de la starea de omogenitate la

cea de eterogenitate: În literatura de specialitate se avansează nivelul de 35 - 40 % ca limită maximă

admisibilă pentru coeficientul de variaĠie.

Dacă

35.0CV, populaĠia este omogenă i media este un indicator relevant.

DacĆ 35.0CV, populaĦia este eterogenĆ i media nu este un indicator relevant In analizele financiare coeficientul de variaĠie este o mӽsurӽ a riscului relativ.

Exemple

1 Cantitatea de deeuri organice produse la o ferma în decursul a 100 zile consecutive a fost

înregistrată în tabelul de mai jos

Cantitatea de deeuri

produse zilnic i x" Numarul de zile în care s-a produs cantitatea de deeuri i n FrecvenĠa relativă 100/
i n 0 5quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] biologie tout le cours en fiches pdf

[PDF] biologie vegetala si animala variante rezolvate

[PDF] biologie végetale

[PDF] biologie végétale cours 1ere année biologie

[PDF] biologie végétale cours l1

[PDF] biologie vegetale cours pdf

[PDF] biologie végétale raven pdf

[PDF] biomaster

[PDF] biomaster traitement des graisses

[PDF] biomedical de dschang

[PDF] biométrique definition

[PDF] bionettoyage en 3 temps

[PDF] bionettoyage en ehpad

[PDF] bionettoyage en milieu hospitalier

[PDF] biophysique paces fiches