[PDF] Analyse Factorielle des TABLE Correspondances (AFC)

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1Analyse F actorielledes Correspondances (AFC)

Analyse Factorielle des

Correspondances (AFC)

Résumé

Méthode factorielle de réduction de dimension pour l"exploration statistique d"une table de contingence définie par deux variables qualitatives. Définition à partir de l" analyse en composantes prin- cipales des pr ofils.Définition du modèle statistique associé, esti- mation. Représentation graphique simultanée des modalités des va- riables. Travaux pratiquesde complexité croissante par l"études de données

élémentaires

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plan du cour s

1 Introduction

1.1 Données

On considère dans cette vignette deux variables qualitatives observées si- multanément surnindividus affectés de poids identiques1=n. On suppose que la première variable, notéeX, possèdermodalités notéesx1;:::;x`;:::;xr, et que la seconde, notéeY, possèdecmodalités notéesy1;:::;yh;:::;yc. La table de contingence associée à ces observations, de dimensionrc, est notéeT; son élément générique estn`h, effectif conjoint. Elle se présente sous la forme suivante d"une table de contingence présentée dans le Tableau 1

1.2 Notations

Les quantitésfn`+=Pc

h=1n`h;`= 1;:::;rgetfn+h=Pr `=1n`h;h=

1;:::;cgsont leseffectifs marginauxvérifiantPr

`=1n`+=Pc h=1n+h=n.

De façon analogue, on définit les notions defréquences conjointes(f`h=TABLE1 -Table de contingencey

1y hy csommes x 1n 11n 1hn 1cn 1+. ..x `n `1n `hn `cn ..x rn r1n rhn rcn r+sommesn +1n +hn +cn n `h=n) et defréquences marginalesrangées dans les vecteurs : g r= [f1+;:::;fr+]0; etgc= [f+1;:::;f+c]0:

Elles permettent de définir les matrices :

D r=diag(f1+;:::;fr+); etDc=diag(f+1;:::;f+c): On sera également amené à considérer les profils-lignes et les profils- colonnes déduits deT. Le`-ième profil-ligne est f n`1n `+;:::;n`hn `+;:::;n`cn `+g: Il est considéré comme un vecteur deRcet lesrvecteurs ainsi définis sont disposés en colonnes dans la matricecr A=1n

T0D1r:

De même, leh-ième profil-colonne est

f n1hn +h;:::;n`hn +h;:::;nrhn +hg;

2Analyse F actorielledes Correspondances (AFC)

vecteur deRr, et la matricercdes profils-colonnes est B=1n TD1c:

1.3 Liaison entre deux variables qualitatives

DÉFINITION1. - On dit que deux variablesXetYsontnon liéesrelative- ment àTsi et seulement si :

8(`;h)2 f1;:::;rg f1;:::;cg:n`h=n`+n+hn

Il est équivalent de dire que tous les profils-lignes sont égaux, ou encore que tous les profils-colonnes sont égaux. Cette notion est cohérente avec celle d"indépendance en probabilités. En effet, soit =f1;:::;ngl"ensemble des individus observés et( ;P( );P) l"espace probabilisé associé oùPest l"équiprobabilité;MX=fx1;:::;xrg par les variablesXetY. On noteeXeteYles variables aléatoires associées aux

2 variables statistiquesXetY:

e X: ( ;P( );P)7!(MX;P(MX)); e Y: ( ;P( );P)7!(MY;P(MY)) ; P

X,PYetPXYdésignent respectivement les probabilités images définies pareX;eYet le couple(eX;eY)sur(MX;P(MX));(MY;P(MY))et(MX

M Y;P(MX)P(MY)); ce sont les probabilités empiriques. Alors,XetY sontnon liéessi et seulement sieXeteYsontindépendantes en probabilité(la vérification est immédiate). On suppose maintenant qu"il existe une liaison entreXetYque l"on sou- haite étudier. La représentation graphique des profils-lignes ou des profils- colonnes, au moyen de diagrammes en barres parallèles, ainsi que le calcul de coefficients de liaison (Cramer ou Tschuprow) donnent une première idée de la variation conjointe des deux variables. Le test du2permet de plus de s"assurer du caractère significatif de cette liaison. Il est construit de la manière suivante :

l"hypothèse nulle estH0:eXeteYsont indépendantes en probabilités;l"hypothèse alternative estH1: les variableseXeteYne sont pas indépen-

dantes.

La statistique de test est alors

2=rX `=1c X h=1 n`hn`+n+hn 2n `+n+hn elle suit asymptotiquement (pour les grandes valeurs den), et si l"hypothèse (et l"on conclut au caractère significatif de la liaison) si2dépasse une valeur particulière (valeur ayant une probabilité faible et fixée a priori - en général

0,05 -être dépassée par une loi de2à(r1)(c1)degrés de liberté).

1.4 Objectifs

Pour préciser la liaison existant entre les variablesXetY, on souhaite dé- finir un modèle statistique susceptible de fournir des paramètres dont la repré- sentation graphique (de type biplot) illustrera les "correspondances" entre les modalités de ces 2 variables. Cette approche sera développée au paragraphe 3. Une autre approche, très courante dans la littérature francophone, consiste à définir l"Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) comme étant le résultat d"une double Analyse en Composantes Principales l"ACP des profils-lignes, l"ACP des profils-colonnes, relativement à la métrique dite du2. Cette approche est présentée au para- graphe 2.

Remarque. -:

1. T outestructure d"ordre e xistantév entuellementsur les modalités de Xou deYest ignorée par l"AFC 2. T outindi viduprésente une modalité et une seule de chaque v ariable. 3. Chaque modalité doit a voirété observée au moins une fois ;sinon, elle est supprimée.

2 Double ACP

3Analyse F actorielledes Correspondances (AFC)

2.1 Métriques du Chi2

Les correspondances entre modalités évoquées au paragraphe précédant se trouvent exprimées en termes de distances au sens d"une certaine métrique. Ainsi, chaque modalitéx`deXest caractérisée par son profil-ligne représenté par le vecteura`de l"espaceRcmuni de la base canonique (les coordonnées de a `sont les éléments de la`-ième colonne deA). De même, chaque modalité yquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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