Intersection (mathématiques) : définition de Intersection PDF

DROITES ET PLANS DE LESPACE

On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée. Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants. Si une droite d1 de P1 est parallèle à une

Droites et plans dans lespace

Étudier l'intersection des deux droites (d) et (d') si elle existe. Sont-elles perpendiculaires ? Dans l'espace

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles. Méthode : Tracer l'intersection de deux plans. Vidéo https://youtu.be/4y00KbuCpsc.

1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

Méthode 11 : Montrer que deux droites sont strictement parallèles Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans.

GEOMETRIE DANS LESPACE

Mar 21 2021 Deux droites de l'espace peuvent être coplanaires c'est-à-dire appartenir ... Remarquez ici que l'intersection de deux plans est une droite.

Représentation paramétrique de droites de plans Applications

1.2 Intersection de deux droites. Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l'Espace sont rappelées dans le tableau 1.

Vecteurs droites et plans de lespace

1.1 Extension de la notion de vecteur à l'espace 2.3 Positions relatives de deux droites . ... Intersection avec deux plans parallèles .

KIFFELESMATHS

Propriété : Deux droites sont orthogonales si et seulement si

GÉOMÉTRIE DE LESPACE 4e

10. L'angle de deux plans sécants est l'angle des deux droites d'intersection de ces plans avec un plan perpendiculaire à leur droite commune

Droites et plans de lEspace Calcul vectoriel dans lEspace

2 VECTEURS DE L'ESPACE. Figure 3 – Intersection avec deux plans parallèles. Figure 4 – Théorème du toit. Exercices : 1 2

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE - maths et tiques

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE I Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires d 1 et d 2 sont coplanaires d 1 et d 2 sont sécantes d 1 et d 2 sont parallèles d 1 et d 2 sont strictement parallèles d 1 et

Intersection (mathématiques) : définition de Intersection

3) Positions relatives de deux droites Soient a et b deux droites de l’espace On a quatre possibilités concernant l’intersection des deux droites : •••• a b a b? = = : les deux droites sont confondues •••• a b I? ={}: les deux droites sont sécantes en I (elles se coupent au point I)

Fiche 8 : Droites et plans dans l’espace - Studyrama

Méthode : « Passer de la caractérisation d’une droite par un système de deux équations à une représentation paramétrique » fiche exercices n°8 « Droites et plans dans l’espace »

fiche méthode intersection dans l'espace

Fiche méthode : intersection dans l’espace Intersection de deux plans Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux plans Placer le point d’intersection Recommencer avec deux autres droites On obtient un deuxième point d’intersection

Geom´ etrie dans l’espace´ - Mathoutils

le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans (ABC) et (IJK) Puisque la droite (IK) est dans le plan (IJK) et la droite (AB) est dans le plan (ABC) le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans (ABC) et (IJK)

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Dans l’espace deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles ou confondues ou sécantes) • Non coplanaires Définition et propriété : Deux droites (d) et (d’) de l’espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs u! et u! 'sont orthogonaux u! u! ('=0)

Quelle est la différence entre une droite et une intersection?

Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite. Dans l'espace, deux droites sont non coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .

Où se situe un point d'intersection ?

Le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où les droites se coupent. Une méthode de répondre à cette question consiste à tracer les deux droites. On commence par tracer la représentation graphique de la droite d’équation ???? = 7.

Quelle est la différence entre une droite et un espace?

Si deux droites sont parallèles mais distinctes, elles n'ont pas de point commun ; leur intersection est vide : Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite. Dans l'espace, deux droites sont non coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .

Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?

Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.

IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 1 -

CHAPITRE II

GEOMETRIE DANS L"ESPACE

COURS

1) Définitions, notations et premières propriétés

· Les points dans l"espace sont notés, comme ceux du plan, par des lettres majuscules :

A, B, C, ....

· Les

droites dans l"espace sont notées, comme celles du plan, par des lettres minuscules : d, a, b, ..... · Par deux points distincts A et B de l"espace il passe exactement une droite qu"on note ()AB. On définit de même le segment de droite []AB d"extrémités A et B et la demi- droite [)AB d"origine A passant par B. La distance entre les points A et B sera notée

AB, comme dans le plan.

· On dit que plusieurs points A, B, C, D.... sont alignés s"il existe une droite qui passe par tous ces points.

· Les

plans dans l"espace sont notés par des lettres grecques minuscules : , , , ....p a b Pour représenter un plan " en perspective » on dessine (à main levée) une sorte de parallélogramme : · Par trois points non alignés A, B, C de l"espace il passe exactement un plan qu"on peut noter ()ABC. · On dit que plusieurs points A, B, C, D.... sont coplanaires s"il existe un plan qui passe par tous ces points. (trois points sont toujours coplanaires !) IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 2 -

· Quatre points non coplanaires forment les sommets d"un corps appelé tétraèdre (tétra

veut dire quatre en grec, èdre vient d"un mot grec signifiant face) : ce corps a 4 faces triangulaires et 6 arêtes. On peut dire aussi que c"est une pyramide à base triangulaire.

· Un

tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 6 arêtes ont la même longueur ou, ce qui

revient au même, dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux.

2) Positions relatives de deux plans

Soient 1p et 2p deux plans de l"espace. On a trois possibilités :

1 2 1 2p Çp = p = p : les deux plans sont confondus

··· 1 2

p Çp =AE : les deux plans sont strictement parallèles

··· 1 2

dp Çp = (où d est une droite !) : les deux plans sont sécants : IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 3 -Remarques o Comme pour les droites dans le plan, on dit que deux plans 1p et 2p sont parallèles et on note

1 2p p? si et seulement si ils sont confondus ou strictement parallèles.

o Si deux plans forment un angle de 90° on dit qu"ils sont perpendiculaires et on note :

1 2p ^ p

o Le terme " sécant » vient du latin " secare » qui veut dire " couper ». Voici d"autres termes mathématiques ayant la même étymologie : bissectrice, intersection, segment.

3) Positions relatives de deux droites

Soient a et b deux droites de l"espace. On a quatre possibilités concernant l"intersection des deux droites : a b a bÇ = = : les deux droites sont confondues. {}a b IÇ = : les deux droites sont sécantes en I (elles se coupent au point I). a bÇ = AE et a et b sont coplanaires : on dit que a et b sont strictement parallèles. IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 4 - ···· a bÇ = AE et a et b ne sont pas coplanaires : on dit que a et b sont gauches.

Remarques

o Si a et b sont confondues ou strictement parallèles on dit qu"elles sont parallèles et on note a b?. o Deux droites sécantes ou parallèles sont toujours coplanaires. o Dire que deux droites sont gauches revient à dire qu"elles ne sont pas coplanaires. o Si a et b sont sécantes et forment un angle de 90° (angle droit) on dit que a et b sont perpendiculaires et on note a b^. o Si a et b sont deux droites gauches et s"il existe une droite c perpendiculaire à a et parallèle à b ( c b et c a^?) on dit que a et b sont orthogonales et on note a b^. o La notion " d"orthogonalité » est donc un peu plus générale que celle de

" perpendicularité » : l"idée étant que deux droites non sécantes peuvent avoir des

directions perpendiculaires » . On a la même notation pour les deux notions parce qu"il n"y a pas de confusion à craindre. IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 5 -4) Positions relatives d"une droite et d"un plan Soient d une droite et p un plan de l"espace. On a trois possibilités : aÌ p : la droite a est " dans » le plan p. {}a IÇp = : on dit que a et p sont sécants en I ou que a " perce » le plan p au point I aÇp =AE : on dit que a est strictement parallèle à p

Remarques

o Si a et p sont sécants et forment un angle de 90° on dit qu"ils sont perpendiculaires (ou orthogonaux) et on note : a^ p. On peut montrer que : a a est orthogonale à toute droite inclu se dans ^ p Ûp o Si a est dans p ou strictement parallèle à p on dit que qu"ils sont parallèles et on note ap?.

Exemples

Soit un cube de sommets A, B, C, D, E, F, G et H : o Droites parallèles : ()()()AB EF DC? ? ?... ()EB?... ()HF?... IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 6 - o Droites gauches : ()EF et... ()BH et... ()AC et... o Droites perpendiculaires : ()AB^... ()EG^... ()FC^... o Droites orthogonales (pas perpendiculaires) : ()AB^... ()EG^... ()FC^... o Plans parallèles : ()ABC?... ()GFC?... o Plans perpendiculaires : ()ABC^... ()ECG^... ()EDF^... o Droites parallèles à un plan : ()AB?... ()FC?... o Droites perpendiculaires à un plan : ()AB^... ()FC^...

5) Propriétés

Les propriétés suivantes sont intuitivement évidentes, elles sont donc données sans

démonstration. a) Soient un point A et une droite d, alors combien y a-t-il de droites ou de plans passant par A et parallèles ou orthogonales à d ? · Il existe une seule droite d" telle que A d"Î et d d"?. Si A dÎ il existe une infinité de droites passant par A et perpendiculaires à d. Il existe une infinité de droites passant par A et orthogonales à d. Il existe une infinité de plans passant par A et parallèles à d. Il existe un seul plan passant par A et perpendiculaire à d. passant par A et parallèles ou orthogonales à a ? · Il existe une infinité de droites passant par A et parallèles à a. Il existe une seule droite d" telle que A d"Î et d"^ a. IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 7 - · Il existe un seul plan passant par A et parallèle à a.

· Il existe une infinité

de plans passant par A et perpendiculaires à a. c) Soient les droites d, d", a, b et trois plans , , a b g, alors : · d deux droites sécantes a et b de tel que a d et b d^ a Û $ a ^ ^ d d" (orthogonales) d et d"^ Û $a Ì a ^ a

En posant d= aÇb, a= aÇg et b=bÇg on a :

d a ba ^b Û "g ^ ^

Exercices 1 - 6

IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 8 -6) Projections orthogonales et distances a) Projections orthogonales sur un plan · Soient un point A et un plan a : il existe une seule droite a telle que A aÎ et a^ a. Le point d"intersection A" de a et de a est appelé projection orthogonale de A sur a et on note : ()A" p Aa=. ()A p A AaÎa Û = Soient d une droite et a un plan, alors on appelle projection de d sur a l"ensemble défini par : ()(){}p d p M / M da a= Î o Si d^ a alors (){}p d Ia= où I dÎ Ça

En effet pour tout

M dÎ ()MI^ a donc ()p M Ia=

o Si d^a alors ()p d d"a= où d" est une droite de a. En effet si A et B sont deux points différents de d, alors leurs projections

A" et B" sont différentes puisque

()AB^a, donc ()()p d A"B"a= IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 9 - · Soit ()A" p Aa= et MÎa avec M A"¹. Si A A"¹ le triangle ()AA"MD est rectangle en A" donc

AM AA"> et si A A"= AA" 0= donc AM AA" 0> =. Dans

le cas où

M A"= on a AM AA"=. Ainsi :

M AA" AM" Îa £

En d"autres termes AA" est la plus petite distance de A à un point de a : on dit que c"est la distance de A au plan a et on note Aa b) Projections orthogonales sur une droite · Soit un point A et une droite d : il existe un seul plan a tel que AÎa et d^ a. Le point d"intersection A" de d et de a est appelé projection orthogonale de A sur d et on note : ()dA" p A=. ()dA d p A AÎ Û = ()dM p M A"" Îa = Soient a et d deux droites, alors on appelle projection de a sur d l"ensemble défini par : ()(){}d dp a p M / M a= Î o Si a d^ (orthogonale) alors il existe un plan a contenant a et perpendiculaire à d qui coupe d en un point I. Par conséquent pour tout MÎa (donc en particulier pour tout M aÎ) on a ()dp M I= donc (){}dp a I=. IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 10 - o Si a^d alors tout plan perpendiculaire à d coupe a en un seul point, par conséquent chaque point de a a une projection différente sur d donc ()dp a d=. · Soit ()dA" p A= et M dÎ avec M A"¹. Si A A"¹ le triangle ()AA"MD est rectangle en A" donc

AM AA"> et si A A"= AA" 0= donc AM AA" 0> =. Dans

le cas où

M A"= on a AM AA"=. Ainsi :

M d AA" AM" Î £

En d"autres termes AA" est la plus petite distance de A à un point de d : on dit que c"est la distance de A à la droite d et on note Ad

7) Plan médiateur d"un segment

· Rappel

La médiatrice d"un segment []AB dans un plan est la droite m qui passe par le milieu I du segment et qui est perpendiculaire à ()AB. On montre que m est en fait le lieu des points P du plan qui sont équidistants de A et B, c"est-à-dire que pour tout point P du plan on a :

P m PA PBÎ Û =

Si A et B sont deux points de l"espace il existe une infinité de droites passant par le milieu I de []AB et qui sont perpendiculaires à ()AB : ce sont toutes les droites passant par I et contenues dans le plan m passant par I et perpendiculaire à ()AB. Ce plan est appelé plan médiateur du segment []AB IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 11 -

· Soit

PÎm, alors ()()AB PI^ (car ()AB^ m) donc dans le plan ()ABP ()PI est la médiatrice de []AB et par conséquent PA PB=. Réciproquement supposons que P est un point équidistant de A et de B. Si ()P ABÎ alors []AB donc ()()AB PI^ et par conséquent on a encore PÎm. Nous venons de démontrer la propriété caractéristique du plan médiateur de []AB :

P PA PBÎm Û =

Exercices 7 - 23

EXERCICES

1) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? a) Si deux plans sont perpendiculaires alors toute droite dans l"un des deux plans est perpendiculaire à l"autre plan.

b) Si deux plans sont perpendiculaires, alors tout plan perpendiculaire à l"un est parallèle à

l"autre. c) Si deux plans sont perpendiculaires alors il existe un plan perpendiculaire aux deux plans. d) Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. IIe B - math I - chapitre II - Géométrie dans l"espace - 12 -

2) Expliquez pourquoi deux droites a et b ont toujours une droite orthogonale commune.

3) Soit ABCDEFGH un cube :

Trouvez une orthogonale commune aux droites ...

a) ()FG et ()AD. b) ()AB et()DG. c) ()AHet()CF. d) ()DHet()AG. e) ()CHet()DE.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] Intersection (mathématiques) : définition de Intersection

Quelle est la différence entre une droite et une intersection?

Où se situe un point d'intersection ?

Quelle est la différence entre une droite et un espace?

Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?

CHAPITRE II

GEOMETRIE DANS L"ESPACE

1) Définitions, notations et premières propriétés

A, B, C, ....

· Les

AB, comme dans le plan.

· Les

· Un

2) Positions relatives de deux plans

1 2 1 2p Çp = p = p : les deux plans sont confondus

··· 1 2

··· 1 2

1 2p p? si et seulement si ils sont confondus ou strictement parallèles.

1 2p ^ p

3) Positions relatives de deux droites

Remarques

Remarques

Exemples

5) Propriétés

· Il existe une infinité

En posant d= aÇb, a= aÇg et b=bÇg on a :

Exercices 1 - 6

En effet pour tout

M dÎ ()MI^ a donc ()p M Ia=

A" et B" sont différentes puisque

AM AA"> et si A A"= AA" 0= donc AM AA" 0> =. Dans

M A"= on a AM AA"=. Ainsi :

M AA" AM" Îa £

AM AA"> et si A A"= AA" 0= donc AM AA" 0> =. Dans

M A"= on a AM AA"=. Ainsi :

M d AA" AM" Î £

7) Plan médiateur d"un segment

· Rappel

P m PA PBÎ Û =

· Soit

P PA PBÎm Û =

Exercices 7 - 23

EXERCICES

2) Expliquez pourquoi deux droites a et b ont toujours une droite orthogonale commune.

3) Soit ABCDEFGH un cube :

Trouvez une orthogonale commune aux droites ...