Droites et plans dans lespace PDF

DROITES ET PLANS DE LESPACE

On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée. Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants. Si une droite d1 de P1 est parallèle à une

Droites et plans dans lespace

Étudier l'intersection des deux droites (d) et (d') si elle existe. Sont-elles perpendiculaires ? Dans l'espace

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles. Méthode : Tracer l'intersection de deux plans. Vidéo https://youtu.be/4y00KbuCpsc.

1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

Méthode 11 : Montrer que deux droites sont strictement parallèles Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans.

GEOMETRIE DANS LESPACE

Mar 21 2021 Deux droites de l'espace peuvent être coplanaires c'est-à-dire appartenir ... Remarquez ici que l'intersection de deux plans est une droite.

Représentation paramétrique de droites de plans Applications

1.2 Intersection de deux droites. Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l'Espace sont rappelées dans le tableau 1.

Vecteurs droites et plans de lespace

1.1 Extension de la notion de vecteur à l'espace 2.3 Positions relatives de deux droites . ... Intersection avec deux plans parallèles .

KIFFELESMATHS

Propriété : Deux droites sont orthogonales si et seulement si

GÉOMÉTRIE DE LESPACE 4e

10. L'angle de deux plans sécants est l'angle des deux droites d'intersection de ces plans avec un plan perpendiculaire à leur droite commune

Droites et plans de lEspace Calcul vectoriel dans lEspace

2 VECTEURS DE L'ESPACE. Figure 3 – Intersection avec deux plans parallèles. Figure 4 – Théorème du toit. Exercices : 1 2

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE - maths et tiques

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE I Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires d 1 et d 2 sont coplanaires d 1 et d 2 sont sécantes d 1 et d 2 sont parallèles d 1 et d 2 sont strictement parallèles d 1 et

Intersection (mathématiques) : définition de Intersection

3) Positions relatives de deux droites Soient a et b deux droites de l’espace On a quatre possibilités concernant l’intersection des deux droites : •••• a b a b? = = : les deux droites sont confondues •••• a b I? ={}: les deux droites sont sécantes en I (elles se coupent au point I)

Fiche 8 : Droites et plans dans l’espace - Studyrama

Méthode : « Passer de la caractérisation d’une droite par un système de deux équations à une représentation paramétrique » fiche exercices n°8 « Droites et plans dans l’espace »

fiche méthode intersection dans l'espace

Fiche méthode : intersection dans l’espace Intersection de deux plans Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux plans Placer le point d’intersection Recommencer avec deux autres droites On obtient un deuxième point d’intersection

Geom´ etrie dans l’espace´ - Mathoutils

le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans (ABC) et (IJK) Puisque la droite (IK) est dans le plan (IJK) et la droite (AB) est dans le plan (ABC) le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans (ABC) et (IJK)

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Dans l’espace deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles ou confondues ou sécantes) • Non coplanaires Définition et propriété : Deux droites (d) et (d’) de l’espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs u! et u! 'sont orthogonaux u! u! ('=0)

Quelle est la différence entre une droite et une intersection?

Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite. Dans l'espace, deux droites sont non coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .

Où se situe un point d'intersection ?

Le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où les droites se coupent. Une méthode de répondre à cette question consiste à tracer les deux droites. On commence par tracer la représentation graphique de la droite d’équation ???? = 7.

Quelle est la différence entre une droite et un espace?

Si deux droites sont parallèles mais distinctes, elles n'ont pas de point commun ; leur intersection est vide : Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite. Dans l'espace, deux droites sont non coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .

Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?

Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.

Droites et plans dans l'espace Terminale S I - Représentations paramétriques d'une droite dans l'espace L'espace est muni d'un repère orthonormé

O;i ,j ,k

. 1. Représentations paramétriques d'une droite La droite (D) passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur

u est l'ensemble des points M( x ; y ; z) tels que : S x=!t+x A y="t+y A z=#t+z A t(!.

Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (D) dans le repère

O;i ,j ,k

et on dit que t est le paramètre. Exercice 1 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points A ( -1 ; 2 ; -3) et B ( 1 ; -1 ; 1 ) . Le point C (1 ; 2 ; 3 ) appartient-il à la droite (AB) ? Dans l'espace, deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles, ou confondues, ou sécantes) • Non coplanaires Définition et propriété : Deux droites (d) et (d') de l'espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs

u et u sont orthogonaux u .u '=0

Définition et propriété : Deux droites (d) et (d') de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et coplanaires (donc ont un point commun). Exercice 2 : Considérons les droites : (d)

x=t+1 y=2t!3 z=!t+2 t&! et (d') x=3t'+2 y=!t'!1 z=t'+1 t'&!

. Étudier l'intersection des deux droites (d) et (d'), si elle existe. Sont-elles perpendiculaires ? Dans l'espace, une droite (d) de vecteur directeur

u et un plan (P) de vecteur normal n peuvent être : • Strictement parallèles ( u .n =0 et aucun point en commun) • La droite (d) est incluse dans le plan (P) ( u .n =0 et un point en commun) • Sécantes u .n !0

Cas particulier : Propriété : Une droite (d) est orthogonale à un plan (P) si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan (P) ; donc si et seulement si son vecteur directeur

et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (P). Exercice 3 : Déterminer l'intersection de la droite (d) : 1

23
2 xt yt zt et du plan (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0

(P) 2. Représentations paramétriques d'un segment, d'une demi-droite A et B sont deux points distincts de l'espace et on note

AB =u

. L'appartenance d'un point M au segment [AB] ou bien à la demi-droite [AB) s'obtient en adaptant l'énoncé de la conclusion ci-dessus : 1. pour le segment, il suffit de remplacer dans le système (S) : "

t!! ». 2. pour la demi-droite [AB), il suffit de remplacer dans le systè me (S) : " t!!

» par " t0;∈+∞⎡⎡

» II - Intersections de droites et de plans 1. Intersection de deux plans (P1) et (P2) a) Le point de vue géométrique (P1) et (P2) confondus (P1) et (P2) strictement parallèles (P1) et (P2) sécants b) Le point de vue algébrique Deux plans d'équations ax + by +cz + d = 0 et a'x + b'y +c'z + d' = 0 sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires, c'est-à-dire lorsque les triplets (a ; b ; c) et (a' ; b' ; c') sont proportionnels. Une droite pourra être définie par intersection de deux plans, c'est-à-dire par un système de deux équations cartésiennes : ()

axbyczd0 S a'xb'y c'zd'0

avec (a ; b ; c) et (a ' ; b' ; c') non proportionnels. Exercice 4 : Considérons les plans d'équations : ()()

P:2 xyz20etP' :x3 y7z 110 +--=++ -=

. Démontrer que les deux plans sont sécants. Donner une représentation paramétrique de la droite (d), intersection de ces deux plans. 2. Intersection d'un plan (P) et d'une droite (d) (d) est contenue dans (P) (d) est strictement parallèle à (P) (d) et (P) sont sécants en un point (d) (P1) (P2) (P) (d) x A (P1) = (P2) (P1) (P2) (d) (P) (d)

Propriété :Le plan (P) d'équation ax + by + cz +d = 0 et la droite (d) passant par un point A et de vecteur directeur

u!;";#

sont sécant si le vecteur normal du plan (P) n'est pas orthogonal au vecteur directeur de (d) donc si

u• n!0 c'est à dire si !a+"b+#c$0

Exercice 5 : Dans un repère orthonormé

O;i ,j ,k

le plan (P) a pour équation : 5x + y - z + 3 = 0 et la droite (d) pour représentation paramétrique : ⎩⎪⎨⎪⎧x = ty = 1 - 6tz = 3 - t t ∈

. Étudier position de la droite (d) et du plan (P). III - Intersection de trois plans 1. Le point de vue géométrique (P), (Q) et (R) sont trois plans de l'espace. Soit : ils n'ont aucun point commun ( 3 cas) (3 parallèles, 2 parallèles et 1 sécant ; sécants 2 à 2); Soit Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un plan. (On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les équations cartésiennes des plans.) 2. Le point de vue algébrique Dans un repère orthonormé

O;i ,j ,k

, les plans (P), (Q) et (R) ont respectivement pour équations cartésiennes ax+by+cz+d=0,a'x+b'y+c'z+d'=0eta"x+b"y+c"z+d"=0

, où a, b, c puis a', b', c' puis a'', b'', c'' ne sont pas tous les trois nuls. Pour étudier l'intersection des trois plans, on peut résoudre le système : ax+by+cz+d=0

a'x+b'y+c'z+d'=0 a"x+b"y+c"z+d"=0

. Ce système, d'après le point de vue géométrique, a soit aucun triplet solution, soit un triplet solution, soit une infinité de triplets solutions. Exercice 6 : Dans un repère orthonormé

O;i ,j ,k , le plan (P) a pour équation : 2x!y+z!7=0 , le plan (Q) a pour équation : x+2y!z!6=0 , le plan (R) a pour équation : !x+y+2z!11=0 . Étudier l'intersection de ces trois plans. (R) (Q) (d) (P) (P) (Q) (d) (R) Aquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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Quelle est la différence entre une droite et une intersection?

Où se situe un point d'intersection ?

Quelle est la différence entre une droite et un espace?

Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?

» par " t0;∈+∞⎡⎡

P:2 xyz20etP' :x3 y7z 110 +--=++ -=

Exercice 5 : Dans un repère orthonormé