Représentation paramétrique de droites de plans Applications PDF

DROITES ET PLANS DE LESPACE

On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée. Théorème du toit : P1 et P2 sont deux plans sécants. Si une droite d1 de P1 est parallèle à une

Droites et plans dans lespace

Étudier l'intersection des deux droites (d) et (d') si elle existe. Sont-elles perpendiculaires ? Dans l'espace

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles. Méthode : Tracer l'intersection de deux plans. Vidéo https://youtu.be/4y00KbuCpsc.

1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

Méthode 11 : Montrer que deux droites sont strictement parallèles Déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans.

GEOMETRIE DANS LESPACE

Mar 21 2021 Deux droites de l'espace peuvent être coplanaires c'est-à-dire appartenir ... Remarquez ici que l'intersection de deux plans est une droite.

Représentation paramétrique de droites de plans Applications

1.2 Intersection de deux droites. Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l'Espace sont rappelées dans le tableau 1.

Vecteurs droites et plans de lespace

1.1 Extension de la notion de vecteur à l'espace 2.3 Positions relatives de deux droites . ... Intersection avec deux plans parallèles .

KIFFELESMATHS

Propriété : Deux droites sont orthogonales si et seulement si

GÉOMÉTRIE DE LESPACE 4e

10. L'angle de deux plans sécants est l'angle des deux droites d'intersection de ces plans avec un plan perpendiculaire à leur droite commune

Droites et plans de lEspace Calcul vectoriel dans lEspace

2 VECTEURS DE L'ESPACE. Figure 3 – Intersection avec deux plans parallèles. Figure 4 – Théorème du toit. Exercices : 1 2

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE - maths et tiques

DROITES ET PLANS DE L'ESPACE I Positions relatives de droites et de plans 1) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires d 1 et d 2 sont coplanaires d 1 et d 2 sont sécantes d 1 et d 2 sont parallèles d 1 et d 2 sont strictement parallèles d 1 et

Intersection (mathématiques) : définition de Intersection

3) Positions relatives de deux droites Soient a et b deux droites de l’espace On a quatre possibilités concernant l’intersection des deux droites : •••• a b a b? = = : les deux droites sont confondues •••• a b I? ={}: les deux droites sont sécantes en I (elles se coupent au point I)

Fiche 8 : Droites et plans dans l’espace - Studyrama

Méthode : « Passer de la caractérisation d’une droite par un système de deux équations à une représentation paramétrique » fiche exercices n°8 « Droites et plans dans l’espace »

fiche méthode intersection dans l'espace

Fiche méthode : intersection dans l’espace Intersection de deux plans Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux plans Placer le point d’intersection Recommencer avec deux autres droites On obtient un deuxième point d’intersection

Geom´ etrie dans l’espace´ - Mathoutils

le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans (ABC) et (IJK) Puisque la droite (IK) est dans le plan (IJK) et la droite (AB) est dans le plan (ABC) le point d’intersection de ces deux droites se trouve dans l’intersection des plans (ABC) et (IJK)

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Dans l’espace deux droites peuvent être : • Coplanaires (strictement parallèles ou confondues ou sécantes) • Non coplanaires Définition et propriété : Deux droites (d) et (d’) de l’espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs u! et u! 'sont orthogonaux u! u! ('=0)

Quelle est la différence entre une droite et une intersection?

Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite. Dans l'espace, deux droites sont non coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .

Où se situe un point d'intersection ?

Le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où les droites se coupent. Une méthode de répondre à cette question consiste à tracer les deux droites. On commence par tracer la représentation graphique de la droite d’équation ???? = 7.

Quelle est la différence entre une droite et un espace?

Si deux droites sont parallèles mais distinctes, elles n'ont pas de point commun ; leur intersection est vide : Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite. Dans l'espace, deux droites sont non coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .

Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?

Une dernière façon de décrire la droite d’intersection entre deux plans consiste à utiliser une équation vectorielle.

Représentation paramétrique

de droites, de plans

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentations paramétriques

1.1 Définition

1.2 Intersection de deux droites

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Table des figures

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

3 Positions relatives de deux plans

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1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace

1.1 Définition

On se place dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace. SoitDune droite passant par un pointA(xA;yA;zA)et de vecteurdirecteur!u0 @a b c1 A M(x;y;z)est un point deDsi et seulement si il existe un réelttel que!AM=t!u.

En passant aux coordonnées, on obtient :

8>< :xxA=at yyA=bt zzA=ctc"est-à-dire8 :x=xA+at y=yA+bt

z=zA+ctDéfinition :On appellereprésen tationparamétrique ou système d"équations paramétriques de la droite

Dpar un pointA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur!u0 @a b c1 A le système : 8 :x=xA+at y=yA+bt z=zA+ctavect2R

Le réeltest appelép aramètre.Remarques :1.Un p ointMest surDsi et seulement si il existe un réelttel que les coordonnées deM

vérifie le système d"équations paramétriques deD. 2. Récipro quement,si la droite admet comme équation paramétrique8 :x=x0+t y=y0+t z=z0+ t, cette droite passe par le pointM0(x0;y0;z0)et admet comme vecteur directeur!v0 1 A 3.

P ourobtenir une représen tationparamétrique d usegmen t[AB], il suffit de prendre comme vecteur

directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; 1]. 4.

P ourobtenir une représen tationparamétrique de la demi-droite [AB), il suffit de prendre comme

vecteur directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; +1[. Exercices :16, 18, 19 page 299 et 86, 87 page 3101- 107 page 3142- 115 page 3163- 119, 120, 121 page 316

4[TransMath]

1.2 Intersection de deux droites

Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l"Espace sont rappelées dans le tableau

1 Remarque :Dest une droite de vecteur directeur!uetest une droite de vecteur directeur!v.

Si !uet!vsont colinéaires :

Si Detn"ont pas de point commun, elles sont strictement parallèles; Si Detont un point commun, elles sont confondues.1. Représentation paramétrique d"une droite.

2. Type BAC.

3. Points équidistants de trois points.

4. Segments, demi-droites.

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites

Si !uet!vne sont pas colinéaires : Si Detn"ont pas de point commun, elles sont non coplanaires; Si Detont un point commun, elles sont sécantes. %Exercice résolu :Dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace, on considère les droitesD1,D2etD3 de représentations paramétriques : D 1:8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tt2RD2:8 :x=6t+ 8 y=12t+ 1 z= 9t2t2RD3:8 :x=t+ 6 y= 3t1 z=2t+ 2t2R

Étudier les positions relatives deD1etD2puis deD1etD3.Positions relatives deD1etD2:Un vecteur directeur deD1est!u0

@2 4 31
A et un vecteur directeur deD2est!v0 @6 12 91
A On a !v=3!u. Les vecteurs!uet!vsont colinéaires donc les droitesD1etD2sontparallèles. Reste à déterminer si les deux droites sontstrictement parallèlesouconfondues.

Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.

A2 D2()8

:6t+ 8 =1

12t+ 1 = 0

9t2 = 5()8

:t=32 t=112 t=79

Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.

Les droitesD1etD2sont doncstrictement parallèles. Positions relatives deD1etD3:Un vecteur directeur deD1est!u0 @2 4 31
A et un vecteur directeur deD3est!w0 @1 3 21
A

Les vecteurs

!uet!wne sont pas colinéaires donc les droitesD1etD3sont soitsécantes, soitnon coplanaires. On va donc chercher un éventuel point d"intersection àD1etD3. M(x;y;z)2 D1\ D3()il existe deux réelstetstels que8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tet8 :x=s+ 6 y= 3s1 z=2s+ 2

On a donc :

8>< :1 + 2t=s+ 6

4t= 3s1

53t=2s+ 2()8

:s= 2t7

4t= 3(2t7)1

53t=2(2t7) + 2()8

:s= 2t7

4t= 6t22

53t=4t+ 16()8

:s= 15 t= 11 t= 11 Les droitesD1etD3sont doncsécanteset leur point d"intersection a comme coordonnées : 8>< :x=1 + 211 = 21 y= 411 = 44 z= 5311 =28 3

RÉFÉRENCES

Remarques :1.A ttention!Lors de la rec herched"un év entuelp ointd" intersectionen tredeux droites, il

fautabsolumentdonner deux noms différents aux deux paramètres. 2.

Si les droites a vaientété non coplanaires, on aurait, lors de la résolution du système, trouv édeu x

valeurs différentes pourt(ous), ce qui est impossible. Exercices :20, 21, 22, 23 page 300; 90 page 310 et 92, 93 page 3115- 108, 109 page 3146[TransMath]

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Un planPest caractérisé par la donnée d"un pointA(x0;y0;z0)et de deux vecteurs directeurs~u0

@a b c1 A et ~v 0 @a0 b 0 c 01 A non colinéaires

M(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires

!AM=t~u+t0~v, avect;t02R ()8 :xx0=at+a0t0 yy0=bt+b0t0 zz0=ct+c0t0; t;t 02R 8 :x=x0+at+a0t0 y=y0+bt+b0t0 z=z0+ct+c0t0; t;t 02R

Le système obtenu est appelé

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] Représentation paramétrique de droites de plans Applications

Quelle est la différence entre une droite et une intersection?

Où se situe un point d'intersection ?

Quelle est la différence entre une droite et un espace?

Comment décrire la droite d’intersection entre deux plans ?

Représentation paramétrique

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentations paramétriques

1.1 Définition

1.2 Intersection de deux droites

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Table des figures

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

3 Positions relatives de deux plans

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace

1.1 Définition

On se place dans un repère

O;!{;!|;!k

En passant aux coordonnées, on obtient :

4[TransMath]

1.2 Intersection de deux droites

Si !uet!vsont colinéaires :

2. Type BAC.

3. Points équidistants de trois points.

4. Segments, demi-droites.

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites

O;!{;!|;!k

Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.

A2 D2()8

12t+ 1 = 0

9t2 = 5()8

Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.

Les vecteurs

On a donc :

4t= 3s1

53t=2s+ 2()8

4t= 3(2t7)1

53t=2(2t7) + 2()8

4t= 6t22

53t=4t+ 16()8

RÉFÉRENCES

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

M(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires

Le système obtenu est appelé