Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés
Ouvert ? En d'autres termes si x € existe-il une boule ouverte (équivalent un voisinage
Ouverts et fermés chapitre 11.2 I Ouverts
Exercice VI.4. On dit que X est un espace séparable si et seulement si il existe un sous ensemble A de X dense dans X et
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I. Ouverts fermés
L'ensemble {1/n n ∈ N∗} n'est ni ouvert ni fermé dans R. 7. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte
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L'ensemble {(x y) ∈ R2 : x + 3y2 ≤ 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés
Exercice 4 (fiche 2) Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de ... ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son.
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L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un.
Correction du contrôle continu N 1
La note totale de l'exercice sera 0 au minimum. Q1 : Il existe un espace métrique contenant 15 ouverts et 17 fermés. NON. Un ensemble O est ouvert ssi son
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XI Elements de corrigés de l'examen 2017-2018 Corrigé de l'exercice 1.— ... Par définition des fermés les ensembles X Fi sont des ouverts.
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ouverts de R et les ensembles de la forme {x/
Topologie et Calcul Différentiel 2MA216
Corrigé de l'exercice ?. Exercice complémentaire 3 : Montrer que l'ensemble. C = (x y) 2 R2 : 2x + y > 1 et x y. 0 . n'est ni ouvert
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30 oct. 2013 nombre fini des demi-plans qui sont des ensembles convexes. ... la droite 2x + y + 1 > 0
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Méthodes en topologie Montrer quune partie est ouverte
C) On montre que X est l'image réciproque d'un ouvert par une application Soit {x1...
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2 oct. 2015 ce qui montre que S(x r) est l'intersection de deux fermés (grâce ... L'ensemble B?(l
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Exercice 1 Montrer en utilisant la d´e?nition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] ab [ a
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2 Montrer que les compacts de R sont exactement les ensembles fermés et bornés Corrigé : 1 (a)Le segment [a;a] n’est autre que le singleton fag Comme les (U i) i2Irecouvrent [a;b] il existe au moins un i 0 2Itel que a2U i 0 Ceci montre que U i 0 est un recouvrement ouvert (à l’évidence ?ni) de [a;a] et donc que a2A
Comment calculer les 4 éléments d'un ensemble?
4 éléments : Il n'y a qu'une partie à 4 éléments : l'ensemble E E lui-même. L'ensemble des parties de E E comporte donc 16 = 2 4 16 = 2 4 éléments. Soient deux ensembles E E et F F . Soit A A une partie de E?F E ? F. A A est-elle une partie de E E? de F F? En déduire une comparaison de P(E?F) P ( E ? F) avec P(E)?P(F) P ( E) ? P ( F).
Comment calculer l'extension d'un ensemble?
Écrire en extension (c'est-à-dire en donnant tous leurs éléments) les ensembles suivants : A={nombres entiers compris entre ?2 et 2?}. A = { nombres entiers compris entre 2 et 2 ? }.
Quels sont les 4 éléments d'un ensemble?
3 éléments : Il y a 4 parties à 3 éléments : { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d }. { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d }. 4 éléments : Il n'y a qu'une partie à 4 éléments : l'ensemble E E lui-même. L'ensemble des parties de E E comporte donc 16 = 2 4 16 = 2 4 éléments. Soient deux ensembles E E et F F .
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Universit´e Rennes IAnn´ee 2008-2009
L3TopologieCorrection du contrˆole continuN◦1Exercice 1R´epondre parOUIou parNONaux questions suivantes. Une r´eponse correcte donne
un +1 et une r´eponse fausse un-12 (et 0 s"il n"y a pas de r´eponse). La note totale de l"exercice sera 0 au minimum.Q1 :Il existe un espace m´etrique contenant 15 ouverts et 17 ferm´es.NON. Un ensembleOest ouvert ssi son compl´ementaire est ferm´e. Ainsi il y a toujours autant
d"ouverts que de ferm´es.Q2 :Toute suite convergence dans un espace m´etrique est born´ee.OUI.xn→xsignifie qued(xn,x)→0. Ainsi il existeNtel qued(xn,x)?1 pour toutn?N0.
Si on pose
M=: max0?n etR=max(M,1) alors on aura d(xn,x)?R,?n?N. Ce qui signifie que la suitexnest inclus dans la bouleB(x,R] ce qui veut dire qu"elle est born´ee.Q3 :Tout singleton d"un espace m´etrique est ferm´e.OUI. Soit{x}un singleton. Siy?C{x}alorsy?=x, doncr=d(x,y)>0. La boule ouverte
B(y,r) est un voisinage deyqui est inclus dansC{x}. Ceci implique queC{x}est un ouvert et donc{x}est un ferm´e.Q4 :Une application lin´eaire d"un espace norm´eEdansRest born´ee si et seulement si elle est
nulle.OUI. Supposons quefest born´ee. Soitxun ´el´ement quelconque deE. Par lin´earit´ef(λx) =λf(x)
et donc{λf(x), λ?R}est born´ee dansRce qui n"est possible que sif(x) = 0. Puisquexest quelconque alorsf≡0.Q5 :Soit (X,d) un espace m´etrique. La fermeture de toute boule ouverteB(x,r[={y?X;d(x,y)<
r}et la boule ferm´eeB(x,r] ={y?X;d(x,y)?r}.NON. Prenons par exemple la topologies discr`ete sur un ensembleXde cardinal?2. Pour tout
x?X B(x,1) ={x}un ferm´e et donc sa fermeture est ´egale `a elle mˆeme, par contreB(x,1] =X.Q6 :Deux distances ´equivalentes sur un espaceXdonnent lieu `a la mˆeme famille de ferm´es.OUI. Puisque ils ont les mˆemes ouverts (car elles sont topologiquement ´equivalentes) alors elles
ont donnent les mˆemes ferm´es.Exercice 2D´eterminer (sans justification) l"int´erieur, la fermeture et la fronti`ere des ensembles
suivants.1.DansRmuni de la distance usuelle : A 0=Z, A1={1n
;n?Z?}.Zest un ferm´e car par sa compl´ementaire est?n?Z]n,n+ 1[ union d"ouverts (donc ouvert).
AinsiZ=Z.
Rappelons que siA?RalorsInt(A) ={x?Ails existent> α < βtels quex?]α,β[?A}. Un ensemble qui peut pas contenir un intervalle ouvert non triviale deR(commeZ) est forc´ement d"int´erieur vide :Int(Z) =∅. A 1est un ensemble discret et il est clair qu"il ne peux pas contenir un intervalle ouvert non
triviale deRet il est forc´ement d"int´erieur vide. L"ensembleA1n"est pas ferm´e carxn=1n
converge vers 0 mais 0 n"appartient pasA1. Ceci implique aussi queA1?A1? {0} ?A 1. Puisque la fermeture d"un ensemble est le plus plus ferm´e qui le contient alors on aura prouv´e
queA 1=A1? {0}si on montre que ce dernier est un ferm´e. Ceci provient du fait que son
compl´ementaire est l"union des ouvert ]- ∞,-1[, ]1,+∞[, lesIn=]1n+1,1n [ pourn?N?et I n=]-1n ,-1n+1[ pourn?N?.2.DansR2muni de la distance usuelle : A 3={(x,y)?Q×R: 0< x2+y2< π}, A4={(x,y)?Q×(R\Q) :x2+y2=π}.Rappelons que siA?R2alorsInt(A) ={x?A: ils existentα < βetδ < γtels que
x?]α,β[×]δ,γ[?A}. Il est clair que niA3niA4peut contenir des pav´es ]α,β[×]δ,γ[ carQne peut pas contenir
un intervalle ouvert non triviale deR. AinsiA3etA4sont d"int´erieurs vides. En utilisant la densit´e deQet deR\QdansRon peut montrer sans difficult´e queA 3={(x,y)?R×R:x2+y2?π},A
4={(x,y)?R×R:x2+y2=π}.Exercice 3SoientX= [0,1] etd:X×X→Rd´efinie par :
d(x,y) =?|x-y|six-y?Q, 1,sinon.1.Montrer quedd´efinit une distance surX.•Il est clair qued?0.
•d(x,y) = 0 si est seulement six-y?Qet|x-y|= 0 si est seulement six=y. •d(x,y) =d(y,x) car six-y?Qalorsy-x?Qetd(x,y) =|x-y|=|y-x|=d(y,x) et six-y?R\Qalorsy-x?R\Qetd(x,y) = 1 =d(y,x). •Six-z?Qetz-y?Qalorsx-y?Qetd(x,z)+d(z,y) =|x-z|+|y-z|?|x-y|=d(y,x). Dans tous les autres cas on a :
d(x,z) +d(z,y)?1?d(y,x).2.V´erifier que queXest born´e (pour la distanced) et d´eterminer son diam`etre.•Pour tout (x,y)X2on aitd(x,y)?1, doncXest born´e pour la distancedet son diam`etre
est?1. •Puisqued(0,1) = 1 alors le diam`etre sera ´egale `a 1 ( rappelons queD= maxx,y?Xd(x,y)).3.D´eterminer le diam`etre de l"intervalle [
12009
,12008 ].Bien surD([12009 ,12008 ])?D(X) = 1. De plus, si on prend un rationnel et un irrationnel de 12009
,12008 ] alors la distance entre eux est ´egale `a 1. AinsiD([12009 ,12008 ]) = 14.On poseA= [0,1]\Q(les irrationnels de [0,1]).(a)Soit (xn)n?0une suite deAqui converge versx?X. Montrer quexest irrationnel.Sixest rationnel alors (xn-x) est irrationnel pour toutn. Ainsid(xn,x) = 1 ce qui
contredit le fait qued(xn,x)→0.(b)En d´eduire queAest ferm´e.D"apr`es la question pr´ec´edente si (xn)n?0une suite deAqui converge versx?Xalors
x?A. AinsiAest ferm´e.5.On poseB= [0,1]∩Q(les rationnels de [0,1]).(a)Soit (xn)n?0une suite deBqui converge vers unx?X. Montrer quexest rationnel.Sixest irrationnel alorsxn-xest irrationnel pour toutn. Ainsid(xn,x) = 1 ce qui
contredit le fait qued(xn,x)→0.(b)En d´eduire queBest ferm´e.D"apr`es la question pr´ec´edente si (xn)n?0une suite deBqui converge versx?Xalors
x?B. AinsiBest ferm´e.6.E d´eduire, de ce qui pr´ec`ede, que (X,d) n"est pas connexe.Aet le compl´ementaire deBdansX. Donc,Aest un sous-ensemble deXdiff´erent de∅et de
Xqui est ouvert et ferm´e `a la fois. AinsiXn"est pas connexe.2 7.Soitf: (X,d)→(R,|.|) d´efinie par :
f(x) =?0 six?X∩Q, 1,sinon.
Montrer quefest continue.Soit (x,y)?X. En distinguant le casx-y?Qetx-y?R\Qon obtient trivialement |f(x)-f(y)|?d(x,y). La fonctionfest lipschitzienne donc continue.3
quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
Ce qui signifie que la suitexnest inclus dans la bouleB(x,R] ce qui veut dire qu"elle est born´ee.Q3 :Tout singleton d"un espace m´etrique est ferm´e.OUI. Soit{x}un singleton. Siy?C{x}alorsy?=x, doncr=d(x,y)>0. La boule ouverte
B(y,r) est un voisinage deyqui est inclus dansC{x}. Ceci implique queC{x}est un ouvert etdonc{x}est un ferm´e.Q4 :Une application lin´eaire d"un espace norm´eEdansRest born´ee si et seulement si elle est
nulle.OUI. Supposons quefest born´ee. Soitxun ´el´ement quelconque deE. Par lin´earit´ef(λx) =λf(x)
et donc{λf(x), λ?R}est born´ee dansRce qui n"est possible que sif(x) = 0. Puisquexestquelconque alorsf≡0.Q5 :Soit (X,d) un espace m´etrique. La fermeture de toute boule ouverteB(x,r[={y?X;d(x,y)<
r}et la boule ferm´eeB(x,r] ={y?X;d(x,y)?r}.NON. Prenons par exemple la topologies discr`ete sur un ensembleXde cardinal?2. Pour tout
x?X B(x,1) ={x}un ferm´e et donc sa fermeture est ´egale `a elle mˆeme, par contreB(x,1] =X.Q6 :Deux distances ´equivalentes sur un espaceXdonnent lieu `a la mˆeme famille de ferm´es.OUI. Puisque ils ont les mˆemes ouverts (car elles sont topologiquement ´equivalentes) alors elles
ont donnent les mˆemes ferm´es.Exercice 2D´eterminer (sans justification) l"int´erieur, la fermeture et la fronti`ere des ensembles
suivants.1.DansRmuni de la distance usuelle : A0=Z, A1={1n
;n?Z?}.Zest un ferm´e car par sa compl´ementaire est?n?Z]n,n+ 1[ union d"ouverts (donc ouvert).
AinsiZ=Z.
Rappelons que siA?RalorsInt(A) ={x?Ails existent> α < βtels quex?]α,β[?A}. Un ensemble qui peut pas contenir un intervalle ouvert non triviale deR(commeZ) est forc´ement d"int´erieur vide :Int(Z) =∅. A1est un ensemble discret et il est clair qu"il ne peux pas contenir un intervalle ouvert non
triviale deRet il est forc´ement d"int´erieur vide.L"ensembleA1n"est pas ferm´e carxn=1n
converge vers 0 mais 0 n"appartient pasA1. Ceci implique aussi queA1?A1? {0} ?A 1.Puisque la fermeture d"un ensemble est le plus plus ferm´e qui le contient alors on aura prouv´e
queA1=A1? {0}si on montre que ce dernier est un ferm´e. Ceci provient du fait que son
compl´ementaire est l"union des ouvert ]- ∞,-1[, ]1,+∞[, lesIn=]1n+1,1n [ pourn?N?et I n=]-1n ,-1n+1[ pourn?N?.2.DansR2muni de la distance usuelle : A3={(x,y)?Q×R: 0< x2+y2< π}, A4={(x,y)?Q×(R\Q) :x2+y2=π}.Rappelons que siA?R2alorsInt(A) ={x?A: ils existentα < βetδ < γtels que
x?]α,β[×]δ,γ[?A}.Il est clair que niA3niA4peut contenir des pav´es ]α,β[×]δ,γ[ carQne peut pas contenir
un intervalle ouvert non triviale deR. AinsiA3etA4sont d"int´erieurs vides. En utilisant la densit´e deQet deR\QdansRon peut montrer sans difficult´e queA3={(x,y)?R×R:x2+y2?π},A
4={(x,y)?R×R:x2+y2=π}.Exercice 3SoientX= [0,1] etd:X×X→Rd´efinie par :
d(x,y) =?|x-y|six-y?Q,1,sinon.1.Montrer quedd´efinit une distance surX.•Il est clair qued?0.
•d(x,y) = 0 si est seulement six-y?Qet|x-y|= 0 si est seulement six=y. •d(x,y) =d(y,x) car six-y?Qalorsy-x?Qetd(x,y) =|x-y|=|y-x|=d(y,x) et six-y?R\Qalorsy-x?R\Qetd(x,y) = 1 =d(y,x). •Six-z?Qetz-y?Qalorsx-y?Qetd(x,z)+d(z,y) =|x-z|+|y-z|?|x-y|=d(y,x).Dans tous les autres cas on a :
d(x,z) +d(z,y)?1?d(y,x).2.V´erifier que queXest born´e (pour la distanced) et d´eterminer son diam`etre.•Pour tout (x,y)X2on aitd(x,y)?1, doncXest born´e pour la distancedet son diam`etre
est?1.•Puisqued(0,1) = 1 alors le diam`etre sera ´egale `a 1 ( rappelons queD= maxx,y?Xd(x,y)).3.D´eterminer le diam`etre de l"intervalle [
12009,12008 ].Bien surD([12009 ,12008 ])?D(X) = 1. De plus, si on prend un rationnel et un irrationnel de 12009
,12008 ] alors la distance entre eux est ´egale `a 1. AinsiD([12009 ,12008
]) = 14.On poseA= [0,1]\Q(les irrationnels de [0,1]).(a)Soit (xn)n?0une suite deAqui converge versx?X. Montrer quexest irrationnel.Sixest rationnel alors (xn-x) est irrationnel pour toutn. Ainsid(xn,x) = 1 ce qui
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x?A. AinsiAest ferm´e.5.On poseB= [0,1]∩Q(les rationnels de [0,1]).(a)Soit (xn)n?0une suite deBqui converge vers unx?X. Montrer quexest rationnel.Sixest irrationnel alorsxn-xest irrationnel pour toutn. Ainsid(xn,x) = 1 ce qui
contredit le fait qued(xn,x)→0.(b)En d´eduire queBest ferm´e.D"apr`es la question pr´ec´edente si (xn)n?0une suite deBqui converge versx?Xalors
x?B. AinsiBest ferm´e.6.E d´eduire, de ce qui pr´ec`ede, que (X,d) n"est pas connexe.Aet le compl´ementaire deBdansX. Donc,Aest un sous-ensemble deXdiff´erent de∅et de
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