[PDF] Topologie et Calcul Différentiel 2MA216

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SorbonneUniversité

LicencedeMathématique s,2ème année

TopologieetCalculDi!érentiel

2MA216

NinaAguillo n,Jean-YvesChemin,AymanMouss a

Tabledesmati ères

1No rmessurR

n etsu itesconvergentes9

1.1Rapp elssurR

n etnotat ions...............................9

1.2Normessu rR

n ......................................10

1.2.1Trois exemplesimportants denormes.....................11

1.2.2Normes équ ivalentes...............................14

1.3Converg encedessuitesdansR

n .............................15

1.3.1SuitesdeCau chy.................................17

2TopologiesurR

n 19

2.1Boules ouvertes,bou lesfermées.............................19

2.2En semblesouverts....................................20

2.3En semblesfermés.....................................23

2.4Intérie ur,adhérenceetpartiesdense s..........................26

2.5Compaci té.........................................27

3Fo nctionscontinues33

3.1En semblededéfinitiond'unef onction.........................33

3.2Limited 'une fonctionenunpointetcon tinuité....................34

3.3Fon ctionscontinues:propriétéset exemples......................39

3.3.1Opération ssurlesfonctions continues.....................39

3.3.2P rolongementparcontinuité..........................40

3.4Continu itéettopologie..................................43

3.5Connexi tépararcs....................................47

3.6Unif ormecontinuitéetthéorème deHeine.......................48

4Dér ivéespartiellesetfo nctionsdeclasseC

1 49

4.1Fon ctionsdérivables,fonctions di!érentiables.....................49

4.2Dérivée partielle,matricej acobienne..........................51

4.2.1Dériv éespartielles................................51

4.2.2M atricejacobienn e,gradient..........................52

4.3Fon ctionsdeclasseC

1 ..................................53

4.4Opération ssurlesfonctions declasseC

1 ........................57

4.4.1Combinaison linéaireetproduit.........................57

4.4.2Compositio n...................................58

4.5Legrad ient d'unefonctionnu mérique.........................61

3 4

5Rec herched'extremum65

5.1Extrem umlocaletextremumglobal..........................65

5.2Poin tscritiquesetextrema...............................65

5.3Leretou rde lacompacité................................67

5.4Dérivées partiellesd 'ordredeux.............................68

5.5Nature despoints critiques:descritères aveclahessienne..............72

ARa ppelsdethéoriedesensem bles77

BUn brefaper çudesfonctio nsholomorph es79

B.1Ladéri vabil itéausenscomplexe............................79 B.2Lafor mulede Cauchy..................................80 B.3Formu ledeCauchyetanalyticit é............................82

CCo rrigésdesexercices85

Préambule

Cepo lycopiéestparseméd'exercic esdontles corrigéssontfournise nannexe(accessiblespar lienscliquables surlaversionélectroniqued ecedocume nt).Le lecteurestfortemen tencouragé ànepaslirelescorrigésinstantanémentetàsedonnerletempsdecher cherlesexercices.Ceci estd'aut antpluscrucialpourles exercicesfondament auxqu'ilestabsolument nécessairedesa voir résoudrepourvalidercette UE. 5 6

Introduction

Cemo duleestconsacréàl 'étudedes fonctionsàplusieursvari ab les.Quandonchercheàmo dé-

liserunphén omène(c'e st-à-direàtrouverdeséquationsmathématique squidécriventcorrectement

cequ' onobserve),qu' ilsoitphysique,biologique,économi queouautre,ilestplut ôtrarequ' ilne dépendequed' unseulparamèt re.Parex emple,l atempératuredansunepiècepeutêtr evuecomme unefonct iondutempsetdelaposit ion dansl'espace. L'objetdececours n'estpas depropose rdesmodèl esmaisd'étudierlesou tilsmathématiques

quipermette ntdelesanalyser.Voussave zdéjàtrè sbien,à partirdesonexpress ion,étudierun e

fonctiond'unevariable réelle: trouversespointsdediscontinui té,salimiteen+!etsonmi nim um parexemple. Voussavezéga lementfairedesdév eloppementslimités oucalculerdesintégrales. Danscec oursnous allonsnousattacher àgénéralisercertaine sdeces notionsauxfonction sde

plusieursvariables, éventuellementàvaleursvectorielles. Maisavantmêmedechercheràétudier

lesfonc tions,ilnousfaudragénéraliserp lusie ursnotionsexploré esdanslecadred'un evariable réelle.Parexemple :qu'est-c equ'unesuitedevecteu rsde R n convergente?Commentdéfinirla continuitéd'unefonctiondeR n dansR p ?Peut-on"dériver»unetellefonction?

Rappelsd'analyseréell e

Commenouslepr écisionsci- haut,u nebonnepartiedececoursapourbu tdegénéraliserdes notionsquevousavezdéjà rencontré danslecadrede l'étudedel'ensem bledes nombreréelset desfonct ionsdéfiniessurcelui-ci.Nousr appelons ci- aprèsquelquesunesdecesnotio nsquenous généraliseronsauseinducours etqu'il vous fautimpérativ ementconnaître. Commençonsparladéfinitiondel alimited 'unesu ite.

Définition

Soit(x

k k!N unesuite denombreréels.Ondi tqu elasuite(x k k!N convergeversunréel!siet seulementsi "">0,#k /k$k =%|x k

Lanotation signifiequ elerangk

inférieureà"dela limite !dépendde".Nousl'adopteronstoutdulongdupolycopié. Onvoit queladé finitiondec onve rgenced'unesuitedonn éeiciutilis elanotiondedistance entredeuxpoints,donnéepar lav aleurabsolue.Six k estunv ecteur etnonunréel,onv erra qu'i l 7 8 L'unedespropri étésremar quablesdessuitesréellesestlet héorèmesuivant.Ilsignifieque l'onpe utchoisircertainsterme sdelasuitedesorte que,sionoublielesau tres,lasuiteobte nue converge.

Théorème(deBolza no-Weierstrass)

Soit(x

k k!N unesuite d'élémentsd'unint ervalleferméetborné[a,b]deR.Il exist eunesous-suite dela suite(x k k!N quiconver geversunélément!de[a,b].

L'undesrésu ltatstrès importantsdececoursseralag énéralisati onduThéorèmedeBolzano-

Weirestrassaucasdesuitesvector ielles .Enplusdu compo rtementdessuites,n ousallonsnous

intéresseràl'analyseetladescriptiond esv ariationsdefonction s.L'uned esp remièresnotionsqu'il

nousfaudra traduiredansl ecasdeplusieursvariablesestla continuité,dontnousrappelonsicila définitiondanslecasd'unefo nctiond'une variabl eréelle.

Définition

Soitxunréel .Lafonctionf:R'Restcontinueaupoi ntxsietseul ementsi "">0,## >0,|x&y|<# =%|f(x)&f(y)|<". Celasigni fiequesionprenduntubed ediamètr e",aussipetitquesoit",onvapouvoirle couperàunelongueur # (quidép endde")desortequelegraphedelafonctionrestedansle tubeautourdup oint(x,f(x)).Ladéfinitiondelacontinuitéd'unefonctiondeplusieursvariables serappr ocherabeaucoupdecequiprécède;l'e !ortseconcentr era enfaitsurlatraductiondela notionde"proximité »,dans R n leschose ssecompliquerontunpeu :nepouv antdiviserparunvecteuril nousfaud ratrouverune formulationcohérentedanslecasdeplusieur svariables.

Définition

Soitfunefoncti ondeRdansRunefonction etxunpoint deR.On ditque festdérivab leau pointx,dedé riv éef (x),si lim h#0 f(x+h)&f(x) h =f (x).

Chapitre1

NormessurR

n etsuite sconvergentes

1.1Rappelss urR

n etnot ations Nousallonsd anscettes ectionintroduire lanotiondenormesu runespacevec torielquinous permettradedéfinirunedista nceas sociée.Avantdedonn erunedéfi nition,rappelonsquel'en- sembleR n estunespace vect oriel surRdedimensi onfinieégaleàn(quiest unentierstricte ment positif).Sesélémentssont appelésde svecteurs.Entantqu'espa cevectoriel dedimensionn,il existeunebase{e 1 ,...,e n },i.e.unefami llelibreetgénératrice, desortequetout vecteur xdeR n peuts'écr iredemanièreunique x= n i=1 x i e i oùlesn omb resréelsx 1 ,...,x n désignentlescoordo nnéesdexdanslabase {e 1 ,...,e n }.Laplupart dutemps onutil iseralaba secanoniquedéfiniepar e 1 1 0 0 0 0 ,e 2 0 1 0 0 0 ,···,e n 0 0 0 0 1 etoni dent ifieralevecteurxaveclama trice colonnedetaillen(1 x 1 x n 'etonécr ir ax= x 1 x n t (x 1 ,...,x n

Attention!

Lefait derepr ésenter unvecteurdeR

n sousfor med'unvecteurcolonne seraessentiel lorsquel'ondevrae !ectuerdespro duits matrices/vecteurs.Dansl esautressituations,lare- présentationd'unvecteursousformed'unecolo nneoud'unel igneneserapa sparticul ièrement importanteetpour cetteraison, nousferonsp arfoisdesabus denotations(surtout autableau). 9

10CHAPITRE1.NORMESSU RR

N

ETSUITES CONVERGENTES

Danslepolyc opié, nousnotonssouventunv ecteur

t (x 1 ,···,x n ),l'exposant" t

»indiquantla

transposée;ils'agitdoncenfaitd'unv ec teurcolonn e.

Enta ntqu'espacevectoriel ,R

n possède - uneloiinte rne(l'addition):six= t (x 1 ,...,x n ))R n ety= t (y 1 ,...,y n ))R n ,alors x+y déf t (x 1 +y 1 ,...,x n +y n ))R n - uneloiexte rne(lamu ltiplicationparunréel):six= t (x 1 ,...,x n ))R n et$)R,alors $x déf t ($x 1 ,...,$x n ))R n

1.2Normes surR

n Ladé finitionsuivanteintroduit leconceptfondamentaldenorme surR n ;intuitivementuntel objetpermetdem esurerla"taille»d esvect eurs.Ils'agitd'unprér equise sse ntielàdenombreux concepts(conv ergence,continuité...)que nousallonsexplorerdanslecourslesquelsex igentde

quantifierla"petitesse» des vec teurs.Enréalité,dansladéfi nitionqu isuit,onpeut remplacer

R n parunespace vecto rielquelco nque,maiscen'estpasl'objetdececo ursdetravaillerent oute généralité.

Définition1.1

Onappell enormesurR

n uneapplicati onNdeR n dansR telleque,pourtou tvecteursx,y deR n ettoutr éel$, (i)Séparation:N(x)=0sietseul ementsix=0 R n= t (0,···,0); n ettout$)R; n Aucollè geouaulycéeles vec teurs sontdéfiniss elontroisattribu ts:direction,sensetlongueur.

Lespropriété s(i)et(ii)dela Définitio n1.1coïncidentavecl' attribut"longueur» :ilestentendu

queleve cteu rnulestleseulayantun elongueurnu lleetsiondilateu nve cteurd'unfacteur $

(enchange antéventuellementsonsen s),salongueurvaêtredilatéed'unfacteur|$|.Lapropriété

(iii)estrel iéeàuneautreexigenceq uel' onpeut comprendreenintro duisantlanotion dedistance relativeàunen orme.

Définition1.2

Étantdonnéeune normeNsurR

n ,ladistance(relativeàN)en tredeuxvecteurs xetyestle nombrepositifN(x&y)=N(y&x). Remarque1.1Ilexis teunenotiongénéralede distance(su runensemble quelconque)quenous

avonschoiside nepasprésenter ici .Parmil espropri étésexigéesfigurel'inégal itétriangulair e:la

distanceentreAestBestpluspet itequela distanceobtenueenajout antun"détour »parun

troisièmepointC.Dan slecasd'un edistanc erelati veàunenorme, ceprincipenaturelest vérifié

grâceàl'inég alit étriangulaire(delanorme). Ilpe utêtreunpeus urprenantde parler d'unedist anceentredeuxpointsrelativeàunenorme donnée.Ona uraitenv iededirequeladistanceen tredeuxpoints,c' estsimpl ementlalongueur dusegm entquilessépare...et pourtant !Ilnousarr ivesouvent,dansla viedetous lesjou rs,de

1.2.NORME SSURR

N 11 manipulerdesdistances quinecor responden tpasfor cément àlalignedroite:lorsquel'ontraverse unqua rtierremplid'immeubles(voirl anormedeManhat tanàlaProposi tion1.2)oulorsqu'on regardeladistanceent redeux stationsdemétrosurlerés eaudelaRATP(mêm esidansceder nier cas,il n'yapasde normesous-jacente). Proposition1.1(Inégalitétriangulairerenve rsée)

SoitNunenormesu rR

n .Al orspourtoutx,ydansR n ona |N(x)&N(y)|*N(x&y). Démonstration.Enuti lisantl'inégalitétriangula ire,onobtient

N(x)=N(x&y+y)*N(x&y)+N(y),

N(y)=N(y&x+x)*N(y&x)+N(x).

comme &N(x&y)*N(x)&N(y)*N(x&y) cequi constituel erésultatrecherché.

1.2.1Trois exemplesimportan tsdenormes

Nousdonnon sdansceparagraphetroisexemple sfondamentaux denormes surR n ,quinous accompagneronttoutaulongde cesnotes.

Proposition1.2(Normed eManhattan)

L'application+·+

1 définiesurR n par +x+ 1 déf n j=1 |x j |=|x 1 |+|x 2 |+···+|x n estunenor me.Onl'appe llenorme1ounormedeManhattan . Démonstration.Commençonsparunrappelimport ant:uneso mmedet ermespositifsestnul le sietse uleme ntsitouscestermessontnuls. Icionas ommédesvale ursabsolu edoncdestermes positif.Onadonc+x+ 1 =0sietseul ementsi tousles|x j |sontnuls, doncsietseulementsitous lesx j sontnuls, doncsix=0 R n:laséparationestétablie. +$x+ 1 n j=1 |$x j n j=1 |$||xquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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