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Rappels sur les suites - Algorithme - Lycée dAdultes

14 sept. 2015 (vn) : 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; 96 ; . . . suite géométrique. 1.2 Exemples de suites a) On peut définir une suite de façon explicite : un ...



Algorithme U prend la valeur [expression de la suite] Programme TI

- Écrire le terme général d'une suite géométrique définie par son premier terme et sa raison. Le tableur les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont 



LIMITES DE SUITES

Propriété : (un) est une suite géométrique positive de raison q et de 3) Algorithme permettant de déterminer un rang à partir duquel une suite (qn).



SUITES ARITHMETIQUES

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1 Limite dune suite géométrique

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Rappels sur les suites. Algorithme

11 juil. 2021 est arithmétique. 3) Exprimer vn puis un en fonction de n. EXERCICE 10. (un) est une suite géométrique de raison q. 1) u1 = 5 et q =.



Sujet et corrigé mathématiques bac s obligatoire

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SUITES GEOMETRIQUES - LeWebPédagogique

Méthode : Calculer la somme des termes d’une suite géométrique On considère la suite géométrique (un) de raison q = 2 et de premier terme u1 = 5 1) Exprimer un en fonction de n 2) A l’aide de la calculatrice calculer la somme S=u5+u6+u7+ +u20 1) un = 5´2 n-1 2) On saisit sur la calculatrice : Sur TI : som(suite(5*2X-1X520





Rappels sur les suites Algorithme

1) Déterminer une suite arithmétique (wn)satisfaisant la relation (R) 2) On pose vn =un ?wn Montrer que la suite (vn)est géométrique et préciser sa raison et v0 3) Exprimer vn puis un en fonction de n 4) a) Déterminer lim n?+? un puis lim n?+? un n b) Programmer la suite (un)et véri?er les limites trouvées EXERCICE 18



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la suite est croissante (resp décroissante) pour n >k •si la suite est dé?nie de façon explicite on étudie les variations de la fonction f sur R+ •(voir chapitre suivant) on utilise un raisonnement par récurrence Exemples : •Montrer que la suite (un)dé?nie pour tout n par : un =n2 ?n est croissante Étudions le signe de la

Comment définir une suite géométrique?

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DERNIÈRE IMPRESSION LE14 septembre 2015 à 12:36

Rappels sur les suites - Algorithme

Table des matières

1 Suite : généralités2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Exemples de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Variation ou monotonie d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Comment montrer la monotonie d"une suite. . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Visualisation d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Suite arithmétique (rappels)6

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Comment la reconnaît-on?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Expression du terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Somme des premiers termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Suite géométrique (rappels)7

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Comment la reconnaît-on?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Expression du terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Somme des premiers termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Algorithme9

4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Conventions pour écrire un algorithme. . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Les variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3.2 Déclaration des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Affectation d"une variable numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.5 Lecture et écriture d"une variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.6 Les tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.7 Les boucles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.7.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.7.2 La boucle conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.7.3 Boucler en comptant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Suite : généralités

1.1 Définition

Définition 1 :Une suite(un)est une fonction définie deN(ou éventuellement N-[[0,k]]) dansR. À un rang donnén, on associe un nombre réel notéun. (un):NouN-[[0,k]]-→R n?-→un

Remarque :

•N-[[0,k]]est l"ensembleNprivé des premiers naturels jusqu"àk •unest appelé le terme général de la suite(un). •Bien faire la différence entre la suite noté(un)et le terme général notéun •Si une suite est définie à partir du rangp, on la note(un)n?p

Exemples :

•(un): 2; 5; 8; 11; 14; 17; ... suite arithmétique •(vn): 3; 6; 12; 24; 48; 96; ... suite géométrique

1.2 Exemples de suites

a) On peut définir une suite defaçon explicite:un=f(n) u n=1 nn?N?,vn=⎷n-3n?3 b) On peut aussi définir une suite defaçon récurrenteà un ou plusieurs termes :

•À un terme :un+1=f(un)?u

0=4 u n+1=0,75un+2 (un): 4; 5; 5,75; 6,3125; ...

Pour calculerun,nétant donné

Variables:N,Ientiers

Uréel

Entrées et initialisation

LireN

4→U on rentre u0

Traitement

pourIvariant de 1 àNfaire

0,75U+2→U relation

fin

Sorties: AfficherU

N5102030

U7,050 87,774 77,987 37,999 9

La suite semble croissante et converger

vers 8

•Àdeuxtermes:un+2=f(un+1,un)?u

0=1,u1=1

u n+2=un+1+un (un): 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...

Pour calculerun,nétant donné

Variables:N,Ientiers

U,V,Wréels

Entrées et initialisation

LireN

1→V on rentre u0

1→U on rentre u1

Traitement

pourIvariant de 2 àNfaire

U+V→W relation

V→U

W→V?

on passe au rang supérieur fin

Sorties: AfficherV

N10152030

V8998710 9461 346 269

PAULMILAN2 TERMINALES

1. SUITE : GÉNÉRALITÉS

c) On peut encore définir une suite par l"intermédiaire d"une autre suiteou par une somme de termes, etc... (un)étant définie, on définit la suite(vn)par :vn=un-4 w n=n∑ i=11 i=1+12+13+···+1n Si on veut déterminer une valeur approchée d"un terme particulier de(wn), on peut écrire le programme suivant :

Par exemple, on trouve les valeurs

suivantes pourw5,w10,w50.

Si l"on veut trouver le résultat exact en

fraction avec la TI 82, écrire : "Disp W?Frac"

On trouve les valeurs suivantes :

•w5=13760?2,283

•w10?2,923,w50?4,499

Variables:N,Ientiers

Wréel

Entrées et initialisation

LireN

0→W

Traitement

pourIvariant de 1 àNfaire

W+1I→W

fin

Sorties: AfficherW

d) On peut aussi définir une suite par une assertion explicite sans pour autant être capable de préciser la valeur d"un terme quelconque. Par exemple la suite(dn)qui au rangn?1 associednlanième décimale du nombreπ=3,141 592... :d1=1,d2=4,d3=1,d4=5,d5=9,d6=2 ...

1.3 Variation ou monotonie d"une suite

Définition 2 :Soit(un)une suite numérique. On dit que : •la suite(un)est strictementcroissante(à partir d"un certain rangk) lorsque u n+1>unpour tout entiern?k •la suite(un)est strictementdécroissante(à partir d"un certain rangk) lorsque u n+1Remarque : Il existe des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes :un= (-1)n Les premiers termes de la suite n"entrent pas nécessairement en compte dans la variation d"une suite. Ils peuvent cependant donner une indication pour la monotonie de la suite

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.4 Comment montrer la monotonie d"une suite

Règle 1 :Pour montrer la monotonie d"une suite, •on étudie le signe de la quantitéun+1-un si la quantité est positive (resp négative) à partir d"un certain rangk, la suite est croissante (resp décroissante) pourn?k •si tous les termes de la suite sont strictement positifs à partir d"un certain rang k, on compare la quantitéun+1 unà 1

si la quantité est supérieure à 1 (resp inférieure à 1) à partir d"un certain rangk,

la suite est croissante (resp décroissante) pourn?k •si la suite est définie de façon explicite, on étudie les variations de la fonctionf surR+ •(voir chapitre suivant) on utilise un raisonnement par récurrence

Exemples :

•Montrer que la suite(un)définie pour toutnpar :un=n2-nest croissante.

Étudions le signe de la quantité :un+1-un

u n+1-un= (n+1)2-(n+1)-(n2-n) =n2+2n+1-n-1-n2+n =2n Or pour toutn?N, on a 2n?0, doncun+1-un?0. La suite(un)est croissante à partir du rang 0. •Montrer que la suite(un)définie pour toutn?N?par :un=2nnest croissante.

Comme pour toutn?N?un>0, comparons le rapportun+1

unà 1 : u n+1 un=2 n+1 n+1 2n n= 2n+1 n+1×n2n=2nn+1 Orn?1, en ajoutantnde chaque côté de l"inégalité, 2n?n+1, donc : 2n n+1?1

Comme?n?1un+1

un?1, la suite(un)est croissante à partir du rang 1. •Montrer que la suite(un)définie pour toutn?2 par :un=2n+1n-1est décrois- sante. On étudie la fonction associéefdéfinie surI= [2;+∞[parf(x) =2x+1 x-1.

Cette fonction est dérivable surI, donc

f ?(x) =2(x-1)-(2x+1) (x-1)2=-3(x-1)2doncf?(x)<0x?I La fonctionfest donc décroissante surI, donc la suite(un)est décroissante

PAULMILAN4 TERMINALES

1. SUITE : GÉNÉRALITÉS

1.5 Visualisation d"une suite

Pour visualiser une suite définie par récurrenceun+1=f(un), il suffit de tracer la courbe de la fonction associéefet la droitey=x. La droite sert à reporter les termes de la suite sur l"axe des abscisses.

Soit la suite(un)définie par :

?u 0=0,1 u n+1=2un(1-un)

On obtient alors le graphe suivant,

après avoir tracé la courbeCfde la fonctionfdéfinie par : f(x) =2x(1-x) 0.5 0.5

Ou0u1u2u3u

4u 1u 2u 3u 4quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
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