[PDF] Chapitre I Théorie de la ruine

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Chapitre I

Théorie de la ruine

Olivier Wintenberger

ISUP 2, Université Paris VI

(slides Olivier Lopez)

Année universitaire 2013-2014

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

1Risque collectif

2Modélisation des coûts de sinistres

3Probabilité de ruine

4Calculs de probabilités de ruine

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Outline

1Risque collectif

Définitions et hypothèses simplificatrices

Modélisation du nombre de sinistres

2Modélisation des coûts de sinistres

3Probabilité de ruine

4Calculs de probabilités de ruine

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Définitions et hypothèses simplificatricesRisque collectif pour l"assureur

On noteXileième sinistre pour l"assureurEntre une date 0 et une datet;il y aN(t)sinistres.Coût global pour l"assureur

On s"intéresse àS(t) =X1+:::+XN(t):Dans le cast=1;on noteraS(1) =SetN(t) =N:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Définitions et hypothèses simplificatricesRisque collectif pour l"assureur

On noteXileième sinistre pour l"assureurEntre une date 0 et une datet;il y aN(t)sinistres.Coût global pour l"assureur

On s"intéresse àS(t) =X1+:::+XN(t):Dans le cast=1;on noteraS(1) =SetN(t) =N:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Définitions et hypothèses simplificatricesHypothèses simplificatrices Dans un modèle simple (considéré dans ce chapitre), on suppose lesXii.i.d.On suppose que le processus(N(t))t2R+est indépendant desXi:Question :calculer E[S(t)]en fonction deE[X1]etE[N(t)]:Que pensez-vous de ces hypothèses ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Définitions et hypothèses simplificatricesHypothèses simplificatrices Dans un modèle simple (considéré dans ce chapitre), on suppose lesXii.i.d.On suppose que le processus(N(t))t2R+est indépendant desXi:Question :calculer E[S(t)]en fonction deE[X1]etE[N(t)]:Que pensez-vous de ces hypothèses ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Définitions et hypothèses simplificatricesHypothèses simplificatrices Dans un modèle simple (considéré dans ce chapitre), on suppose lesXii.i.d.On suppose que le processus(N(t))t2R+est indépendant desXi:Question :calculer E[S(t)]en fonction deE[X1]etE[N(t)]:Que pensez-vous de ces hypothèses ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresModèle 1 : Processus de Poisson

Rappel : processus de Poisson

On appelle processus de Poisson homogène d"intensité (espace de tempsR+), un processusNsatisfaisant les

propriétés suivantes :Nest un processus à accroissements indépendantsN(t+h)N(t) P(h)pour toutt:Nest un processus à valeurs entières.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresModèle 1 : Processus de Poisson

Rappel : processus de Poisson

On appelle processus de Poisson homogène d"intensité (espace de tempsR+), un processusNsatisfaisant les

propriétés suivantes :Nest un processus à accroissements indépendantsN(t+h)N(t) P(h)pour toutt:Nest un processus à valeurs entières.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresModèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé

Processus de Poisson composé

SiN()est un processus de Poisson, le processusS()est un processus de Poisson composé d"intensité, et de loi de saut P X;oùPXdésigne la loi desXi:Remarque : par définition, le processus de Poisson

composé nécessite que lesXisoient i.i.d.La définition du processus de Poisson s"étend à des

intensités non homogènes (non abordées dans ce cours).

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresModèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé

Processus de Poisson composé

SiN()est un processus de Poisson, le processusS()est un processus de Poisson composé d"intensité, et de loi de saut P X;oùPXdésigne la loi desXi:Remarque : par définition, le processus de Poisson

composé nécessite que lesXisoient i.i.d.La définition du processus de Poisson s"étend à des

intensités non homogènes (non abordées dans ce cours).

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresModèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé

Processus de Poisson composé

SiN()est un processus de Poisson, le processusS()est un processus de Poisson composé d"intensité, et de loi de saut P X;oùPXdésigne la loi desXi:Remarque : par définition, le processus de Poisson

composé nécessite que lesXisoient i.i.d.La définition du processus de Poisson s"étend à des

intensités non homogènes (non abordées dans ce cours).

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresInconvénients du processus de Poisson Homogénéité (l"hypothèse peut être relâchée). Modèle très paramétrique (rend l"adéquation parfois difficile).La variance de la loi de Poisson est égale à son espérance.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresModèle 2 : loi binomiale négative

Loi binomiale négative

Nà valeurs dansNsuit une loi binomiale négative de paramètresretpsi P(N=k) =(k+r)(r)k!pr(1p)k:Exercice :on considère le couple de v ariablesaléatoires (N;)oùNj=l P(l)et(r;s):AlorsNsuit une loi binomiale négative.En déduire l"espérance et la variance de la loi binomiale négative en fonction deretp:

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Modélisation du nombre de sinistresModèle 2 : loi binomiale négative

Loi binomiale négative

Nà valeurs dansNsuit une loi binomiale négative de paramètresretpsi P(N=k) =(k+r)(r)k!pr(1p)k:Exercice :on considère le couple de v ariablesaléatoires (N;)oùNj=l P(l)et(r;s):AlorsNsuit une loi binomiale négative.En déduire l"espérance et la variance de la loi binomiale négative en fonction deretp:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresModèle 2 : loi binomiale négative

Loi binomiale négative

Nà valeurs dansNsuit une loi binomiale négative de paramètresretpsi P(N=k) =(k+r)(r)k!pr(1p)k:Exercice :on considère le couple de v ariablesaléatoires (N;)oùNj=l P(l)et(r;s):AlorsNsuit une loi binomiale négative.En déduire l"espérance et la variance de la loi binomiale négative en fonction deretp:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresLoi deSExercice :calcul de la f onctioncar actéristiquede Sen

fonction deet deFdans le cas d"un processus de Poisson composé.Idem pourNsuivant une loi binomiale négative.Conclusion ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresLoi deSExercice :calcul de la f onctioncar actéristiquede Sen

fonction deet deFdans le cas d"un processus de Poisson composé.Idem pourNsuivant une loi binomiale négative.Conclusion ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresLoi deSExercice :calcul de la f onctioncar actéristiquede Sen

fonction deet deFdans le cas d"un processus de Poisson composé.Idem pourNsuivant une loi binomiale négative.Conclusion ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresUn exemple

Nombre de sinistres :PeriodeNombre

14 28
36
43
52
69
713
810
97
1010
Ajuster une loi de Poisson puis une loi binomiale négative.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modélisation du nombre de sinistresPropriétés du processus de Poisson

Processus de renouvellement

Le processus de Poisson est un processus de renouvellement : il existe des temps inter-arrivéesYiiid tels que N(t) =supfn1;Y1+Yntg;t0:Exercice :Montrer que Y1suit une loi exponentielleE().

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Modélisation du nombre de sinistresThéorie élémentaire du renouvellement

Théorème de renouvellement

On suppose que les temps inter-arrivéesYiiid vérifient

E[Y1] =1alors

lim t!1E[N(t)]t =:preuveOn montre d"abord que N(t)=t!. On noteTnles instants d"arrivée alorsTn=n!1p.s. On en déduit que T

N(t)=N(t)!1.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Outline

1Risque collectif

2Modélisation des coûts de sinistres

Loi Gamma

Mélange exponentiel

Loi de Pareto

Approximation normale

Cas discret

3Probabilité de ruine

4Calculs de probabilités de ruine

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Loi GammaLoi Gamma

La loi(n;)a deux paramètres.C"est une loi à valeurs positives. Bien adaptée quand la fréquence de dommages "très élevés" est faible (exemple type : assurance dommage sur un véhicule, ne portant que sur la voiture elle-même, et pas sur les dommages subis par le conducteur ou par un tiers).

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Mélange exponentielMélange exponentiel

Définition du mélange de 2 exponentielles

SoitYetZdeux variables exponentielles indépendantes de paramètresetavec6=:Soit B(p);indépendante de YetZ:La loi deX=Y+ (1)Zest appelée mélange de deux exponentielles (paramètres; etp).Généralisation à 3, 4 exponentielles... Plus on augmente le nombre d"exponentielles, plus on augmente la flexibilité du modèle.Il existe des techniques ditesnon super viséesde choix du nombre d"exponentielles dans le mélange.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Mélange exponentielMélange exponentiel

Définition du mélange de 2 exponentielles

SoitYetZdeux variables exponentielles indépendantes de paramètresetavec6=:Soit B(p);indépendante de YetZ:La loi deX=Y+ (1)Zest appelée mélange de deux exponentielles (paramètres; etp).Généralisation à 3, 4 exponentielles... Plus on augmente le nombre d"exponentielles, plus on augmente la flexibilité du modèle.Il existe des techniques ditesnon super viséesde choix du nombre d"exponentielles dans le mélange.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Mélange exponentielMélange exponentiel

Définition du mélange de 2 exponentielles

SoitYetZdeux variables exponentielles indépendantes de paramètresetavec6=:Soit B(p);indépendante de YetZ:La loi deX=Y+ (1)Zest appelée mélange de deux exponentielles (paramètres; etp).Généralisation à 3, 4 exponentielles... Plus on augmente le nombre d"exponentielles, plus on augmente la flexibilité du modèle.Il existe des techniques ditesnon super viséesde choix du nombre d"exponentielles dans le mélange.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Mélange exponentielMélange exponentiel

Définition du mélange de 2 exponentielles

SoitYetZdeux variables exponentielles indépendantes de paramètresetavec6=:Soit B(p);indépendante de YetZ:La loi deX=Y+ (1)Zest appelée mélange de deux exponentielles (paramètres; etp).Généralisation à 3, 4 exponentielles... Plus on augmente le nombre d"exponentielles, plus on augmente la flexibilité du modèle.Il existe des techniques ditesnon super viséesde choix du nombre d"exponentielles dans le mélange.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Loi de ParetoLoi de Pareto

Définition de la loi de Pareto

On appelle loi de Pareto de paramètres(;)la loi de la variableXde fonction de survie

P(X>x) =x

pourx;etP(X>x) =1 sinon.Lien avec la loi exponentielle. Prise en compte de "queues de distributions lourdes".

Exercice :

on suppose que la loi des coûts de sinistre est une Pareto de paramètre(;1):L"assureur change le coût de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs àm euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Loi de ParetoLoi de Pareto

Définition de la loi de Pareto

On appelle loi de Pareto de paramètres(;)la loi de la variableXde fonction de survie

P(X>x) =x

pourx;etP(X>x) =1 sinon.Lien avec la loi exponentielle. Prise en compte de "queues de distributions lourdes".

Exercice :

on suppose que la loi des coûts de sinistre est une Pareto de paramètre(;1):L"assureur change le coût de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs àm euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Loi de ParetoLoi de Pareto

Définition de la loi de Pareto

On appelle loi de Pareto de paramètres(;)la loi de la variableXde fonction de survie

P(X>x) =x

pourx;etP(X>x) =1 sinon.Lien avec la loi exponentielle. Prise en compte de "queues de distributions lourdes".

Exercice :

on suppose que la loi des coûts de sinistre est une Pareto de paramètre(;1):L"assureur change le coût de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs àm euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Loi de ParetoLoi de Pareto

Définition de la loi de Pareto

On appelle loi de Pareto de paramètres(;)la loi de la variableXde fonction de survie

P(X>x) =x

pourx;etP(X>x) =1 sinon.Lien avec la loi exponentielle. Prise en compte de "queues de distributions lourdes".

Exercice :

on suppose que la loi des coûts de sinistre est une Pareto de paramètre(;1):L"assureur change le coût de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs àm euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Approximation normaleApproximation normale de la loi deSThéorème

Soit(t) =E[S(t)]et2(t) =Var(S(t)):Alors

P

S(t)(t)(t) t!1(x); oùdésigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.Question :Calculer 2(t). Quelle hypothèse doit on faire surN(t)?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Approximation normaleApproximation normale de la loi deSThéorème

Soit(t) =E[S(t)]et2(t) =Var(S(t)):Alors

P

S(t)(t)(t) t!1(x); oùdésigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.Question :Calculer 2(t). Quelle hypothèse doit on faire surN(t)?

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Cas discretCas discret : calcul récursif de Panjer

On suppose queX1est une variable positive de loi

discrète, et on notep(x) =P(X=x):But: f ournirune méthode de calcul récursiv ede f(x) =P(S=x):Théorème de Panjer Soitqn=P(N=n):On suppose qu"il existe deux réelsaetb tels que, pourn1;qn=a+bn qn1:Alors f(0) =P(N=0)1p(0)=0+E(p(0)N)1p(0)>0; f(x) =11ap(0)x X h=1 a+bhx p(h)f(xh):

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Cas discretCas discret : calcul récursif de Panjer

On suppose queX1est une variable positive de loi

discrète, et on notep(x) =P(X=x):But: f ournirune méthode de calcul récursiv ede f(x) =P(S=x):Théorème de Panjer Soitqn=P(N=n):On suppose qu"il existe deux réelsaetb tels que, pourn1;qn=a+bn qn1:Alors f(0) =P(N=0)1p(0)=0+E(p(0)N)1p(0)>0; f(x) =11ap(0)x X h=1 a+bhx p(h)f(xh):

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Cas discretDistributions deNsatisfaisant les hypothèses de

PanjerLa loi de Poisson :a=0;etb=:Loi binomiale(k;p):p=a=(a1);etk=(b+a)=a:Loi binomiale négative(r;p):p=1aetr=1+b=a:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Cas discretDistributions deNsatisfaisant les hypothèses de

PanjerLa loi de Poisson :a=0;etb=:Loi binomiale(k;p):p=a=(a1);etk=(b+a)=a:Loi binomiale négative(r;p):p=1aetr=1+b=a:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Cas discretDistributions deNsatisfaisant les hypothèses de

PanjerLa loi de Poisson :a=0;etb=:Loi binomiale(k;p):p=a=(a1);etk=(b+a)=a:Loi binomiale négative(r;p):p=1aetr=1+b=a:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Outline

1Risque collectif

2Modélisation des coûts de sinistres

3Probabilité de ruine

Modèle de Cramer-Lundberg

Petits sinistres et coefficient d"ajustement

Réassurance et probabilité de ruine

4Calculs de probabilités de ruine

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergDéfinition

Modèle de Cramer-Lundberg

On considère le processus

U(t) =u+ctS(t):U(t) =capital de l"assureur à la datet;u=capital initial,c=primes reçues par unité de temps,S(t) =somme déboursée pour les sinistres, modélisé par

un processus de P oissoncomposé . LesXisont supposés positifs.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergDéfinition

Modèle de Cramer-Lundberg

On considère le processus

U(t) =u+ctS(t):U(t) =capital de l"assureur à la datet;u=capital initial,c=primes reçues par unité de temps,S(t) =somme déboursée pour les sinistres, modélisé par

un processus de P oissoncomposé . LesXisont supposés positifs.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergLa ruine

On définitT=inf(tjt0;U(t)<0);avec la convention inff;g=1:Remarque :Test un temps d"arrêt par rapport à la filtration naturelle du processusU:Probabilité de ruine

On définit la probabilité de ruine comme

(u) =P(T<1jU(0) =u):Terminologie : si1=E[X1];on appelle coefficient de chargement (safety loading) la constante =c 11:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergLa ruine

On définitT=inf(tjt0;U(t)<0);avec la convention inff;g=1:Remarque :Test un temps d"arrêt par rapport à la filtration naturelle du processusU:Probabilité de ruine

On définit la probabilité de ruine comme

(u) =P(T<1jU(0) =u):Terminologie : si1=E[X1];on appelle coefficient de chargement (safety loading) la constante =c 11:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergLa ruine

On définitT=inf(tjt0;U(t)<0);avec la convention inff;g=1:Remarque :Test un temps d"arrêt par rapport à la filtration naturelle du processusU:Probabilité de ruine

On définit la probabilité de ruine comme

(u) =P(T<1jU(0) =u):Terminologie : si1=E[X1];on appelle coefficient de chargement (safety loading) la constante =c 11:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergLa ruine

On définitT=inf(tjt0;U(t)<0);avec la convention inff;g=1:Remarque :Test un temps d"arrêt par rapport à la filtration naturelle du processusU:Probabilité de ruine

On définit la probabilité de ruine comme

(u) =P(T<1jU(0) =u):Terminologie : si1=E[X1];on appelle coefficient de chargement (safety loading) la constante =c 11:

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergLa ruine

Proposition

Si le coefficient de chargement0 alors (u) =1 pour tout u0.Remarque :On est cer tainde tomber en r uinequelque soit le capital initial.On appellecondition de profit net l"h ypothèse >0.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergLa ruine

Proposition

Si le coefficient de chargement0 alors (u) =1 pour tout u0.Remarque :On est cer tainde tomber en r uinequelque soit le capital initial.On appellecondition de profit net l"h ypothèse >0.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Modèle de Cramer-LundbergLa ruine

Proposition

Si le coefficient de chargement0 alors (u) =1 pour tout u0.Remarque :On est cer tainde tomber en r uinequelque soit le capital initial.On appellecondition de profit net l"h ypothèse >0.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Petits sinistres et coefficient d"ajustementCoefficient d"ajustement, borne de Lundberg On suppose que les sinistres sont petits,Xest à queue

légère et il exister>0 tel queE[exp(rX)]<1.On cherche une borne du type (u)exp(Ru):Borne de Lundberg

SoitRla solution positive de l"équation 1+ (1+)1r=mX(r); oùmX(r) =E[exp(rX)];alors (u)exp(Ru):Définition LeRdu théorème précédent est appelé coefficient d"ajustement.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Petits sinistres et coefficient d"ajustementCoefficient d"ajustement, borne de Lundberg On suppose que les sinistres sont petits,Xest à queue

légère et il exister>0 tel queE[exp(rX)]<1.On cherche une borne du type (u)exp(Ru):Borne de Lundberg

SoitRla solution positive de l"équation 1+ (1+)1r=mX(r); oùmX(r) =E[exp(rX)];alors (u)exp(Ru):Définition LeRdu théorème précédent est appelé coefficient d"ajustement.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Petits sinistres et coefficient d"ajustementCoefficient d"ajustement, borne de Lundberg On suppose que les sinistres sont petits,Xest à queue

légère et il exister>0 tel queE[exp(rX)]<1.On cherche une borne du type (u)exp(Ru):Borne de Lundberg

SoitRla solution positive de l"équation 1+ (1+)1r=mX(r); oùmX(r) =E[exp(rX)];alors (u)exp(Ru):Définition LeRdu théorème précédent est appelé coefficient d"ajustement.

Risque collectifModélisation des coûts de sinistresProbabilité de ruineCalculs de probabilités de ruine

Petits sinistres et coefficient d"ajustementCoefficient d"ajustement, borne de Lundberg On suppose que les sinistres sont petits,Xest à queue

légère et il exister>0 tel queE[exp(rX)]<1.On cherche une borne du type (u)exp(Ru):Borne de Lundberg

SoitRla solution positive de l"équation 1+ (1+)1r=mX(r); oùmX(r) =E[exp(rX)];alors (u)exp(Ru):Définition LeRdu théorème précédent est appelé coefficientquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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