La méthode de Cardan et les imaginaires
On a vu ci-dessus que la méthode de Cardan am`ene `a extraire des racines cubiques de nombres complexes. Encore faut-il montrer que c'est possible et dire
Les formules de Cardan : résolution des équations du troisième degré
La méthode de Cardan imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son =8+12 (√−1) − 6 − (√−1) =2+11 (√−1). Exercice : de même
I.— Équations cubiques
Exercice 1 (Méthode de Cardan (1501-1576) / Tartaglia (1500-1557)). Soient p q ∈ R. On va résoudre : (E) z3 + pz + q = 0 .
Corrigé Devoir Maison 3
Exercice 1 : Méthode de résolution de Cardan-Hudde. 1) Etape 1 a) On va développer l'expression (x + a)3 + p(x + a) + q puis identifier les coefficients avec.
Analyse Ch. 3 : Résolution numérique déquations. (avec T.D.3 et
Ces formules proviennent d'une méthode de Cardan que nous verrons en T.D.. (exercice 2). • Degré 4 : Il y a aussi une méthode conduisant `a des formules
M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1 TD I
Exercice 1 (Méthode de Cardan (1501-1576) / Tartaglia (1500-1557)). Soient p q ∈ R. On va résoudre : (E) z3 + pz + q = 0 . — Vérifier que toute équation
LA MÉTHODE DE CARDAN
bon exercice de calcul pour les élèves qui découvrent à ce moment-là les nombres complexes. On retrouve bien la solution mise en évidence au 1). 3) a) On
Formules de Cardan
Théor`ee (Formules de Cardan pour les équations cubiques). Soient p q ∈ R∗. Les racines complexes du polynôme X3 + pX + q sont calculables explicitement.
Séance du 05/10/2013 du club de maths dOrsay (à Paris) Racines
5 oct. 2013 Exercice 11 (Méthode de Cardan cas facile). La méthode de Cardan permet de calculer les racines des polynômes de degré 3. Soit donc trois ...
Devoir surveillé de Mathématiques n04 10 novembre 2018
Exercice 0 (Pur cours). 1/ Quels sont les éléments de U4 ? 2/ Soient E et F deux méthode de Cardan. Soient p et q deux réels. On note à présent (E4) l ...
La méthode de Cardan et les imaginaires
On a vu ci-dessus que la méthode de Cardan am`ene `a extraire des racines cubiques de nombres complexes. Encore faut-il montrer que c'est possible et dire
Les formules de Cardan : résolution des équations du troisième degré
La méthode de Cardan imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son (sous forme d'exercice guidé pour comprendre les étapes du raisonnement ...
Corrigé Devoir Maison 3
Exercice 1 : Méthode de résolution de Cardan-Hudde. 1) Etape 1 a) On va développer l'expression (x + a)3 + p(x + a) + q puis identifier les coefficients
I.— Équations cubiques
Exercice 1 (Méthode de Cardan (1501-1576) / Tartaglia (1500-1557)). Soient p q ? R. On va résoudre : (E) z3 + pz + q = 0 .
Corrigé du devoir 2
Oct 10 2012 EXERCICE 1. Ce problème illustre la méthode générale de Cardan pour résoudre les équations du troisième degré à travers l'exemple suivant :.
LA MÉTHODE DE CARDAN
bon exercice de calcul pour les élèves qui découvrent à ce moment-là les nombres complexes. On retrouve bien la solution mise en évidence au 1). 3) a) On peut
DEVOIR SURVEILLÉ N?01
Sep 21 2013 EXERCICE 2 : Coefficients du binôme et somme de carrés ... L'objet de ce probl`eme est d'étudier les méthodes qui ... Méthode de Cardan.
Chapitre 1 Équations corps et polynômes
et appliquer à cette équation la méthode de Cardan. Exercice 4. 3 Soit P = X3 + pX + q un élément de C[X]. Montrer sans utiliser les formules de Cardan
Séance du 05/10/2013 du club de maths dOrsay (à Paris) Racines
Oct 5 2013 Quel est le reste de la division euclidienne de (x + 1)n ? xn ? 1 par x2 ? 3x + 2? Exercice 11 (Méthode de Cardan
Résolution numérique déquations. (avec T.D.3 et T.P.2) 1
par le corps C. Ces formules proviennent d'une méthode de Cardan que nous verrons en Rechercher par dichotomie la solution de l'équation de l'exercice 1 ...
La m ethode de Cardan et les imaginaires
Quitte a diviser par le coe cient de x3 on peut supposer qu’on a une equation de la forme x3 + ax2 + bx+ c= 0 avec a;b;c2R Si on e ectue alors le changement d’inconnue1 X= x+ a 3 l’ equation devient : X3 + b a2 3 X+ c ab 3 + 2a3 27 = 0 qui est de la forme X3 +pX+q= 0 On supposera d esormais qu’on est dans ce cas 1 2 La m ethode de
Les formules de Cardan : résolution des équations du - Free
La méthode de Cardan imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545 est une méthode permettant de résoudre toutes les équations du troisième degré Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées formules de Cardan donnant en fonction de p
Exercice 4-5
La méthode suivante est due à François Viète(1540-1603). 1. Montrer que pour un nombre (complexe) k ? 0 {displaystyle k eq 0} donné, tout nombre z {displaystyle z} est de la forme y ? k y {displaystyle y-{frac {k}{y}}} pour au moins un y {displaystyle y} (non nul). 2. On suppose p ? 0 {displaystyle p eq 0} et dans l'équation 2.1. 2.1.1. z 3...
Qu'est-ce que la méthode de Cardan?
La méthode de Cardan, imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en1545, est une méthode permettant derésoudre toutes les équations du troisième degré.Cette méthode permet de mettre en place des formules appeléesformules de Cardandonnant en fonction depetqles solutions de l’équationx3+px+q= 0.
Qui a inventé la formule de Cardan ?
En 1547, Cardan publia Arts Magna (Le Grand Art) bien connu pour contenir la démonstration de la méthode algébrique permettant de résoudre les équations du 3 e et 4 e degré. Depuis lors, la formule de résolution des équations du 3 e degré s’appelle formule de Cardan. Tartaglia fut furieux quand il découvrit que Cardan avait transgressé sa promesse.
Quel est le rôle de Cardan dans la résolution des équations du 3 e degré ?
Cardan insère la résolution des équations du 3 e degré dans un cadre algébrique qui permet de comprendre la méthode et fait d’énormes progrès grâce à la méthode de Tartaglia et l’aide de Ferrari comme la résolution des différents cas cubiques.
Comment démonter un cardan ?
Une fois la roue déposée, désaccouplez le triangle de suspension, la fusée puis la tête de cardan du moyeu avant de démonter le cardan lui-même. Votre nouveau cardan en main, vérifiez bien qu’il est de la même longueur que l’original et pour les véhicules concernés, que la couronne ABS est également identique.
Les formules de Cardan :
résolution des équations du troisième degréI) Historique
La méthode de Cardan, imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en
1545, est une méthode permettant de
résoudre toutes les équations du troisième degré.Cette méthode permet de mettre en place des formules appeléesformules de Cardandonnant en fonction dep
etqles solutions de l"équation x3+px+q= 0.Elle permet de prouver que
les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux: les solutions s"expriment enfonction des coefficients du polynôme en utilisant seulementles quatre opérations habituelles (+- ×et÷), et
l"extraction de racines carrées, et de racines cubiques.On sait déjà que les solutions d"une équation du second degréde la formeax2+bx+c= 0sont de la forme
x=-b+⎷2aetx=-b-⎷
2a, oùΔ =b2-4acest le discriminant de l"équation, sous la condition queΔ>0.
Les solutions s"expriment donc à l"aide des coefficientsa,betcsous forme d"expressions utilisant seulement les
quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels (+- ×et÷), et l"extraction de racine carrée.
L"objet des recherches des mathématiciens italiens de la Renaissance était de trouver des formules analogues
pour tout polynôme de degré 3, de la formeax3+bx2+cx+d= 0.Nous montrerons comment l"équation généraleax3+bx2+cx+d= 0peut se ramener à une équation "plus
simple" de la formex3+px+q= 0(qui n"a pas de terme enx2) à l"aide d"un changement de variable,puis nous étudierons comment résoudre une telle équation par l"utilisation d"une forme "canonique". Pour bien
comprendre le raisonnement, dans le paragraphe suivant, nous allons rappeler les idées développées lors de
l"étude des polynômes de degré deux, puis nous expliqueronsla méthode pour les polynômes du troisième degré.
II) Une présentation des idées sur les équations de degré 2Voici un court rappel de la méthode qui a conduit à la formule du discriminant pour les polynômes du second
degré, cette méthode sera réutilisée pour les équations de degré 3 :Cas particulier :
On sait résoudre les équations de la formex2-q= 0: les solutions sontx=⎷ qetx=-⎷qsiq≥0.Cas général :
Si on a une équation générale du second degréax2+bx+c= 0alors on se ramène à une équation de la forme
précédente en posant un changement de variable: en effet, on a les équivalences suivantes ax2+bx+c= 0??a?
x 2+b ax+ca? = 0??x2+bax+ca= 0 que l"on peut encore écrire avec la forme canonique, x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2= 0. On a donc, en posant le changement de variableX=x+b2a, l"équationX2-?
2a? 2 = 0, c"est à dire une équation du type précédent si on poseq=? 2a? 2 ,q≥0. On en déduitX=⎷2aouX=-⎷
2a.Et sachant quex=X-b
2a, on obtient les formules classiques :x=-b+⎷
2aoux=-b-⎷
2a.III) Présentation de la méthode générale pour une équation du troisième degréax3+bx2+cx+d= 0
Soit donc un polynôme du troisième degré,ax3+bx2+cx+d= 0, aveca?= 0.On peut écrirea?
x 3+b ax2+cax+da? = 0. Et on peut obtenir via la forme canonique du développement d"un cubea? x+b 3a? 3 +p? x+b3a? +q? = 0, en posantp=-b23a2+caetq=b27a?2b2a2-9ca?
+da.Exercice :
Développer l"expressiona?
x+b3a? 3 +p? x+b3a? +q? oùp=-b23a2+caetq=b27a?2b2a2-9ca?
+da, et montrer que l"on obtient bien la formeax3+bx2+cx+d.À partir de l"équationa?
x+b 3a? 3 +p? x+b3a? +q? = 0, on peut poser le changement de variable X=x+b3a, et on obtienta?X3+pX+q?= 0. Cette équation est donc équivalente àX3+pX+q= 0.
Exercice :
Considérons l"équation du troisième degré6x3-6x2+ 12x+ 7 = 0.Donner les valeurs dea,b,cetd.
PoserX=x+b
3a=x-13, c"est à dire remplacerxparx=X+13, et montrer qu"on obtient l"équation
suivante :54X3+ 90X+ 95 = 0. IV) Présentation de la méthode de résolution de l"équationx3+px+q= 0Ainsi donc, une équation quelconque de degré trois peut se ramener à une équation de la formex3+px+q= 0.
On va maintenant poserx=u+v, avecuetvréels, de façon à avoir deux inconnues au lieu d"une et se
donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition suruetvpermettant de simplifier le problème.
L"équation devient ainsi(u+v)3+p(u+v) +q= 0.
Cette équation se transforme sous la forme suivante :u3+v3+ (3uv+p)(u+v) +q= 0.Exercice :
Développer l"expressionu3+v3+ (3uv+p)(u+v) +q, et montrer que l"on obtient bien la forme(u+v)3+ p(u+v) +q= 0.La condition de simplification annoncée sera alors3uv+p= 0. Ce qui nous donne d"une l"équationu3+v3+q= 0.
Et la condition de simplification3uv+p= 0implique queuv=-p3; expression qui, en élevant les deux membres
à la puissance 3, donneu3v3=-p3
27.Nous obtenons finalement le système somme-produit des deux inconnuesu3etv3suivant :? ?u
3+v3=-q
u3v3=-p3
27On peut poser les inconnuesU=u3etV=v3, on connaît alors la somme et le produit deUetV?
?U+V=-qUV=-p3
27doncUetVsont les racines du polynôme du second degréZ2+qZ-p327.
Le discriminant de cette équation estΔ =q2+427p3, et en supposant queΔ≥0les racines sont
U=u3=-q+⎷
2etV=v3=-q-⎷
2On extrait alors des racines cubiquesu=3?
-q+⎷Δ2etv=3?
-q-⎷Δ2. On a alorsx=u+vdonc
x=3?-q+⎷Δ 2+3? -q-⎷Δ 2 c"est cette formule qui fait partie des formules de Cardan.V) Quelques exemples concrets
Exemple 1
(sous forme d"exercice guidé pour comprendre les étapes du raisonnement précédent) Considérons l"équation du troisième degré6x3-6x2+ 12x+ 7 = 0.1.En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, donner les valeurs dea,b,
cetd.2.PoserX=x+b
3a=x-13, c"est à dire remplacerxparx=X+13, et montrer qu"on obtient l"équation
équivalente suivante :54X3+ 90X+ 95 = 0.
3.Poser alors :X=u+v, et montrer qu"on obtient l"équation54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.
4.Écrire la condition de simplification; donner alors le système d"équation somme-produit portant suru3et
v 3.5.u3etv3sont donc les racines d"un polynôme de degré2, écrire ce polynôme. En déduire queu3=5
54etv 3=-50
27(ou dans l"ordre inversev3puisu3).
6.Le couple(u,v)est donc égal àu=3?
554=133?
52etv=-3?
5027=-133⎷50.
Trouver les valeurs deXpuis dex.
Solution de l"exemple 1:
1.En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, l"équation6x3-6x2+12x+7 = 0
a pour coefficientsa= 6,b=-6,c= 12etd= 7.2.En posantX=x+b
3a=x-13, c"est à dire en remplaçantxparx=X+13, on obtient l"équation
6 X+1 3? 3 -6? X+13? 2 + 12X+ 11 = 0. Soit6X3+ 10X+959= 0. Et en multipliant par9pour ne plus avoir de fractions, on obtient l"équation équivalente54X3+ 90X+ 95 = 0.3.En posant alors :X=u+v, on obtient l"équation54(u+v)3+90(u+v)+95 = 0. Qui par développement
donne54u3+ 162u2v+ 162uv2+ 54v3+ 90u+ 90v+ 95 = 0.Mais le développement de l"équation54(u3+v3)+(162uv+90)(u+v)+95 = 0donne la même équation.
Donc l"équation à résoudre est :54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.4.L"équation à résoudre est :54(u3+v3) + (162uv+ 90)(u+v) + 95 = 0.
La condition de simplification sera donc :162uv+ 90 = 0; c"est à direuv=-5 9. Le système d"équation somme-produit portant suru3etv3est :? ?u3+v3=-95
54u
3v3=?-5
9? 3 =-1257295.On cherche doncuetvtels que?
?u3+v3=-9554
u3v3=-125
729;u3etv3sont donc les racines deZ2+95
54Z-125729.
Le discriminantΔestΔ =1225
324=3518,Δ>0donc les deux racines de cette équation sont :u3=554et
v 3=-50 27.6.On a doncX=u+v=1
3? 3? 52-3⎷50?
Et on obtient finalement une solution de l"équation que l"on s"était donné de résoudre : x=X+1 3=13? 3? 52-3⎷50 + 1?
Exemple 2(mise en pratique de la méthode en utilisant les formules trouvées)Considérons l"équation :x3-6x2+ 9x-1 = 0.
En identifiant les coefficients avec la formule généraleax3+bx2+cx+d= 0, l"équationx3-6x2+ 9x-1 = 0
a pour coefficientsa= 1,b=-6,c= 9etd=-1.En posantX=x+b
3a=x-2, c"est à dire en remplaçantxparx=X+2, on obtient l"équationX3-3X+1 = 0.
On ap=-3etq= 1, donc on chercheuetvtels queX=u+v, avecu3v3=-p327= 1etu3+v3=-q=-125
doncu3etv3sont racines de l"équationZ2+Z+ 1 = 0. Le discriminant estΔ =-3,Δ<0donc on est bloqué.Cependant, on voit bien en traçant le graphe de la fonction qu"il existe trois solutions réelles :
±15±10±55
1015±1 1 2 3 4 5
xLes mathématiciens cherchèrent donc une façon de les trouver avec les mêmes formules (dites de Cardan), et
furent amenés à essayer de considérer⎷ Δ =⎷-3dans leur équation, afin de poursuivre leurs calculs...Exemple 3(exemple historique)
Dans l"exemplex3= 15x+ 4ou bienx3-15x-4 = 0, on ap=-15etq=-4, donc :u3v3=-p327= 125et
u3+v3=-q= 4doncu3etv3sont racines de l"équationZ2-4Z+125 = 0, dont les racines réelles n"existent
pas puisqueΔ<0. Pourtant, il y a bien une solution réellexà l"équation initiale; c"estx= 4. C"estBombelli(un contemporain de Cardan) qui surmonta cette difficulté en proposant pour la première fois
un calcul sur les nombres "imaginaires". La résolution "formelle" de l"équationZ2-4Z+ 125 = 0donne pour
racinesu3= 2 +⎷ -121 = 2 + 11⎷-1etZ= 2-⎷-121 = 2-11⎷-1, or Bombelli s"aperçoit que le cube de2 +⎷
-1vaut2 + 11⎷-1(cf calcul(?)) et que le cube de2-⎷-1vaut2-11⎷-1.Il en déduit queu= 2 +⎷
-1et quev= 2-⎷-1et il trouve bien comme solution finalex=u+v= 4. Ainsi, en s"autorisant des calculs avec un nombre "imaginaire"⎷ -1, Bombelli a su trouver des solutions réelles. (?)Détail du calcul pour justifier que?2 +⎷-1?3= 2 + 11?⎷-1?: Sachant que(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, on a :?2 +⎷ -1?3= 23+3(2)2?⎷-1?+3(2)?⎷-1?2+?⎷-1?3.Sachant que?⎷
-1?2=-1et donc?⎷-1?3=-?⎷-1?, on obtient que?2 +⎷-1?3= 23+ 3(2)2?⎷-1?+ 3(2)?⎷-1?2+?⎷-1?3= 8 + 12?⎷-1?-6-?⎷-1?= 2 + 11?⎷-1?.
Exercice : de même, sachant que(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3, montrer que l"on a :?2-⎷ -1?3= 2-11?⎷-1?Cependant, quel sens donner à
-1, quelles règles de calcul pouvait on lui appliquer? Ce fut l"objet de nom-breuses discussions et controverses... (cf paragraphe suivant sur l"histoire des nombres imaginaires).
VI) Prolongement historique
VI-1) Prolongement historique sur équations polynomialesOn raconte que la méthode de Cardan fut précédemment découverte par le mathématicien italien Tartaglia.
À cette époque, les mathématiciens se lançaient des défis pour résoudre des équations du troisième degré et
Tartaglia les résolvait toutes. Intrigué, Cardan lui demanda s"il n"aurait pas trouvé une méthode systématique.
Après s"être fait prier et avoir reçu l"assurance que Cardan ne les dévoilerai à personne, Tartaglia les lui confia.
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