LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .
Cours de mathématiques - Exo7
Autrement dit Aj est la matrice obtenue en remplaçant la j-ème colonne de A par le second membre B. La règle de. Cramer va nous permettre de calculer la
Chapitre 1: Calculs matriciels
la méthode de Cramer. g. Définitions : • Une matrice A = (aij) de type m?n est un tableau rectangulaire comprenant m lignes et n colonnes formées de nombres
Systèmes déquations linéaires
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
Systèmes linéaires
Résolution par la méthode du pivot de Gauss substitution méthode de Cramer
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8 mars 2018 1) Une solution de l'équation 2x1 + x2 - x3 - 4x4 = 5 est un ... 1) Méthode 2 : La matrice dont les colonnes sont les cordonnées de u1 ...
?x1 z3?
Calculez les déterminants suivants avec la règle de Sarrus : a. ?2 ?1 –2 Cette méthode est très mauvaise ... 4x4 : 24 produits et 23 additions.
Chapitre 6. Déterminant dune matrice carrée
Cas d'une matrice 2 × 2. Définition. det( a b c d) 2èmeécriture Ca sert à calculer l'inverse de la matrice (si elle ... Exemple (méthode de Cramer). (.
Résolution numérique dun système linéaire
Il existe aussi une méthode reshape qui crée une nouvelle matrice (les éléments sont b) qui retourne l'unique solution d'un système de Cramer Ax = b. On.
Matrices inverses
Matrice inverse. Inversion. Pivot de Gauss. Gauss-Jordan. Décompositions. Inverse rapide. Inversion. Methode de Cramer : (méthode habituelle).
Chapitre 1: Calculs matriciels
trois méthodes de résolution : • la méthode de Gauss-Jordan ; • en utilisant la matrice inverse ; • la méthode de Cramer g Définitions : • Une matrice A = (aij) de type m×n est un tableau rectangulaire comprenant m lignes et n colonnes formées de nombres réels • L'élément situé au croisement de la ième ligne et de la
Comment utiliser la méthode de Cramer ?
Nous avons également vu que pour pouvoir utiliser la méthode de Cramer, la matrice doit être inversible. C’est-à-dire, la matrice des coefficients. Cela signifie que son déterminant est différent de zéro. La méthode de Cramer permet alors de calculer les solutions en utilisant des déterminants.
Qu'est-ce que la quatrième matrice ?
Cette quatrième matrice se caractérise par l’idée de mort et de renaissance, de destruction et de recréation du monde, de salut et de rédemption. Les personnes sensibles à cette matrice ont le souvenir de situations dangereuses dont elles sont sorties saines et sauves, voire victorieuses.
Qu'est-ce que la matrice de V de Cramer ?
Le résultat est une matrice de V de Cramer. Une telle analyse peut être vue comme une généralisation de l’aanalyse des correspondances multiples et est connue sous de nombreux noms, tels que analyse de corrélation canonique, analyse d’homogénéité et bien d’autres.
Comment résoudre un système linéaire à l'aide de la règle de Cramer ?
Le nombre d'opérations à effectuer pour résoudre un système linéaire à l'aide de la règle de Cramer dépend de la méthode utilisée pour calculer le déterminant. Une méthode efficace pour les calculs de déterminant est l'élimination de Gauss-Jordan ( complexité polynomiale ).
Déterminants
pède engendré par cesnvecteurs. On peut aussi définir le déterminant d"une matriceA. Le déterminant permet de
savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et
la résolution de systèmes linéaires.Dans tout ce qui suit, nous considérons des matrices à coefficients dans un corps commutatifK, les principaux
exemples étantK=RouK=C. Nous commençons par donner l"expression du déterminant d"une matrice en petites
dimensions.1. Déterminant en dimension2et3
1.1. Matrice22
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : deta b c d =adbc.C"est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l"autre
diagonale (en orange).ab cd0 @1 A+1.2. Matrice33
SoitA2M3(K)une matrice 33 :
A=0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
AVoici la formule pour le déterminant :
DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET32Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c"est larègle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à
droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la
direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon
la direction de la diagonale montante (à droite).a 11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAa
11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAExemple 1.
Calculons le déterminant de la matriceA=0
@2 1 0 11 33 2 11
APar la règle de Sarrus :
detA=2(1)1+133+0123(1)0232111=6.21021
11311321320
BBBBBB@1
CCCCCCA
Attention : cette méthode ne s"applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d"autres méthodes
qui s"appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 33.1.3. Interprétation géométrique du déterminant
On va voir qu"en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.
Donnons nous deux vecteursv1=(ac)etv2=bddu planR2. Ces deux vecteursv1,v2déterminentun parallélogramme.v
1v 2xy O~ i~ jProposition 1. L"aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :A=det(v1,v2)=deta b
c d .De manière similaire, trois vecteurs de l"espaceR3: v 1=0 @a 11 a 21a 311
A v2=0 @a 12 a 22
a 321
A v3=0 @a 13 a 23
a 331
A définissent un parallélépipède. DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET33v 1v 2v
3À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :
det(v1,v2,v3) =det0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A .Proposition 2. Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :V=det(v1,v2,v3).On prendra comme unité d"aire dansR2l"aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base canonique10,01, et comme unité de volume dansR3, le volume du cube unité.
Démonstration.
Traitons le cas de la dimension2. Le résultat est vrai siv1=(a0)etv2=0d. En effet, dans ce cas ona affaire à un rectangle de côtésjajetjdj, donc d"airejadj, alors que le déterminant de la matricea0
0d vautad.v 1v 2ad O~ i~ jSi les vecteursv1etv2sont colinéaires alors le parallélogramme est aplati, donc d"aire nulle; on calcule facilement
que lorsque deux vecteurs sont colinéaires, leur déterminant est nul.Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Notonsv1=(ac)etv2=bd. Sia6=0, alors
v02=v2ba
v1est un vecteur vertical :v02=0
dba cL"opération de remplacerv2parv0
2ne change pas l"aire du parallélogramme (c"est comme si on avait coupé le triangle
vert et on l"avait collé à la place le triangle bleu).v 1v 2v 0 2O~ i~ jCette opération ne change pas non plus le déterminant car on a toujours : det(v1,v02) =deta0
b dba c =adbc=det(v1,v2).On pose alorsv0
1=(a0): c"est un vecteur horizontal. Encore une fois l"opération de remplacerv1parv0
1ne change ni
l"aire des parallélogrammes ni le déterminant car det(v0 1,v02) =deta0
0dba c =adbc=det(v1,v2). DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT4v 1v 0 2v 0 1O~ i~jOn s"est donc ramené au premier cas d"un rectangle aux côtés parallèles aux axes, pour lequel le résultat est déjà
acquis. Le cas tridimensionnel se traite de façon analogue.Mini-exercices. 1.P ourA=1 2
5 3 etB=7 8 9 5 calculer les déterminants deA,B,AB,A+B,A1,A,AT. 2.Mêmes questions pour A=a b
c d etB=a00 c 0d0 3.Mêmes questions pour A=0
@2 0 1 21 23 1 01
A etB=0 @1 2 3 0 2 20 0 31
A 4. Calculer l"aire du parallélogramme défini par les vecteurs73et14.
5. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs 211 ,114 ,131 .2. Définition du déterminantCette partie est consacrée à la définition du déterminant. La définition du déterminant est assez abstraite et il faudra
attendre encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des déterminants.2.1. Définition et premières propriétés
Nous allons caractériser le déterminant comme une application, qui à une matrice carrée associe un scalaire :
det :Mn(K)!KThéorème 1(Existence et d"unicité du déterminant).Il existe une unique application de M
n(K)dansK, appeléedéterminant, telle que (i)le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne, les autres étant fixés ;
(ii) si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul ; (iii) le déterminant de la matrice identité I nvaut1.Une preuve de l"existence du déterminant sera donnée plus bas en section2.4 . On note le déterminant d"une matriceA= (aij)par : detAou a11a12a1n
a21a22a2n.........
a n1an2annSi on noteCilai-ème colonne deA, alors
detA=C1C2Cn=det(C1,C2,...,Cn).DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT5Avec cette notation, la propriété (i) de linéarité par rapport à la colonnejs"écrit : pour tout,2K,det(C1,...,Cj+
C0 j,...,Cn) =det(C1,...,Cj,...,Cn)+det(C1,...,C0 j,...,Cn), soit a11a1j+a0
1ja1n a i1aij+a0 ijain a n1anj+a0 njann a11a1ja1n.........
a i1aijain......... a n1anjann a 11a0 1ja1n a i1a0 ijain a n1a0 njannExemple 2.
6 5 4 710312 251
=5 6 1 4 72312 51
Car la seconde colonne est un multiple de 5.
3 2 43
75 329 2 104
3 2 4 75 39 2 10
3 2 3 75 29 2 4
Par linéarité sur la troisième colonne.
Remarque.
Une application deMn(K)dansKqui satisfait la propriété (i) est appeléeforme multilinéaire.
Si elle satisfait (ii), on dit qu"elle estalternée.Le déterminant est donc la seule forme multilinéaire alternée qui prend comme valeur1sur la matriceIn. Les autres
formes multilinéaires alternées sont les multiples scalaires du déterminant. On verra plus loin comment on peut
calculer en pratique les déterminants.2.2. Premières propriétés
Nous connaissons déjà le déterminant de deux matrices : le déterminant de la matrice nulle 0nvaut 0 (par la propriété (ii)), le déterminant de la matrice identitéInvaut 1 (par la propriété (iii)).Donnons maintenant quelques propriétés importantes du déterminant : comment se comporte le déterminant face
aux opérations élémentaires sur les colonnes?Proposition 3.SoitA2Mn(K)une matrice ayant les colonnesC1,C2,...,Cn. On noteA0la matrice obtenue par une des opérations
élémentaires sur les colonnes, qui sont :
1. C i Ci avec6=0:A0est obtenue en multipliant une colonne deApar un scalaire non nul. AlorsdetA0=detA. 2. C i Ci+Cjavec2K(etj6=i) :A0est obtenue en ajoutant à une colonne deAun multiple d"une autre colonne de A. AlorsdetA0=detA. 3. C i$Cj: A0est obtenue en échangeant deux colonnes distinctes de A. AlorsdetA0=detA. Plus généralement pour (2) : l"opérationCi Ci+Pn j=1 j6=i jCjd"ajouter une combinaison linéaire des autres colonnes conserve le déterminant. Attention! Échanger deux colonnes change le signe du déterminant. DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT6Démonstration.
1. La première propriété découle de la partie (i) de la définition du déterminant.2.SoitA=C1CiCjCnune matrice représentée par ses vecteurs colonnesCk. L"opération
Ci Ci+Cjtransforme la matriceAen la matriceA0=C1Ci+CjCjCn. Par linéarité par rapport à la colonnei, on sait que detA0=detA+detC1CjCjCn. Or les colonnesietjde la matriceC1CjCjCnsont identiques, donc son déterminant est nul. 3.Si on échange les colonnesietjdeA=C1CiCjCnon obtient la matriceA0=C1CiCjCn, où le vecteurCjse retrouve en colonneiet le vecteurCien colonnej.
Introduisons alors une troisième matriceB=C1Ci+CjCj+CiCn. Cette matrice a deux colonnes distinctes égales, donc d"après (ii), detB=0.D"un autre côté, nous pouvons développer ce déterminant en utilisant la propriété (i) de multilinéarité, c"est-à-dire
linéarité par rapport à chaque colonne. Ceci donne0=detB=detC1Ci+CjCj+CiCn
=detC1CiCj+CiCn +detC1CjCj+CiCn =detC1CiCjCn +detC1CiCiCn +detC1CjCjCn +detC1CjCiCn =detA+0+0+detA0, encore grâce à (i) pour les deux déterminants nuls du milieu.Corollaire 1.Si une colonne C
ide la matrice A est combinaison linéaire des autres colonnes, alorsdetA=0.2.3. Déterminants de matrices particulières
Calculer des déterminants n"est pas toujours facile. Cependant il est facile de calculer le déterminant de matrices
triangulaires.Proposition 4.Le déterminant d"une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est égal au produit des termes diagonaux.Autrement dit, pour une matrice triangulaireA= (aij)on a
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