Analyse Numérique PDF efficacité des calculs (ex : nombre

Zéros de fonctions

Le principe de dichotomie repose sur la version suivante du théorème des valeurs voici le nombre d'itérations suffisantes pour avoir une précision.

1 Convergence 2 Critère darrêt

où nmax est le nombre d'itérations maximal que l'on se fixe. Pour trouver un zéro de f la méthode de dichotomie consiste à calculer le point milieu m ...

Résolution déquations non linéaires 1. Méthode de dichotomie

Les deux derni`eres sont numériques car on ne peut effectuer qu'un nombre fini d'itérations pour le calcul. La continuité des fonctions considérées permet de

Analyse Numérique

efficacité des calculs (ex : nombre de fonctions à calculer à chaque itération). 2.2.4.1 Méthode de dichotomie. Avantages : la convergence est assurée.

Réponses aux exercices du chapitre 2

c) Déterminer combien d'itérations de la méthode de la bissection seraient nécessaires pour calculer la racine la plus proche de 1 avec une précision de

TP2: Résolution déquations non linéaire : Méthode de la bissection

et testons en Matlab cette méthode de dichotomie pour la résolution des Le nombre n d'itérations nécessaires pour avoir une approximation de la solution ...

Méthodes Numériques : Optimisation

l'algorithme est évidemment proportionnel à son nombre d'itérations. Figure 2.1 – La convergence linéaire de l'algorithme de dichotomie.

Untitled

Rechercher par Dichotomie la solution de f(x) = 0 dans l'intervalle ]0 1[ à 1/24 près. 3. Déterminer le nombre d'itérations nécessaires par Dichotomie pour

1 La méthode de dichotomie 2 Lalgorithme de Newton

racine d'une fonction f donnée : la méthode de dichotomie et l'algorithme de Il peut aussi être judicieux de donner un nombre maximal d'itérations pour ...

Approximations numériques

Obtenir une précision donnée en un nombre minimal d'itérations i.e. construire des méthodes d'ordre le plus élevé possible. 3.2 Méthodes de dichotomie et

1 Méthode de dichotomie 2 Méthode d'itération vers un point xe

Résolution numérique d'équations non linéaires TP 1 Méthode de dichotomie 1) Écrire une fonction [xvx]=dichotomie(fabtoln_max) qui applique la méthode de dichotomie pour estimer une solution de f(x) = 0 sur l'intervalle [ab] (on doit donc avoir f(a)f(b) < 0) Les paramètres donnés sont la fonction

EILCO : Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique

chaque itération nécessite une évaluation de f et une évaluation de f0 cette méthode est souvent appelée aussi méthode de Newton-Raphson la méthode de Newton est une méthode de point ?xe puisque xk+1 peut s’écrire sous la forme xk+1 = g(xk) avec g(x) = x f(x) f0(x): Cours d’Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution

Chapitre 3 Résolution numérique des équations non linéaires

Nous avons déjà vu que pour la méthode de dichotomie on a xn+1?x ? xn?x/2 L’erreur à l’itération n est dé?nie par en = xn ? x et on a en+1 ? en/2 On parle de convergence linéaire parce que l’erreur à l’itération n est une fonction linéaire de la précédente Dans le

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1 M´ethode de dichotomie On consid`ere un intervalle [ab] et une fonction f continue de [ab] dans R On suppose que f(a)f(b) < 0 et que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution ? sur l’intervalle [ab] La m´ethode de dichotomie consiste `a construire une suite (xn) qui converge vers ? de la mani`ere suivante : y = f(x) a

Comment calculer la dichotomie ?

On supposequef(a)f(b)

??? ?? ???????QR? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? x≈ ±mbp b 2 x-x∗ x

2bp-1=b1-N

2 x= 0.31415927 10-1-0.31415 10-1= 0.0000927 10-1= 0.927 10-4 A=XN XD =π-3,1415 10

4(π-3,1515)-0,927

XD= 104(0,927.10-4)-0,927 = 0,0

∗= 3,1415927

A=ERREUR

∗= 3,14159265

A=-0,18530...

∗= 3,141592653⌉

A=-0,197134...

∗= 3,141592654⌋

A=-0,201427...

∗= 3,1415926535⌉

A=-0,1992548...

∗= 3,1415926536⌋

A=-0,1996844...

∗= 3,14159265358⌉

A=-0,1995984...

∗= 3,14159265359⌋

A=-0,19964143...

∗= 3,141592653589

A=-0,19963713...

∗= 3,1415926535897⌉

A=-0,199640143...

∗= 3,1415926535898⌋

A=-0,1996405743...

∗= 3,14159265358979

A=-0,1996405312

∗= 3,1415927653589793

A=-0,1996405439...

a: = 0,23371258.10-4 b: = 0,33678429.102 c: =-0,33677811.102 a+b= 0,00000023(371258).102+ 0,33678429.102= 0,33678452.102. (a+b) +c= 0,33678452.102-0,33677811.102 = 0,00000641.102= 0,641.10-3. b+c= 0,33678429.102-0,33677811.102 = 0,00000618.102= 0,618.10-3 a+ (b+c) = 0,02337125(8).10-3+ 0,61800000.10-3= 0,64137126.10-3. ????a+b? ?? ? ? vf(a+b) = (a+b)(1 +ε1) 1 2

β1-n???? ???5.10-8? ??????η=vf(a+b)?

= [(a+b)(1 +ε1) +c](1 +ε2) =a+b+c+ (a+b)ε1(1 +ε2) + (a+b+c)ε2. vf((a+b) +c)-(a+b+c) a+b+c=a+b a+b+cε1(1 +ε2) +ε2. vf(a+ (b+c))-(a+b+c) a+b+c=b+c a+b+cε3(1 +ε4) +ε4. a+b a+b+c≃5.104,b+c a+b+c≃0,9. x∈R7-→f(x)∈R. f(x)-f(x∗) x f(x)-f(x∗) f(x)x-x∗ x ≃xf′(x) f(x) ?? ?? ?????x? ?? ?????? cond(f)x:=xf′(x) f(x) x xf′(x) f(x) =1 2 ??????? ????f(x) =a-x xf′(x) f(x) =x a-x f(x)? x. xf′(x) f(x) x+ 1) 2 x(x+ 1)-1 x =1 2 x x+ 1 1 2 ????x?????? ????? ??x??? ?????? ??

12345 = 111,113-111,108 = 0,500000.10-2.

?? ?? ?????? ?????? ????? ?f(12345) = 0,4500032....10-2.?? ? ???? ??? ?????? ?? x

0: = 12345

1: =x0+ 1

x x 1 x x 0 x

4: =x2-x3

x=1 x f(12345) =1

12346 +

12345
=1

222,221= 0,450002.10-2

e x=N∑ n=0x n n!(=SN)????N?????? N S

NN SNNSN

2-11,0...19 1629,87...36-0,001432...

3 61,0...20-996,45...37 0,000472...

4-227,0...21 579,34...38-0,0001454...

5 637,0...22-321,11...39 0,000049726...

6-1436,6...23 170,04...40-0,000010319...

7 2710,6...24-86,20...41 0,000007694...

8-4398,88...25 41,91...42 0,000002422...

9 6265,34...26-19,58...43 0,000003928...

10-7953,62...27 8,80...44 0,000003508...

11 9109,137...28-3,8130...45 0,000003623...

12-9504,78...29 1,5937...46 0,000003592...

13 9109,13...30-0,6435...47 0,000003600...

14-8072,94...31 0,2513...48 0,000003598...

15 6654,55...32-0,0950...49 0,000003599...

16-5127,44...33 0,0348...50 0,000003598...

17 3709,05...34-0,01238...

18-2528,47...35 0,004283...

?? ?????? ??e-12??? ?? ???? ??0,0000061442...? ?? ???????e-x=1 e x????? ???? ? ?? ?? ?????? ??? ?? ???????8? b 2-4ac 2a? ????x=-2c b sin(α+x)-sinα

0,1580 0,2653 0,2581.1010,4288.1010,6266.1020,7555.102

0,7889.1030,7767.1030,8999.104.

??? ???????1?1 6 ?1 6

2? ????1

6 x

0= 1?x1=1

6 ?xn+1=37 6 xn-xn-1???? ????n≥1. f(x) = 0 [ai,bi]? ??? ??????? ? f

1(x) =x-0,2sinx-0,5

f ′1(x) = 1-0,2cosx≥0???? ????x .

0, f1? ?? ?????? ???? ????[0,π].

f f

2excos(

x-π 4 4 +k 2 4 + (k+ 1) 2 4 +k 2

0, f(π)>0? ???? ?? ???? ????(0,π)? ?? ?? ??????? ?? ?????? ??f??(

2 ???f( 2 2 -0,7>0? ???? ?? ???? ??? ?? ???? ????[0, 2 4 )= 0,14>0? ??? ?????? ????? ??? ????[0, 4 ????n= 0,1,2,...,N,????? m:=(an+bn) 2 ?????an+1:=m, bn+1:=bn. ?? ? ?an+1-bn+1=1 2 2 n(a0-b0)? ?? ?? 1 2 ?????? ????? ???? ??? ?? ?????? ?? ?????? ??f?? ?? ?????? ??[0,π]???? ?????? ?? ??

Y(x) =f(x0) + (x-x0)f(x0)-f(x-1)

0-x-1,

Y(x1) = 0

1=x0-f(x0)x0-x-1

f(x0)-f(x-1). n+1 AB ????? ?? ?????? ?? ???????xn+1?????? ???? ?????? ?? ???? ??????? ???xn-1??xn? ????n= 0,1,2,... x n+1=xn-f(xn)xn-xn-1 f(xn)-f(xn-1). x n= 1 +1 2 +...+1 n |f(xn)|< ε.????? |f(xn)-f(xn-1)|< ε.

Y=f(xn) +f′(xn)(x-xn).

[????n= 0,1,2,... x n+1=xn-f(xn) f ′(xn). xn-xn-1 1 f (∗)f(x) = 0 (∗∗)g(x) =x n) x

2-x-2 = 0

g(x) =x2-2 2 +x g(x) = 1 +2 x g(x) =x-x2-x-2 m [????n= 0,1,2,... x n+1=g(xn). x x ∞=g(x∞). x? x+ 2 ????? ???0? ??xn? ?????? ???? ????x0∈[a,b]? ?? ????? ?????? ??? x n+1=g(xn)∀n∈N ∀x∈[a,b]g(x)∈[a,b]. g(x)-x?????? ? ?????h(a) =g(a)-a≥0???????g(a)∈[a,b] ????h(b) =g(b)-b≥0???????g(b)∈[a,b]. ????x∞?? ????? ???? ?? ? ? x lim n→∞|xn+1-x∞| |xn-x∞|p=C, x n+1-x∞=g(xn)-g(x∞) = (xn-x∞)g′(x∞) +1 2 x 2 |xn-x∞|2. g(x) =x-f(x) f ′(x)? ?? ??????? ??g??? ?????? ??? ? g ′(x) = 1-f′(x) f ′(x)+f(x)f′′(x) f ′2(x)=f(x)f′′(x) f ′2(x). ??f′(x∞)̸= 0? ?? ? ?????? ???????f(x∞) = 0? g ′(x∞) = 0. f(x∞) = 0, f′(x∞)̸= 0. ?????? ??x0??? ?????? ????? ???? ??x∞? ?? ??????? ?? ?????? ? x n+1=xn-f(xn) f ′(xn)∀n≥0 ???? ?????? ??????x0??? ????? ?????? ??x∞? x1x 2x0x1 f(xn) f ??????? ?f(x) =x2 x n+1=xn-f(xn) f ′(xn)=1 2 xn; ???f′(x∞)̸= 0∀x∈[a,b] |f(a)| |f′(a)|< b-a,|f(b)| |f′(b)|< b-a. g(x) =x-f(x) f ′(x) g ′(x) =f(x)f′′(x) f ′2(x) ???????f′(x∞)̸= 0? ?? ??????ε1??? ??? ? ∀x∈[x∞-ε1,x∞+ε1], f′(x)̸= 0. 2 <1. 2 x

0∈[x∞-ε2,x∞+ε2]

x n+1=g(xn) =xn-f(xn) f ′(xn) g? ??? ?? ?????? ??? g ′′(x∞) =f′′(x∞) f ′(x∞). x n+1:=xn-f(xn)xn-xn-1 f(xn)-f(xn-1)=xn-1f(xn)-xnf(xn-1) f(xn)-f(xn-1) x f(xn)-f(xn-1) x n+1-x∞= (xn-x∞)(xn-1-x∞)[ f(xn)-f(x∞) x n-x∞-f(xn-1)-f(x∞) x n-1-x∞] f(xn)-f(xn-1). f[x] : =f(x) f[x,y] : =f(y)-f(x) y-x=f[y]-f[x] y-x f[a,x,y] : =f[x,y]-f[a,x] y-a? ??????? x n+1-x∞= (xn-x∞)(xn-1-x∞)f[xn-1,x∞,xn] f[xn-1,xn].????? f[xn-1,x∞,xn] =1 2 e n:=|xn-x∞|, e 2 M m ???limn→∞cn=1 2 f ′′(x∞) f 5 2 = 1,618...??? ?????? ???? ?????? ??? ???? ???? ????n? e n+1 p n-1) 1-p ???p(1-p) =-1. "n p Y

1=ε1

p 0, Y n+1=Y1-pn ????? ????n????? ????? f(x∞) = 0, f′(x∞)̸= 0. x n+1=xn-f(xn)xn-xn-1 f(xn)-f(xn-1)∀n≥1 2 ?????? ?? ???? ?????? ??x= 0? u n:=x2n, x -1= 0,5 x

0= 1,0???????

x -1= 0,5 x

0= 1,0??????

0= 1????? ???

x 0= 1 x= 0,2sinx+ 0,5

1 0,750,50,50,50

2 0,6250,61212248 0,61629718 0,595885

3 0,56250,61549349 0,61546820 0,612248

4 0,593750,61546816 0,61546816 0,614941

5 0,6093750,61538219

6 0,61718750,61545412

7 0,61328120,61546587

8 0,61523430,61546779

9 0,61621090,61546810

10 0,61572260,61546815

11 0,6154785

12 0,6153564

13 0,6154174

14 0,6154479

15 0,6154532

16 0,61547088

17 0,61546707

18 0,61546897

19 0,615468025

20 0,615468502

max xd dx lim n→∞bxn-x∞ x n-x∞= 0.

αx+x=g(x) +αx??????

x n+1=g(xn) +αxn

α+ 1:=G(xn).??????

|G′(x∗)|=g′(x∗) +α

α+ 1

<1 g′(x∗) +α