Zéros de fonctions
Le principe de dichotomie repose sur la version suivante du théorème des valeurs voici le nombre d'itérations suffisantes pour avoir une précision.
1 Convergence 2 Critère darrêt
où nmax est le nombre d'itérations maximal que l'on se fixe. Pour trouver un zéro de f la méthode de dichotomie consiste à calculer le point milieu m ...
Résolution déquations non linéaires 1. Méthode de dichotomie
Les deux derni`eres sont numériques car on ne peut effectuer qu'un nombre fini d'itérations pour le calcul. La continuité des fonctions considérées permet de
Analyse Numérique
efficacité des calculs (ex : nombre de fonctions à calculer à chaque itération). 2.2.4.1 Méthode de dichotomie. Avantages : la convergence est assurée.
Réponses aux exercices du chapitre 2
c) Déterminer combien d'itérations de la méthode de la bissection seraient nécessaires pour calculer la racine la plus proche de 1 avec une précision de
TP2: Résolution déquations non linéaire : Méthode de la bissection
et testons en Matlab cette méthode de dichotomie pour la résolution des Le nombre n d'itérations nécessaires pour avoir une approximation de la solution ...
Méthodes Numériques : Optimisation
l'algorithme est évidemment proportionnel à son nombre d'itérations. Figure 2.1 – La convergence linéaire de l'algorithme de dichotomie.
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Rechercher par Dichotomie la solution de f(x) = 0 dans l'intervalle ]0 1[ à 1/24 près. 3. Déterminer le nombre d'itérations nécessaires par Dichotomie pour
1 La méthode de dichotomie 2 Lalgorithme de Newton
racine d'une fonction f donnée : la méthode de dichotomie et l'algorithme de Il peut aussi être judicieux de donner un nombre maximal d'itérations pour ...
Approximations numériques
Obtenir une précision donnée en un nombre minimal d'itérations i.e. construire des méthodes d'ordre le plus élevé possible. 3.2 Méthodes de dichotomie et
1 Méthode de dichotomie 2 Méthode d'itération vers un point xe
Résolution numérique d'équations non linéaires TP 1 Méthode de dichotomie 1) Écrire une fonction [xvx]=dichotomie(fabtoln_max) qui applique la méthode de dichotomie pour estimer une solution de f(x) = 0 sur l'intervalle [ab] (on doit donc avoir f(a)f(b) < 0) Les paramètres donnés sont la fonction
EILCO : Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique
chaque itération nécessite une évaluation de f et une évaluation de f0 cette méthode est souvent appelée aussi méthode de Newton-Raphson la méthode de Newton est une méthode de point ?xe puisque xk+1 peut s’écrire sous la forme xk+1 = g(xk) avec g(x) = x f(x) f0(x): Cours d’Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution
Chapitre 3 Résolution numérique des équations non linéaires
Nous avons déjà vu que pour la méthode de dichotomie on a xn+1?x ? xn?x/2 L’erreur à l’itération n est dé?nie par en = xn ? x et on a en+1 ? en/2 On parle de convergence linéaire parce que l’erreur à l’itération n est une fonction linéaire de la précédente Dans le
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1 M´ethode de dichotomie On consid`ere un intervalle [ab] et une fonction f continue de [ab] dans R On suppose que f(a)f(b) < 0 et que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution ? sur l’intervalle [ab] La m´ethode de dichotomie consiste `a construire une suite (xn) qui converge vers ? de la mani`ere suivante : y = f(x) a
Comment calculer la dichotomie ?
On supposequef(a)f(b)
Réponses aux exercices du chapitre 2
Numéro 5. On considère l"équation :
e x(x+ 5) = 0 (2:31) a) Déterm inerle nom breet la p ositionappro ximativedes solutions p ositivesde l"équation 2.31. b) Utiliser l"algorithme de la bissection p ourdéterminer c hacunede ces racines a vecune erreur absolue inférieure à107. c) Déterminer com biend"itérations de la métho dede la bi ssectionseraien tnécessaires pour calculer la racine la plus proche de1avec une précision de109, en partant de l"intervalle[0;2].Ne pas faire les itérations.Solution
a) Si f(x)désigne le membre de gauche,f0(x) =ex1est positive pourx >0et doncf est strictement croissante surR+. Par conséquent,fne croise l"axe desxqu"une seule fois. Puisquef(0) =4etf(2) = 0,38, il y a une seule racine entrex= 0etx= 2. b) En utilisan tle programme bissect.m de la banque de programme matlab, on obtien t x= 1,9368473291enn= 23itérations à partir de l"intervalle[0;2].Fonction :
f=exp(x)-(x+5);Arguments initiaux :
Nombre maximal d"iterations : nmax = 35
Critere d"arret : epsilon = 1.000000E-07
Intervalle initial : [x_1,x_2] = [0.000000E+00, 2.000000E+00]Iter. x_1 x_2 x_m f(x_m)
0 0.000000E+00 2.000000E+00 1.000000E+00 -3.2817E+00
1 1.000000E+00 2.000000E+00 1.500000E+00 -2.0183E+00
2 1.500000E+00 2.000000E+00 1.750000E+00 -9.9540E-01
3 1.750000E+00 2.000000E+00 1.875000E+00 -3.5418E-01
14 1.875000E+00 2.000000E+00 1.937500E+00 3.8758E-03
5 1.875000E+00 1.937500E+00 1.906250E+00 -1.7844E-01
6 1.906250E+00 1.937500E+00 1.921875E+00 -8.8115E-02
7 1.921875E+00 1.937500E+00 1.929688E+00 -4.2330E-02
8 1.929688E+00 1.937500E+00 1.933594E+00 -1.9280E-02
9 1.933594E+00 1.937500E+00 1.935547E+00 -7.7152E-03
10 1.935547E+00 1.937500E+00 1.936523E+00 -1.9230E-03
11 1.936523E+00 1.937500E+00 1.937012E+00 9.7559E-04
12 1.936523E+00 1.937012E+00 1.936768E+00 -4.7391E-04
13 1.936768E+00 1.937012E+00 1.936890E+00 2.5079E-04
14 1.936768E+00 1.936890E+00 1.936829E+00 -1.1158E-04
15 1.936829E+00 1.936890E+00 1.936859E+00 6.9602E-05
16 1.936829E+00 1.936859E+00 1.936844E+00 -2.0988E-05
17 1.936844E+00 1.936859E+00 1.936852E+00 2.4307E-05
18 1.936844E+00 1.936852E+00 1.936848E+00 1.6596E-06
19 1.936844E+00 1.936848E+00 1.936846E+00 -9.6640E-06
20 1.936846E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -4.0022E-06
21 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 -1.1713E-06
22 1.936847E+00 1.936848E+00 1.936847E+00 2.4418E-07
23 1.936847E+00 1.936847E+00 1.936847E+00 -4.6355E-07
Approximation finale de la racine: r = 1.9368473291E+00 c) L"in tervalleinitial a p ourlongueur L= 2. De la relation (2.3), on veut donc le plus petitntel quen >lnLrln2 = 27,57et on prendn= 28. 2 Numéro 13. On chercher à résoudre l"équation : e x3x2= 0 qui possède les deux racinesr1=0,4589623etr2= 0,91ainsi qu"une troisième racine située près de4. On vous propose les méthodes des points fixes suivantes pour obtenirr1.1)x=g1(x) =re
x32)x=g2(x) =ex3x23,385712869x3,385712869
3)x=g2(x) =ex3x23,76189x3,76189
a) L esquelles,parmi ces trois métho desdes p ointsfixes, son tsusceptibles de con verger versr1? (Ne pas faire les itérations.) b) Déterminer celle qui pro duitune c onvergencequadratique v ersr1. c) La métho dede la bissection con vergera-t-ellev ersl"une des racines si l"on prend [1;0] comme intervalle de départ? d) Utiliser la m éthodede Newton p ourdéterminer la troisième racine a vec4 c hiffres significatifs. Quel est l"ordre de convergence de cette méthode?Solution
On évalue premièrement les différents algorithmes à la lueur de l"équation (2.9) et de la
discussion qui la suit.1)g1(x) =re
x3 =ex=2p3 )g01(x) =ex=22 p3 Puisqueg01(r1) =0,22948) jg01(r1)j<1), l"algorithme des points fixes convergeraà l"ordre 1.
2)g2(x) =(ex3x23,385712869x)3,385712869
g02(x) =(ex6x3,385712869)3,385712869
Puisque)g02(r1)0), on aura convergence (au moins) quadratique.3)g3(x) =(ex3x23,76189x)3,76189
g03(x) =(ex6x3,76189)3,76189=0,0999968
3 Puisque) jg03(r1)j<1), l"algorithme converge à l"ordre 1! a) L estrois métho desco nvergerontsi on a un b onestimé initial car jg0i(r1)j<1etr1est attractif pour les trois fonctionsgi(x). b) La 2ième nous assu reune con vergenceau moins quadratique car jg02(r1)j= 0. c)N.B.: On travaille ici avecf(x) =ex3x2et non avecg(x). Or, on a : f(1) =2,6321etf(0) = 10 = 1et comme il y a un changement de signe, la méthode de la bissection convergera. d)On obtien t:
Methode de Newton
Fonctions :
exp(x)-3*x*x exp(x)-6*xArguments initiaux :
Nombre maximal d"iterations : nmax = 10
Critere d"arret : epsilon = 5.000000E-04
Estimation initiale : x_0 = 4.000000E+00
Iter. x_i f(x_i)
0 4.0000000000E+00 6.598150E+00
1 3.7843611452E+00 1.043379E+00
2 3.7353793751E+00 4.474262E-02
3 3.7330838979E+00 9.450832E-05
4 3.7330790287E+00 4.244995E-10
Approximation finale de la racine: r = 3.7330790287E+00 La convergence est quadratique et la troisième racine est3,733. 4 Numéro 17. On cherche à résoudre l"équation : x22 = 0
(dont la solution estp2) au moyen de la méthode des points fixes : x n+1=g(xn) =xn(x2n2) oùest une constante. a) P ourquelles v aleursde cette méthode des points fixes est-elle convergente à l"ordre1 (au moins)?
b)Quel est l"ordre de con vergencep our=p2
4 c)Quel est l"ordre de con vergencesi = 3p2?
Solution
On a premièrement que :
g(x) =x(x22) g0(x) = 1(2x))g0(p2) = 1(2p2)
Pour que la méthode converge, on doit avoir :
jg0(p2)j<1 , j1(2p2)j<1 , 1<1(2p2)<+1 , 2<(2p2)<0 22p2> >0 ,0< <22 p2 =p2 2 a) On a une co nvergenced"ordre au moins 1 p our0<
0(p2) = 1(2p2) = 1p2=42p2 = 11 = 0.
Par conséquent, on a une convergence quadratique (N.B.g00(x) =26= 0). c)Si = 3p2, alorsg0(p2)>1et donc il y a divergence.
5Numéro 25.
a)Obtenir tous les p ointsfixes de la fonction :
g(x) =x(1x) oùest un paramètre (6= 0). b) Déterminer p ourc haquep ointfixe trouv éen a) les v aleursde pour lesquelles ces points fixes sont attractifs. c) Déterminer p ourc haquep ointfixe trouv éen a) la v aleurde pour laquelle la conver- gence de la méthode des points fixes sera quadratique.Solution
a) On a que xest un point fixe deg(x)sig(x) =xc.-à-d. six=x(1x)et on voit immédiatement que 0 est un point fixe. On cherche maintenant s"il y en a d"autres. Si xest différent de0, on peut diviser parxet on obtient :1 =(1x)
1 = 1x )x= 11 =1 et on a quex=1 est un autre point fixe deg(x). b) Un p ointfixe rde la fonctiong(x)est ditattractifsijg0(r)j<1et il estrépulsifsi jg0(r)j>1. Or on a ici queg0(x) =(12x). Examinons ce que l"on obtient pour les deux points fixes trouvés en a). Pourx= 0, on ag0(0) =et donc 0 est attractif si jj<1.Pourx=1
, on ag01 12(1) =2+ 2 = 2. Il faut donc quej2j<1ou encore que :1<2 <1
2< <11< <3
c) P ourune fonction g(x)et un point fixer, la convergence en ce point est quadratique sijg0(r)j= 0et sijg00(r)j 6= 0. Pourx= 0, on ag0(0) == 0si= 0(Dans ce casg(x) = 0et le problème n"a alors aucun intérêt. On ne retient pas ce cas.)Pourx=1
, on ag012 = 2= 0si= 2. 6 N.B. :g00(x) =26= 0et donc on peut en conclure que l"on a bien une convergence quadratique. 7quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] avantage questionnaire anonyme
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