[PDF] Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2019





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EXERCICE16 points

COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

PartieA

Soitaetbdes nombres réels. On considère une fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par f(x)=a

1+e-bx.

La courbeCfreprésentant la fonctionfdans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

La courbeCfpasse par le point A(0; 0,5). La tangente à la courbeCfau point A passe par le point B(10; 1).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1900,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,1

?BCf

1.Justifier quea=1.

La courbe defpasse parA(0 ; 0.5) donc en calculantf(0)=a1+e-b×0=a2et sachant que ce nombre vaut 0,5, on obtienta=1.

On obtient alors, pour tout réelx?0,

f(x)=1

1+e-bx.

2.On admet que la fonctionfest dérivable sur [0 ;+∞[ et on notef?sa fonction dérivée.

Vérifier que, pour tout réelx?0

f ?(x)=be-bx ?1+e-bx?2. fest de la forme1vdonc a pour dérivée-v?v2, avecv(x)=1+e-bxetv?(x)=-be-bx. On obtient ainsi le résultat voulu en appliquant la formule de dérivation précédente.

3.En utilisant les données de l"énoncé, déterminerb.

La droite (AB) est la tangente enA(0 ; 0,5). Elle a pour coefficient directeurmégal à la dérivée def

en 0, à savoirm=f?(0)=b 4. Par ailleurs, le coefficient directeur de cette droite peut se calculer par la formulem=yB-yA xB-xA= 1-0,5

10-0=0,05.

Ainsi,

b

4=0,05??b=4×0,05=0,2. Finalementf(x)=11+e-0,2x.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

La proportion d"individus qui possèdent un certain type d"équipement dans une population est modélisée

par la fonctionpdéfinie sur [0 ;+∞[ par p(x)=1

1+e-0,2x.

Le réelxreprésente le temps écoulé, en année, depuis le 1erjanvier 2000. Le nombrep(x) modélise la proportion d"individus équipés aprèsxannées.

Ainsi, pour ce modèle,p(0) est la proportion d"individus équipés au 1erjanvier 2000 etp(3,5) est la propor-

tion d"individus équipés au milieu de l"année 2003.

1.Quelle est, pour ce modèle, la proportion d"individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera

une valeur arrondie au centième.

Cette proportion estp(10)=11+e-2≈0,88.

2. a.Déterminer le sens de variation de la fonctionpsur [0 ;+∞[.

D"après la partie A,pest dérivable et sa dérivée est, en prenantb=0,2, p ?(x)=0,2e-0,2x ?1+e-0,2x?2 Pour tout réelxpositif, on a 0,2e-0,2x>0 doncp?(x)>0 sur [0 ;+∞[. Ainsi,pest strictement croissante sur [0 ;+∞[. b.Calculer la limite de la fonctionpen+∞.

limx→+∞1+e-0,2x=1 par propriété de l"exponentielle et composée de fonctions. Ainsi, on a, par

quotient de limites limx→+∞p(x)=1 c.Interpréter cette limite dans le contexte de l"exercice.

Dans le contexte de l"énoncé, plus les annéesxs"écoulent, plus la proportionp(x) de personnes

équipées augmentera jusqu"à atteindre les 100%. Ceci se traduit par la limite de la question pré-

cédente.

3.On considère que, lorsque la proportion d"individus équipés dépasse 95%, le marché est saturé.

Déterminer, en expliquant la démarche, l"année au cours de laquelle cela se produit.

On cherche en quelle annéexla proportionp(x) dépassera les 95%. Il suffit de trouver le plus petit

entierxsatisfaisantp(x)>0,95. Or, on a p(x)>0,95??1

1+e-0,2x>0,95

??0,95(1+e-0,2x)<1 ??0,95e-0,2x<0,05 ??e-0,2x<0,05 0,95 ??e-0,2x<5 95
??e-0,2x<1 19 ??-0,2x19la fonction ln est strictement croissante ??-0,2x<-ln(19) ??x>ln(19)

0,2≈14,7 on divise par-0,2<0.

Antilles-Guyane218 juin 2019

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Ainsi, la saturation se produira au cours de l"annéex=15, donc en 2015.

Remarque : on pourrait procéder par "tâtonnements», et voir que ça marche à partir dex=15, mais il faut tout

de même l"expliquer par l"inéquationp(x)>0,95.

4.On définit la proportion moyenne d"individus équipés entre 2008 et 2010 par

m=1 2? 10 8 p(x)dx. a.Vérifier que, pour tout réelx?0, p(x)=e0,2x

1+e0,2x.

En multipliantp(x) par 1=e0,2xe0,2x, on a

p(x)=1 b.En déduire une primitive de la fonctionpsur [0 ;+∞[. p(x)=e0,2x1+e0,2x= ?1

0,2×0,2?

×e0,2x

est donc de la formeαu? uavecu(x)=1+e0,2x>0 etα=10,2=5, donc une primitive depest donnée par la fonction

P(x)=5×ln(1+e0,2x).

c.Déterminer la valeur exacte demet son arrondi au centième. m=12? 10 8 p(x)dx=12? P(x)? 10

8=12×5×?

ln(1+e2)-ln(1+e1,6)? =52ln?1+e21+e1,6? ≈0,86.

EXERCICE25 points

COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s"entraînent sur un terrain constitué d"une partie plane qui est bordée

par un obstacle.

On considère un repère orthonormé?

O ;-→ı,-→?,-→k?

, une unité correspondant à dix mètres. Pour modéliser

le relief de la zone, on définit six points O, P, Q, T, U et V par leurs coordonnées dans ce repère :

O(0 ; 0 ; 0), P(0 ; 10 ; 0), Q(0 ; 11 ; 1), T(10 ; 11 ; 1), U(10 ; 10 ; 0) et V(10 ; 0 ; 0) La partie plane est délimitée par le rectangle OPUV et l"obstacle par le rectangle PQTU.

Antilles-Guyane318 juin 2019

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Partie planeObstacle

?-2024 2

46810y

0 2 4 6 8 10Oz x

Les deux drones sont assimilables à deux points et on supposequ"ils suivent des trajectoires rectilignes :

•le drone d"Alex suit la trajectoire portée par la droite (AB)avec A(2; 4; 0,25) et B(2; 6; 0,75);

•le drone d"Élisa suit la trajectoire portée par la droite (CD) avec C(4; 6; 0,25) et D(2; 6; 0,25).

PartieA : Étude de la trajectoiredu droned"Alex

1.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

Un vecteur directeur de cette droite est-→u=-→AB(0 ; 2 ; 0,5). Cette droite passe parApar exemple. On

trouve ainsi une représentation paramétrique de (AB) donnée, pourtréel, par ?x=xA+t(xB-xA) y=yA+t(yB-yA) z=zA+t(zB-zA)???????x=2 y=4+2t z=0,25+0,5t

2. a.Justifier que le vecteur-→n(0 ; 1 ;-1) est un vecteur normal au plan (PQU).--→PQ(0 ; 1 ; 1) et--→PU(10 ; 0 ; 0) ne sont pas colinéaires, et on a

PQ·-→n=0×0+1×1+1×(-1)=0

Ainsi,

-→nest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQU), donc-→nest normal au

plan (PQU). b.En déduire une équation cartésienne du plan (PQU). c"est-à-dire du typey-z+d=0 avecdà déterminer.

Or,P(0 ; 10 ; 0) appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifientl"équation, d"où 10-0+d=

0??d=-10.. Ainsi, une équation cartésienne de (PQU) est

y-z-10=0.

3.Démontrer que la droite (AB) et le plan (PQU) sont sécants au point I de coordonnées?

2 ;373;73?

(AB) de vecteur directeur-→u=-→AB(0;2;0.5) et le plan (PQU) de vecteur normal-→n(0 ; 1 ;-1) sont sé-

cants si et seulement si-→u·-→n?=0, ce qui est le cas ici. Ils sont donc sécants en un pointI(x;y;z).

Par ailleurs, un pointI(x;y;z) appartient àl"intersection deladroite(AB)etduplan (PQU)si etseule-

ment si ilsatisfait l"équation paramétrique de(AB)etl"équation cartésienne de(PQU)siet seulement

Antilles-Guyane418 juin 2019

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

si ?x=2 y=4+2t z=0,25+0,5t y=4+2t z=0,25+0,5t y=4+2t z=0,25+0,5t y=37 3 z=7 3 t=25 6 Ainsi, la droite (AB) et le plan (PQU) sont sécants au point I de coordonnées? 2 ;37 3;73?

4.Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le droned"Alex ne rencontre pas l"obstacle.

des droites (AB), décrivant la trajectoire du drone d"Alex,et du plan (PQU), dont l"obstacle est le

rectangle PQTU, a une cote de 7

3>2, donc ne peut se situer sur le rectangle PQTU. Ainsi, en suivant

cette trajectoire, le drone d"Alex ne rencontre pas l"obstacle. PartieB : Distance minimale entrelesdeux trajectoires

Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Élisa imposent une distance minimale de 4

mètres entre les trajectoires de leurs drones. L"objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée. Pour cela, on considère un pointMde la droite (AB) et un pointNde la droite (CD). Il existe alors deux réelsaetbtels que--→AM=a--→AB et--→CN=b--→CD.

On s"intéresse donc à la distanceMN.

1.Démontrer que les coordonnées du vecteur---→MNsont (2-2b; 2-2a;-0,5a).

Par la relation de Chasles, on a :

--→AM+-→AC+--→CN =-a-→AB+-→AC+b--→CD =-a(0 ; 2 ; 0,5)+(2 ; 2 ; 0)+b(-2 ; 0 ; 0) =(2-2b; 2-2a;-0,5a)

2.On admet que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires.On admet également que la distance

MNest minimale lorsque la droite (MN) est perpendiculaire à la fois à la droite (AB) et à la droite

(CD). Démontrer alors que la distanceMNest minimale lorsquea=16

17etb=1.

D"après cequi est dit dans l"énoncé, la distance MN est minimale si et seulement si (MN)et (AB)sont

perpendiculaireset(MN) et (CD) sont perpendiculaires. Ceci équivaut à--→MNet-→ABorthogonauxet--→MNet--→CDorthogonaux, ce qui équivaut encore à--→MN·-→AB=0et--→MN·--→CD=0, ce qui équivaut au

système?2(2-2a)-0,5×0,5a=0 -2(2-2b)=0???4-4,25a=0

2-2b=0???a=4

4,25=1617

b=1

3.En déduire la valeur minimale de la distanceMNpuis conclure.

La distanceMNest minimale lorsquea=1617etb=1, et on a donc--→MN?0;217,-817?. Ainsi, la distance minimaleMNest donnée par MN=? ?0?2+?2 17? 2 +?-817? 2 =2? 17 17. Or 2? 17

17≈0,485071.

L"unité étant égale à 1 décamètre la distance minimale est donc environ 4,85>4 : la consigne est

respectée.

Antilles-Guyane518 juin 2019

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE34 points

Commun à tous lescandidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer sielle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctementjustifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun

point. Une absence de réponse n"est pas pénalisée. Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct?

O ;-→u,-→v?

On considère le nombre complexec=1

2eiπ

3et les points S et T d"affixes respectivesc2et1c.

1. Affirmation1 :Le nombrecpeut s"écrirec=1

4?1-i?3?.

FAUSSE.

On peut utiliser la forme trigonométrique de e

iπ

3=cos(π3)+isin(π3)=12+?

3

2i, d"où

c=1 2? 12+? 3 2i? 14?

1+i?3?

?=14?

1-i?3?

Remarques :

1)onauraitpu leconstater enremarquantquel"argument decestπ

3doncpour untelangle,sapartie

imaginaire (et sa partie réelle sont) est positive(s).

2)Ilestaussipossible(maisc"estpluslong)d"écrirelaformeexponentielle de1

4?1-i?3?etdevérifier

que l"on ne retombe pas surc.

N"oubliez pas qu"on peut vérifier nos calculs à la calculatrice, en passant de la forme exponentielle à

la forme algébrique (ou l"inverse) :RUN MAT // OPTN //CPLX (F3) //...

2. Affirmation2 :Pour tout entier natureln,c3nest un nombre réel.

VRAIE.

Pour tout entier natureln, on a

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