[PDF] Cours dAutomatique de la licence professionnelle “Technologies

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Cours d"Automatique de la licence professionnelle

"Technologies avanc

´ees appliqu´ees aux v´ehicules"

Olivier Bachelier

E-mail : Olivier.Bachelier@esip.univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34Sensibilisation `a des concepts de l"AutomatiqueR

´esum´eCe cours, initialement dispens

´e au sein du D´epartement de G´enie Electrique et Informatique Industrielle del"IUT de Poi-

tiers, s"adresse `a l"origine aux´etudiants de la licence professionnelleTechnologies avanc

´ees appliqu´ees aux v´ehicules.

Ces derniers ne se destinant pas

`a une´etude approfondie des concepts de l"Automatique, le pr´esent document aborde rapidement les bases de la repr

´esentation fr´equentielle, l"analyse et la commande des syst`emes lin´eaires. L"´el`eve int´eress´e

par plus ample information est invit ´e`a consulter quelques ouvrages [2,4,6,10,11,3,13,12,1,5,7]. Certaines parties de ce document sont inspir

´ees de [8,9], voire franchement emprunt

´ees. Ce cours correspond`a un volume horaire d"en- viron huit heures, c"est pourquoi certains points classiques ne sont pas abord ´es. Les notions fondamentales sont´etudi´ees bri

`evement et quelques approfondissements, justifications ou calculs sont renvoy´es en annexe`a l"adresse de l"´etudiant

motiv

´e par la discipline.

Connaissances pr

´ealables souhait´ees :int

´egrales,´equations diff´erentielles, calcul complexe.1 SENSIBILISATION`A DES CONCEPTS DE L"AUTOMATIQUETable des mati `eres1 Introduction `a l"Automatique4 1.1 D

´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2 Notion de syst

`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.3 Notion de boucle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.4 Quelques exemples concernant la boucle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.4.1 Douches collectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.4.2 Douche personnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.4.3 Mitigeur thermostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.4.4 R

´etroviseur`a r´eglage de position´electronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.5 Cadre de travail. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.6 N

´ec´essit´e d"une r´egulation´etudi´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.7 M

´ethodologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2 Mod ´elisation... de l"´equation diff´erentielle`a la fonction de transfert10

2.1 Pr

´esentation du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.2 Obtention de l"

´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.3 Transform

´ee de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2.4 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.5 Notion de causalit

´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.6 Association de fonctions de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.7 Fonctions de transfert en boucle ferm

´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3 R

´eponses des syst`emes lin´eaires17

3.1 D

´efinition de la r´eponse d"un syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3.2 R

´eponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.3 R

´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.3.1 R

´eponse indicielle d"un syst`eme canonique de premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.3.2 R

´eponse indicielle d"un syst`eme canonique de deuxi`eme ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3.3.3 Remarque sur les p

ˆoles des syst`emes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.3.4 Remarque sur les z

´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.3.5 Remarque sur les mod

`eles d"ordre´elev´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.4 Les r

´eponses fr´equentielles ou harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.4.1 D

´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.4.2 Lien avec la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.4.3 Diagramme de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.4.4 Lieu de Black ou de Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.4.5 Lieu de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

4 Stabilit

´e des syst`emes lin´eaires continus26

4.1 D

´efinition g´en´erale et intuitive de la stabilit´e d"un´etat d"´equilibre ou d"un syst`eme. . . . . . . . . . . .27

4.2 Influence sur le comportement entr

´ee/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

4.3 Crit

`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

4.4 Crit

`ere du revers pour la stabilit´e d"un syst`eme boucl´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

2 5 R

´eglage des syst`emes boucl´es29

5.1 Principe de la commande par retour unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

5.2 R

´egulation proportionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

5.2.1 Influence deAsur la stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

5.2.2 Influence deAsur la rapidit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

5.2.3 Influence deAsur la pr´ecision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

5.2.4 Influence deAet des int´egrateurs sur une erreur due`a une perturbation. . . . . . . . . . . . . .32

5.3 R

´egulateur PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

6 Conclusion34

Annexes35

A Point de fonctionnement et caract

´eristique statique35

B Principe de superposition37

C A propos de la transform

´ee de Laplace37

C.1 Quelques transform

´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

C.2 Remarques sur la transform

´ee de Laplace inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 D D

´emonstration de la formule de Black40

E Expression du gain statique40

F Influence des p

ˆoles sur la r´eponse d"un syst`eme41

F.1 P

ˆoles distincts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

F.2 P

ˆoles multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

G Fonction de transfert et r

´eponse harmonique43

H A propos du diagramme de Bode45

H.1 Quelques r

`egles simples de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

H.2 Construction du diagramme de Bode associ

´e au mod`ele complet du moteur. . . . . . . . . . . . . . . .49 I Perturbation en1/pqet position des int´egrateurs49

J Calcul d"un r

´egulateur par compensation de pˆole50

J.1 R

´egulateur PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

J.2 R

´egulateur PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

J.3 R

´egulateur PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

K M

´ethodes de Ziegler-Nichols52

K.1 M

´ethode de la r´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

K.2 M

´ethode de la juste oscillation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

K.3 Commentaires sur les deux m

´ethodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

L Filtrage de l"effet d

´eriv´e55

R

´ef´erences bibliographiques56

Index56

3 SENSIBILISATION`A DES CONCEPTS DE L"AUTOMATIQUE1 Introduction `a l"Automatique Cette partie resitue un peu le cadre de ce cours, propose les d ´efinitions pr´eliminaires`a l"´etude et met en´evidence les points qui seront abord

´es par la suite.

1.1 D

´efinition

La d

´efinition de l"Automatique que propose le "Petit Robert" est assez explicite sur ce que peutˆetre l"Automatique mˆeme

si sa simple lecture ne suffit pas pour analyser les grandes tendances de cette vaste discipline. La voici :

Automatique :ensemble desdisciplines scientifiques1et des techniques utilis

´ees pour laconception et l"emploi des

dispositifs2qui fonctionnentsans l"intervention d"un op

´erateur humain3.

On peut revenir sur les trois expressions soulign

´ees de cette d´efinition.1.disciplines scientifiques :ceci sugg`ere que l"Automatique requiert quelques activit´es th´eoriques afin de r´ealiser :-une mod

´elisation math´ematique d"un dispositif.-une analyse de ses propri

´et´es sur la base du mod`ele .-la conception d"une loi de commande toujours sur la base du mod

`ele.2.conception et emploi de dispositifs :ceci rel`eve en fait de la mise en oeuvre pouvant faire intervenir des disciplines

telles que l" ´electronique, l"informatique...3.sans l"intervention d"un op ´erateur humain :cette derni`ere expression fait apparaˆıtre la notion de syst`emes automa- tis

´es qui permettent :-d"am

´eliorer les performances d"un dispositif, son confort (exemples : climatisation, direction assist´ee).-d"am

´eliorer la s´ecurit´e (exemples : pilote automatique, freinage ABS).

Ne sont g

´en´eralement abord´es dans un cours d"Automatique que les aspects 1 et 3. Le point 2 est g´en´eralement sp´ecifique

au dispositif ´etudi´e et ne n´ecessite souvent pas l"expertise r´eelle d"un automaticien.

1.2 Notion de syst

`eme

En Automatique, la notion de syst

`eme est incontournable. La d´efinition qu"en donne l"automaticien se rapproche de celle classique emprunt

´ee`a la physique. G´en´eralement, le syst`emeest un dispositif qui fonctionne en interaction avec son

environnement g

´en´erant un ensemble de ph´enom`enes. Certaines grandeurs physiques de l"environnement agissent sur le

syst `eme. Elles sont appel´ees entr´ees. D"autres ´emanent du syst`eme et agissent sur l"ext´erieur. Elles sont appel´ees sorties.

Les signaux associ

´es aux entr´ees sont g´en´eralement not´es par la lettreuet les signaux associ´es aux sorties par la lettrey.

Les entr

´ees d"un syst`eme peuventa prioriˆetre modifi´ees. Il peut´egalement exister des entr´ees qui´echappent au contrˆole

et qui ne peuvent ˆetre modifi´ees. Elles sont appel´ees perturbationset sont not

´eesd. La figure1symbolise ce formalisme.

Fig. 1Syst`eme comprenantmentr´ees,psorties etrpertubations4

Dans la pratique, un syst

`eme peut correspondre`a un dispositif m´ecanique,´electronique, chimique... et il est facile de

le diff

´erencier de l"ext´erieur de mˆeme que de choisir quelles sont les entr´ees (exemples : une force ou un couple en

m

´ecanique, une tension ou un courant en´electronique, la concentration d"un produit initial en chimie) ou les sorties (une

vitesse ou un couple en m ´ecanique, une tension ou un courant en´electronique, une concentration d"un produit final en chimie). Comme exemples de perturbations, on peut citer une force li ´ee aux frottements avec l"air, des tensions parasites, des concentrations de produits n

´eglig´es ou d"impuret´es...

Il existe des syst

`emes qui ne sont pas physiques tels que des syst`emes´economiques et financiers et pour lesquels ce

formalisme peut para

ˆıtre moins´evident. De tels syst`emes, mˆeme s"ils peuvent exister dans l"industrie automobile, ne se

rencontrent pas sur un v

´ehicule.

1.3 Notion de boucle

Une notion fondamentale en Automatique est la notion de boucle que les

´electroniciens (qui sont les premiers`a avoir

formalis

´e cette notion) appellent contre-r´eaction. Le principe en est d"acqu´erir une information pr´esente sur les sorties et

de l"utiliser judicieusement pour modifier les entr ´ees. Le but de cette r´etro-action est d"obtenir un comportement souhait´e du syst

`eme, c"est-`a-dire, des signaux de sortie satisfaisants. L"utilisation de la boucle r´esulte du fait que les automaticiens

ont constat

´e que la modification convenable des sorties par une action sur les entr´ees, sans tenir compte des sorties,´etait

insuffisante.

Pour mieux se rendre compte de l"int

´erˆet de la boucle, on peut prendre l"exemple d"une automobile (voir figure2) qui lors d"un trajet, fait appara

ˆıtre des bouclages manuels (c"est le conducteur qui assure ces r´etro-actions lui-mˆeme) ou

automatiques (il est assist ´e par des dispositifs de s´ecurit´e ou de confort).Système à

Actionneurs

commander

Commande

MesuresPerturbations(vent, profil de la route)

(voiture)

Sorties(trajectoire,

niveau de la caisse, vitesse) (capteurs, yeux) (Calculateur, cerveau)

Spécifications sur le comportement

(tenue de route, oscillations de la caisse, vitesse désirée, confort, sécurité...)(suspension, mains, pieds)Entrées(action sur

le volant, les pédales)Fig. 2Boucles possibles correspondant au fonctionnement d"une voitureLorsqu"un automobiliste est au volant, la voiture, en interaction avec son environnement (dont le conducteur), peut

constituer un syst

`eme avec de nombreuses boucles. Ainsi, lorsqu"un d´efaut de la route ou un coup de vent entraˆıne

un d

´eplacement ponctuel lat´eral du v´ehicule (le syst`eme r´eagit`a une perturbation), alors l"oeil de l"automobiliste (entre

autres)luipermetdeprendreconsciencedud la trajectoire. Il s"agit l

`a d"une boucle manuelle. De mˆeme, si un trou g´en`ere une oscillation violente sur l"altitude de la

caisse, une suspension active peut r ´eduire cet inconfort en agissant sur l"amortisseur. Ceci est une boucle automatique.

Cette derni

`ere suit la plupart du temps un mod`ele math´ematique plus ou moins compliqu´e qui est appel´e loi de commande.

L"on dit aussi que le syst

`eme fonctionne en boucle ferm´ee.

A la vue de cet exemple, on peut comprendre l"importance de la boucle. Elle peut permettre d"assurer deux activit

´es

essentielles en Automatique :5 -l"asservissementqui consiste `a faire en sorte que les sorties se comportent comme des r´ef´erences donn´ees (tout du moins autant que faire ce peut).-la r

´egulationqui consiste

`a tenter de r´eduire l"effet des perturbations sur les sorties. Dans les deux cas, certaines performances sont souvent requises telles que :-la stabilit

´e-le temps de r

´eponse-l"absence d"oscillations des sorties

-la pr

´ecisionCes propri

´et´es seront mieux explicit´ees au cours des divers chapitres.

1.4 Quelques exemples concernant la boucle

1.4.1 Douches collectives

Une douche collective est sch

´ematis´ee par la figure3.fixée a priori

Température de l'eau fixeRéservoir d'eau

à températureFig. 3Exemple de syst`eme en boucle ouverteL"entr

´ee du syst`eme est la temp´erature de l"eau du reservoir. L"eau s"´ecoule dans le syst`eme et sort des pommes`a une

temp

´erature (c"est la sortie) qui n"est pas modifiable. Aucune information sur cette temp´erature de sortie n"est utilis´ee au

niveau du r ´eservoir. Il s"agit donc l`a d"un syst`eme en boucle ouvertec"est- `a-dire sans boucle.

1.4.2 Douche personnelle

Le fonctionnement d"une douche manuelle est lui repr

´esent´e sur la figure4.

Réservoir

Arrivée

d'eau froide

Action manuelle sur le mitigeurd'eau chaudeFig. 4Exemple de syst`eme en bouclage manuelLa personne prenant sa douche peut cette fois-ci jouer sur le mitigeur pour am

´eliorer la temp´erature de l"eau. En fonction de sa sensation, elle actionne les robinets jusqu"au confort souhait ´e. Cette boucle est donc manuelle et non automatique. La r

´eponse en temp´erature d"un tel syst`eme, c"est-`a-dire l"´evolution de la temp´erature de sortie au cours du temps, est

g ´en´eralement de la forme donn´ee par la figure5. 6

Température ambiante

Température souhaitée

oscillationsretard purtemps t°Fig. 5Evolution de la temp´erature de l"eau au cours du tempsLa temp

´erature n"´evolue pas dans un premier temps car les tuyaux sont emplis d"eau`a temp´erature ambiante. On parle de

retard purdu syst `eme.

Puis, en raison des manoeuvres successives de la personne sur les robinets, l"eau devient alternativement chaude et froide

jusqu"

`a ce que la personne trouve un compromis satisfaisant. La dur´ee des oscillationsest d"autant plus longue que la

personne r ´eagit vivement et est maladroite.Remarque 1: en Ecosse, la strat ´egie pour´eliminer le retard pur et les oscillations consiste`a fixer la temp´erature souhait

´ee`a la valeur de la temp´erature ambiante, ce qui a aussi l"avantage de satisfaire des crit`eres´economiques.1.4.3 Mitigeur thermostatique

Pour plus de confort, le particulier peut aujourd"hui installer, au niveau de sa douche, un mitigeur thermostatique qui

r

´ealise un asservissement en temp´erature. Ce dispositif correspond`a une boucle automatique qui permet`a la fois de

diminuer le temps de r ´eglage (en´evitant les oscillations) et de faire des´economies d"eau (voir figure6).

Mitigeur thermostatique

Consigne

Eau chaude

Eau froidet°

consigne ambiante t° t° tFig. 6Exemple de syst`eme avec boucle automatique1.4.4 R ´etroviseur`a r´eglage de position´electronique

Supposons que deux personnes utilisent le m

ˆeme v´ehicule et que l"ordinateur de bord de ce dernier propose`a chacun de m

´emoriser une position pour le r´etroviseur. Cette position est caract´eris´ee par deux angles et chacun de ces deux angles

doit

ˆetre`a la bonne valeur lorsque le conducteur demande sa position pr´ef´er´ee. La rotation du r´etroviseur est assur´ee

gr

ˆace`a deux petits moteurs`a courant continu (un pour chaque angle). Le principe de r´eglage d"un angle en fonction de la

postion souhait

´ee est donn´e par la figure7.

7

Bloc de

commandeRétroviseur+ -tension tensionangle souhaité (exprimé par une tension)

Moteur

capteurAmplificateuru y cangle réel en radians système

yFig. 7boucle automatique de r´eglage d"un angle de r´etroviseurOn note qu"il convient de ramener la sortie sur l"entr

´ee et de modifier l"excitation du moteur en fonction de l"´ecart entre l"angle souhait

´e et celui obtenu. Pour calculer cet´ecart, il faut sp´ecifier la valeur souhait´ee par une tension et convertir

l"angle effectif en tension, ce qui est le r ˆole du capteur. Lorsque l"angle effectif est celui escompt´e, l"´ecart s"annule et le moteur assurant la rotation n"est plus command ´e. On verra plus tard que peuvent se cacher des blocs assez complexes derri `ere ce sch´ema de principe.

Il faut noter que dans le cas d"un syst

`eme boucl´e, on distingue les entr´ees du syst`eme en boucle ferm´ee qui sont ap- pel

´ees consigneset g

´en´eralement not´eesyc(t)(ici, la tension correspondant`a l"angle souhait´e) des entr´ees du syst`eme

en boucle ouverte (c"est-

`a-dire le proc´ed´e compos´e ici de l"amplificateur, du moteur et du r´etroviseur) qui sont appel´ees

commandeset restent not

´eesu(t)(ici, la tension d"induit du moteur).

On retrouve ce style de probl

`eme dans le cas de l"asservissement de l"inclinaison d"une antenne parabolique.

1.5 Cadre de travail

On vient de voir que l"

´etude des syst`emes conduisait`a s"int´eresser`a des signaux d´ecrivant l"´evolution de grandeurs

physiques (les entr

´ees et les sorties notamment). On distingue plusieurs automatiques selon la nature des signaux et des

mod `eles utilis´es.

?Ainsi les signaux continus peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle donn´e alors que d"autres signaux sont

susceptibles de prendre uniquement certaines valeurs bien d ´etermin´ees. Sur la base de cette diff´erence, on distingue l"Au- tomatique des syst `emes`a´ev´enements (ou´etats) continusde l"Automatique des syst `emes`a´ev´enements (ou´etats) discrets.

Seul le cas des

´ev´enements continus sera envisag´e dans ce cours.

?Une autre distinction tout aussi fondamentale se fait sur le temps. En effet, les signaux peuventˆetre d´efinis`a tout

instant du temps ou simplement connusquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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