[PDF] Application du Simplexe Classique de Dantzig à un Problème





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Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires

Points extrêmes. Forme standard bases. Bilan. Programmation Linéaire. Cours 1 : programmes linéaires



Programmation linéaire et Optimisation

La forme standard associée au primal (apr`es introduction des variables d'écart) aura m = 1000 contraintes pour n = p + q = 1100 inconnues. L'algo- rithme du 



Support de cours : Introduction à la programmation linéaire

On peut toujours transformer la forme canonique en forme standard en ajoutant des variables d'écart. UPEC - Master ScTIC. 4. Page 6. Forme canonique maxcx.



Chapitre 4 Formes générale canonique et standard dun probl`eme

Dans ce chapitre nous définissons la forme générale d'un probl`eme d'optimisation linéaire



Fondements de la programmation linéaire

En résolvant le problème de cet exemple sous sa forme standard on obtiendrait comme solution de base réalisable optimale (2



Recherche opérationnelle

Un programme linéaire (PL) est un probl`eme d'optimisation consistant `a On passe de la forme canonique `a la forme standard en ajoutant dans.



Recherche opérationnelle

III.1.2. Forme standard d'un programme linéaire. 10. III.1.3. Variables d'écart. 11. III.1.4. Passage entre les formes (Normalisation de la forme canonique).



LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE

Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit 



Programmation linéaire

Forme standard d'un problème de programmation linéaire. Problème. [1 p. 5]. Maximiser: 5*x1 + 4*x2 + 3*x3. Sous les contraintes: 2*x1 + 3*x2 +.



Application du Simplexe Classique de Dantzig à un Problème

Sous cette forme il n'y a pas de contraintes d'égalité c'est-à-dire I2 = Ø et J2 = Ø . 1.3.3 Forme standard. Un Programme Linéaire (PL) est dit sous forme 



Formes générales d’un programme linéaire - Techniques de l'Ingénieur

3 3 Forme standard et forme canonique d’un programme linéaire Forme standard Dé?nition 5 (Forme standard) Un programme linéaire est sous forme standard lorsque toutes ses contraintes sont des égalités et toutes ses variables sont non-négatives Représentation matricielle max cT x s c Ax= b x 0 nvariables mcontraintes m



Les conditions de formulation d’un PL

Un programme linéaire consiste à trouver le maximum ou le minimum d’une forme linéaire dite fonction objectif en satisfaisant certaines équations et inégalités dites contraintes En langage mathématique on décrira de tels modèles de la manière suivante : Soient N variables de décision x 1 x 2 x n



Fondements de la programmation linéaire - Université Laval

Fondements de la programmation linéaire Généralités Notations et définitions Propriétés du problème de programmation linéaire Théorème fondamental de la programmation linéaire Représentation géométrique d’une solution de base réalisable Exemples Illustration de la notion de base 2



Quelle est la forme générale d’un programme linéaire ?

Formes générales d’un programme linéaire Il s’agit d’un problème de programmation linéaire, encore appelé programme linéaire, écrit sous la forme suivante : Les valeurs réelles c , b et aij pour et , sont données. L’ensemble est l’ensemble des indices de contraintes avec card?? ( I ) = m. Autrement dit, il y a m contraintes.

Quels sont les fondements de la programmation linéaire ?

Fondements de la programmation linéaire Généralités Notations et définitions Propriétés du problème de programmation linéaire Théorème fondamental de la programmation linéaire Représentation géométrique d’une solution de base réalisable Exemples Illustration de la notion de base 2 Généralités sur la programmation linéaire

Comment fonctionne un programme linéaire qui suit les règles ?

Un programme linéaire qui suit les règles est dit de forme canonique. L’algorithme du simplexe ne peut que s’appliquer sur des programmes linéaires sous la forme canonique. Un problème de Maximisation, sous contraintes Inférieure ou égale, dont toutes les variables sont strictement positives.

Qu'est-ce que la programmation linéaire ?

Généralités sur la programmation linéaire La programmation linéaire traite de manière générale d'un problème d'allocation de ressources limitéesparmi des activités concurrentes et ce d'une façon optimale. La programmation linéaire emploie un modèle mathématique qui décrit le problème réel.

??????? ??? S???????

MÉMOIRE DE MASTER

En premier lieu à ma chère mère et à mon cher père qui m'ont toujours comblé de leur

amour, leur bonté et leur grande aection, Farida, Kaltouma, Ouiza, Nadia, Roza, Taous, Amel, Assia et Linda,

Mustapha, Hamza et Hocine,

À ??? ????x ?????

Sid Ali, Mourad, Soane et Yahia,

À ??? ???? ????? ?????? ?? ?? ??x

Ichrak, Manel, Maroua, Selma, Abd Raouf, Ouassim, Houssam, Iliasse et Sami, Ouafa, Lamia, Malika, Sabrina, Linda, Saida, Lila et Zhor. me?O ARA? ?? ?'? ??? ??? ?'??????? ?'ê???

Exemple de modelisation

x

1+ 2x2140

3x1+ 2x2160

x

10?x20:

? ? ????x1+????x2?

8>>>>>>>>><

>>>>>>>>:maxZ= 1000x1+ 1200x2 s:c x

1+ 2x2140

3x1+ 2x2160

x

10; x20?????

8 >>>>>>>>>>>>>>>:max

Z(x1;:::;xn) =c1x1+:::+cnxn=nP

j=1c jxj# s:c nP j=1a ijxj=ai1x1+:::+ainxnbi;8i2I1(contraintes inegalites) n P j=1a x j08j2J1(contraintes de signe) x jde signe quelconque8j2J2(contraintes de signe)????? 8 >>>>>:max

Z(x) =cTx=c1x1++cnxn

s:c Axb x0????? ??x= (x1;:::;xn)T2Rn?c= (c1;:::;cn)T2Rn?b= (b1;:::;bm)T2Rm ??A??? ??? ??????? ?? ??????mn????? ??? ? A=0 B B@a

11a12::: a1n??????

a m1am2::: amn1 C CA

8>>>>>><

>>>>>:max

Z(x) =cTx

s:c Ax=b x0????? ???? ????? ??????I1==O??J2?=O? (P)8 >>>>>:maxZ=cTx s:c Ax=b x0????? ??b2Rm;A2Rmn;x2Rnet c2Rn?

Denition 1:1:Solution realisable????

Hypothese? ?? ??????? ??? ?? ??????? ? ??? ?? ??????mn????rang(A) =mn? m P i=1a iki= 0????ki= 0?i= 1;:::;m:

Denition 1:2: Ensemble des indices de base????

Remarque 1:1

A= (B;E)??B??? ??????? ??????? ?? ???? ??E??????? ???? ???? ?? ?????

Denition 1:3: Solution de base realisable???

Ax=b????xB=B1b??xE= 0:

Remarque 1:2:???

Denition 1:4: Solution degeneree et non degeneree??? D

R=fx2RnAx=b; x0g;?????

Denition 1:5:Ensemble convexe????

8x?y2S??82[0;1]; x+ (1)y2S

Denition 1:6:Combinaison lineaire convexe????

y=nP i=1 ixi;????i0;8i2 f1;:::;ng??nP i=1 i= 1

Denition 1:7: Polyedre et Polytope????

jxjj ;8j2 f1;:::;ng??8x2S

Denition 1:8: Point extr^eme????

????S?? ??????? ??? ???? ??Rn: x??? ??? ????? ??????? ?? ?????? ??S?? ???? x=x1+ (1)x2?8x1;x22S??2]0;1[?????x=x1=x2:

Proposition 1:1:????

Theoreme 1:1:????

Theoreme 1:2:????

??DR:

Transformation d

0une inequation de signe plus petit ou egal()????

n X j=1a jxjb????? 8 :n P j=1a jxj+s=b s2Rnet s0????? ??s=bnP j=1a

Transformation d

0une inequation de signe plus grand ou egal()????

n X j=1a jxjb????? 8 :n P j=1a jxjs=b s2Rnet s0?????? ??s=nP j=1a

Coecients des variables d

0ecart

Forme standard d

0un modele de programmation lineaire

8>>>>>>>><

>>>>>>>:OptimiserZ=nP i=1c jxj s:c nP j=1a ijxjbii= 1;:::m x j0j= 1;:::;n?????? 8 >>>>>>>:OptimiserZ=nP i=1c jxj s:c nP j=1a ijxj+s=bii= 1;:::m x j0; s0j= 1;:::;n??????

A= (B;E)

x= (xB;xE) 8 >>>>>:maxZ=cTx s:c Ax=b x0??????

Ax= (B;E)"

x B x E# =b )Ax=BxB+ExE=b?????? B

1BxB+B1ExE=B1b

x

B=B1b??????

Determination de la variable entrante

Calcul des co^uts reduits

x

B+B1ExE=B1b

)xB=B1bB1ExE??????

Z=cBxB+cExE

)Z=cB(B1bB1ExE) +cExE )Z=cBB1b+ (cEcBB1E)xE B 1E=X j2NB

1aj??????

Z=cBB1b+ (cEcBB1E)xE

)Z=cBB1b+cExEcBB1ExE

Z=Z0+P

j2Nc jxjP j2Nc

BB1ajxj

)Z=Z0+P j2N(cjcBB1aj)xj )Z=Z0+X j2N(cjzj)xj?????? Y

E=cEcBB1E

Y j=cjzj?????? z ???? ????? ???Yj=cjzj>0? ???? ?? ??? ?? ? ??????? ? ????? ?????? ???? ?? ????? ??

ICritere d0entree d0une variable dans la base???

c rzr=maxj2Nfcjzjcjzj>0g: c rzr=minj2Nfcjzjcjzj<0g:

Remarque 1:3:

Determination de la variable sortante

Ax=b,BxB+ExE=b

x

B=B1bB1ExE

)xB=B1bB1arxr )xB=brxr?????? x B1=b

11rxr0

x B2=b

22rxr0

x Bk=b kkrxr0 x Bm=b mmrxr0 ???????b i

ICritere de sortie d0une variable de la base???

k kr=min1im(b i ir; ir>0) k kr????i=k?

Z=Z0+xr(crzr)

)Z=Z0+b k kr(crzr)?????? b Z > Z 0 Determination des nouvelles valeurs des variables de base k x Bi=b iirxr; i= 1;:::m:?????? x Bi=b i ir krb k; i= 1;:::;m?????? ?? ?????? ???xBk=b kkrxr=b k kr krb

Remarque 1:4:

c ???kr;?? ? ? k kr(crzr) b Z=Z+b k kr(crzr):?????? ?? ?? ???? ?????? ???zj???? ??????? ????? ????? ? ?????? ?? ?? ????? ????? ? kj kr(crzr) bzj=zj+ kj kr(crzr):?????? c jbzj= (cjzj) kj kr(crzr):?????? c jzj0:?????? c jzj0:??????

Theoreme1:1:

???? ??? ?????? ???? ????Z?? ? ???ij0? ???? ?? ???Z!+1 ???ij0? ???? ?? ???Z! 1

Etape initiale???

Etape principale???

max min 1im(b i ir; ir>0) =b k x

B=B1b?Z=cBxB=cBB1b?zj=cBB1aj??cjzj:

Tableau 1

Basex Bx

ES:B:R

c jzj0c jcBB1ajZ=cBxBx BIB 1ajx

Operation de pivotage

x Bk=b k kr bkj= kj kr; j= 1;:::;n??bkr= 1?j=r bij=ijirbkj=ijir kj kr bir= 0; i= 1;2;:::;m??bkr= 1?j=r bxBi=xBiirb k kr=b iirb k kr? kj kr; c jbzj= (cjzj) kj kr(crzr) b Z=Z+b k kr(crzr)?

Regle de rectangle

Nouvelle valeur?Ancienne valeur?Produit deselements dans les coins opposesLe pivot

Enonce

Mise en equations

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:maxZ= 8x1+ 4x2 x 1200
x 2300
x

1+x2600

2x1+x2800

x

10; x20??????

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:maxZ= 8x1+ 4x2 x

1+x3= 200

x

2+x4= 300

x

1+x2+x5= 600

2x1+x2+x6= 800

x j0; j= 1;:::6?????? x

1= 0; x2= 0; x3= 200?x4= 300; x5= 600; x6= 800:

1x 2x 3x 4x 5x

6S:B:R

?c jzj??????? ?x ?x ?x ?x maxfcjzjg=maxfc1z1;c2z2g min (b i ir; ir>0) =min(b i i1; i1) =min(

200;600;8002

=minf200;600;400g= 200 =b 1 ?? ?????11= 1?

Tableau 2

1x 2x 3x 4x 5x

6?????

?c ?x ?x ?x ?x ?? ??????? ? ????? ??? ??????? ???????c2z2= 4>0 1x 2x 3x 4x 5x

6?????

?c ?x ?x ?x ?x c

3z3=8<0??c4z4=4<0?

x

B1=x1= 200

x

B2=x2= 300

x

B3=x5= 100

x

B4=x6= 100

Z??? ??????? ????x1= 200??x2= 300?? ????2800:

Denition 2:1: Ensemble flou????

A(x) =8

:1si x2A

0si x =2A?????

e A=x; eA(x)x2X:????? eA? e

Remarque 2:1:????

Denition 2:2: Ensemble flou convexe????

~A(x1+ (1)x2)min(~A(x1); ~A(x2))?8x1;x22X??82[0;1]?

Denition 2:3: Ensemble flou normalise????

Coupe de niveau????

eA???? ?? ????? ?? ????? ????? ??

Formellement?

e

A=fx2X~A(x)g

Support d0un ensembleeA????

eA????SuppeA

Formellement:

Supp eA =fx2XeA(x)>0g

Hauteur d0un ensemble

oueA???? eA????HauteA

Formellement:

Haut eA =sup x2X(~A(x))

Noyau d0un ensembleeA????

eA??X????NoyeA

Formellement:

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18
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