[PDF] Fondements de la programmation linéaire - Université Laval





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Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires

Points extrêmes. Forme standard bases. Bilan. Programmation Linéaire. Cours 1 : programmes linéaires



Programmation linéaire et Optimisation

La forme standard associée au primal (apr`es introduction des variables d'écart) aura m = 1000 contraintes pour n = p + q = 1100 inconnues. L'algo- rithme du 



Support de cours : Introduction à la programmation linéaire

On peut toujours transformer la forme canonique en forme standard en ajoutant des variables d'écart. UPEC - Master ScTIC. 4. Page 6. Forme canonique maxcx.



Chapitre 4 Formes générale canonique et standard dun probl`eme

Dans ce chapitre nous définissons la forme générale d'un probl`eme d'optimisation linéaire



Fondements de la programmation linéaire

En résolvant le problème de cet exemple sous sa forme standard on obtiendrait comme solution de base réalisable optimale (2



Recherche opérationnelle

Un programme linéaire (PL) est un probl`eme d'optimisation consistant `a On passe de la forme canonique `a la forme standard en ajoutant dans.



Recherche opérationnelle

III.1.2. Forme standard d'un programme linéaire. 10. III.1.3. Variables d'écart. 11. III.1.4. Passage entre les formes (Normalisation de la forme canonique).



LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE

Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit 



Programmation linéaire

Forme standard d'un problème de programmation linéaire. Problème. [1 p. 5]. Maximiser: 5*x1 + 4*x2 + 3*x3. Sous les contraintes: 2*x1 + 3*x2 +.



Application du Simplexe Classique de Dantzig à un Problème

Sous cette forme il n'y a pas de contraintes d'égalité c'est-à-dire I2 = Ø et J2 = Ø . 1.3.3 Forme standard. Un Programme Linéaire (PL) est dit sous forme 



Formes générales d’un programme linéaire - Techniques de l'Ingénieur

3 3 Forme standard et forme canonique d’un programme linéaire Forme standard Dé?nition 5 (Forme standard) Un programme linéaire est sous forme standard lorsque toutes ses contraintes sont des égalités et toutes ses variables sont non-négatives Représentation matricielle max cT x s c Ax= b x 0 nvariables mcontraintes m



Les conditions de formulation d’un PL

Un programme linéaire consiste à trouver le maximum ou le minimum d’une forme linéaire dite fonction objectif en satisfaisant certaines équations et inégalités dites contraintes En langage mathématique on décrira de tels modèles de la manière suivante : Soient N variables de décision x 1 x 2 x n



Fondements de la programmation linéaire - Université Laval

Fondements de la programmation linéaire Généralités Notations et définitions Propriétés du problème de programmation linéaire Théorème fondamental de la programmation linéaire Représentation géométrique d’une solution de base réalisable Exemples Illustration de la notion de base 2



Quelle est la forme générale d’un programme linéaire ?

Formes générales d’un programme linéaire Il s’agit d’un problème de programmation linéaire, encore appelé programme linéaire, écrit sous la forme suivante : Les valeurs réelles c , b et aij pour et , sont données. L’ensemble est l’ensemble des indices de contraintes avec card?? ( I ) = m. Autrement dit, il y a m contraintes.

Quels sont les fondements de la programmation linéaire ?

Fondements de la programmation linéaire Généralités Notations et définitions Propriétés du problème de programmation linéaire Théorème fondamental de la programmation linéaire Représentation géométrique d’une solution de base réalisable Exemples Illustration de la notion de base 2 Généralités sur la programmation linéaire

Comment fonctionne un programme linéaire qui suit les règles ?

Un programme linéaire qui suit les règles est dit de forme canonique. L’algorithme du simplexe ne peut que s’appliquer sur des programmes linéaires sous la forme canonique. Un problème de Maximisation, sous contraintes Inférieure ou égale, dont toutes les variables sont strictement positives.

Qu'est-ce que la programmation linéaire ?

Généralités sur la programmation linéaire La programmation linéaire traite de manière générale d'un problème d'allocation de ressources limitéesparmi des activités concurrentes et ce d'une façon optimale. La programmation linéaire emploie un modèle mathématique qui décrit le problème réel.

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Fondements

de la programmation linéaireGénéralités

Notations et définitionsPropriétés du problème de programmation linéaireThéorème fondamental de la programmation linéaireReprésentation géométrique d'une solution de base réalisableExemplesIllustration de la notion de base

2 Généralités sur la programmation linéaire La programmation linéaire traite de manière générale d'un problème d'allocation de ressources limitéesparmi des activités concurrentes et ce d'une façon optimale.La programmation linéaire emploie un modèle mathématique qui

décrit le problème réel.L'adjectif "linéaire"indique que toutes les fonctions mathématiques

de ce modèle sont linéaires tandis que le terme "programmation" signifie essentiellement planification 3

Notations et définitions

Le problème général de programmation linéaire est la recherche de l'optimum (minimum ou maximum) d'une fonction linéaire de n variables x j (j=1,2,...,n) liées par des équations ou inéquations linéaires appelées contraintes.Parmi les contraintes on distingue généralement celles du type x j 0 (ou x j

0), imposant à une partie ou à l'ensemble des variables d'être

non négatives (ou non positives). Les variables peuvent prendre n'importe quelles valeurs réelles satisfaisant aux contraintes. Certaines des variables sont remplacées par leurs opposées pour que les contraintes du type x j

0 ou x

j

0 soient toutes des conditions de

non-négativité. Certaines des inéquations ont été multipliées par -1 de façon que toutes les inégalités soient dans le même sens (par exemple). 4

Formulation algébrique

n

Minimiser (ou maximiser) z=c

j x j j=1 n

Sujet à:a

ij x j b j , i = 1, 2, ..., p j=1 n a ij x j =b j , i = p + 1, p + 2, ..., m j=1 x j

0, j = 1, 2, ..., q

x j quelconque, j = q + 1, q + 2, ..., n, où les constantes c j , a ij et b j sont des nombres réels.(fonction objective) contraintes 5 1 e formulation équivalente n

Minimiser (ou maximiser) z =c

j x j j=1 n

Sujet à:a

ij x j b j , i = 1, 2, ..., m j=1 x j

0, j = 1, 2, ..., n.

Forme canonique

Note :

Utilisée en théorie de la dualité.

6 2 ième formulation équivalente n

Minimiser (ou maximiser) z =c

j x j j=1 n

Sujet à:a

ij x j =b j , i = 1, 2, ..., m j=1 x j

0, j = 1, 2, ..., n.

Forme standard

Note :

Servira au développement des méthodes de calcul. 7 3 ième formulation équivalente

Minimiser z = c

t x sujet à Ax = b x 0 où c = [c 1 , c 2 , ..., c n t b = [b 1 , b 2 , ..., b m t et A = [a ij , i = 1, 2, ..., m et j = 1, 2, ..., n] est une matrice de dimension m x n.

Forme standard matriciel

Note :

Les formulations précédentes sont équivalentes; les opérations suivantes sont là pour nous en convaincre. 8 Opérations à effectuer pour passer d'une forme à l'autre

Opération A

En utilisant la relation

minimum f(x) = -maximum [-f(x)] dans laquelle f(x) représente la fonctionnelle linéaire à optimiser, on peut toujours se ramener à un problème de minimisation (ou de maximisation). Opération BUne variable de signe quelconque, x, peut toujours être remplacée par deux variables non négatives x+ et x-. Il suffit de poser x = x+ - x- où x+ = maximum [0, x], x- = maximum [0, -x]. Les variables x+ et x- ne peuvent pas faire partie d'un même "programme de base" i.e. l'une d'entre elles est nécessairement nulle dans l'une, au moins, des solutions optimales du problème.

Note :

9 Opérations à effectuer pour passer d'une forme à l'autre

Opération C

Toute équation de la forme

n a ij x j =b i j=1 peut être remplacée par les deux inéquations n a ij x j b i j=1 n -a ij x j -b i j=1 10 Opérations à effectuer pour passer d'une forme à l'autre

Opération D

Toute inéquation, par exemple

n a ij x j b i j=1 peut être remplacée par les relations n a ij x j -e i =b i j=1 e i 0 obtenues par l'introduction d'une variable supplémentaire non négative appelée variable d'écart et affectée d'un coefficient nul dans la forme à optimiser. 11

Exemple 2.2.1

- Mise sous forme canonique Le problème suivant est déjà sous forme canonique :

Min Z = 2x

1 + 3x 2 -x 3 sous les contraintes: x 1 0, x 2 0, x 3 0, 2x 1 + x 2 -x 3 100
x 1 + x 2 + x 3 80
12

Exemple 2.2.2

- Mise sous forme canonique Soit le problème de programmation linéaire suivant :

Max C = 6x

1 -3x 2 + x 3

Min -C = -6x

1 + 3x 2 -x 3 sous les contraintes: sous les contraintes: x 1 0, x 2 0, x 1 0, x 2 0, 4x 1 + 2x 2 + x 3 65 4x
1 + 2x 2 + x 3 65
x 1 + x 2quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18
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