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Université de Caen

Sur l"ad

´equation`a une loi de probabilit´e avecChristophe Chesneau https://chesneau.users.lmno.cnrs.fr/Caen, le 10 Avril 2018

Table des matières

Table des matières

1 Point de départ5

2 Analyses graphiques 7

3 Tests statistiques d"adéquation à une loi 25

3.1 Test du Chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2 Test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3 Test de Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4 Exercices37

5 Solutions43

Note L"objectif de ce document est de présenter les principaux outils statistiques et commandes

R utilisés pour juger de l"adéquation de la distribution des valeurs d"un caractère à une loi

de probabilité.

Contact :christophe.chesneau@gmail.com

Bonne lecture!C. Chesneau3

1 Point de départ

1 Point de départ

On observe la valeur d"un caractèreXpour chacun desnindividus d"un échantillon. Ces observa-

tions constituent les données :x1;:::;xn. On modélise alorsXcomme unevar(en gardant la notation

Xpar convention). SoitLune loi de probabilité étant possiblement en adéquation avec la loi inconnue

deX. La problématique est la suivante : Est-ce que ces données nous permettent d"affirmer queXne suit pas la loiL(avec un faible risque de se tromper)? Pour répondre à cette question, on distingue deux approches complémentaires :

Analyses graphiques.

Tests statistiques adaptées reposant sur les hypothèses : H

0: "Xsuit la loiL" contreH1: "Xne suit pas la loiL".

Dans ce document, nous mettons en oeuvre ces tests en utilisant la p-valeur.

La p-valeur est le plus petit réel2]0;1[calculé à partir des données tel que l"on puisse se

permettre de rejeterH0au risque100%. Autrement écrit, la p-valeur est une estimation ponctuelle de la probabilité critique de se tromper en rejetantH0alors queH0est vraie. Les logiciels actuels travaillent principalement avec cette p-valeur.C. Chesneau5

2 Analyses graphiques

2 Analyses graphiques

Cas de caractères qualitatifs ou quantitatifs "discrets"

SoitXun caractère non chiffré (qualitatif) ou chiffré (quantitatif) prenant un ensemble dénom-

brable de valeurs (possiblement infini). L"analyse graphique la plus pertinente pour juger de l"adéqua-

tion de la loi deXavecLrepose sur le schéma suivant : On trace le barplot des fréquences correspondantes aux données.

On superpose les valeurs de la "densité" associée à la loiLen estimant éventuellement les

paramètres inconnus de celle-ci.

Exemple

Exemple 1.

On souhait esa voirsi les en tréesà l"hôpital p ourune certaine maladie son tréparties au

hasard dans l"année ou bien si certains mois sont plus propices à la maladie. On examine le mois

d"entrée d"un échantillon de120porteurs de la maladie étudiée. Les résultats sont :Mois d"entrée 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre d"entrées 18 16 8 10 6 4 4 9 11 10 12 12

Peut-on affirmer que "les entrées ne se font pas au hasard dans l"année" (donc que "certains mois

sont plus propices à la maladie")?

Solution 1.

Soit Xlavarégale au mois d"entrée à l"hôpital d"un porteur de la maladie. Par l"énoncé,

on observe la valeur deXsur chacun desnindividus (porteurs de la maladie) d"un échantillon avec n= 120:(x1;:::;xn)(avecxi2 f1;:::;12g). On forme alors un vecteur des effectifs (n1;n2;:::;n12) = (18;16;:::;12).

Dire que les entrées se font au hasard dans l"année signifie queXsuit la loi uniformeU(f1;:::;12g):

P(X=i) =112

; i2 f1;:::;12g:

La problématique est la suivante : est-ce que ces données nous permettent d"affirmer queXne suit pas

la loiL=U(f1;:::;12g)?C. Chesneau7

2 Analyses graphiques

Pour touti2 f1;:::;12g, une estimation (ponctuelle) deP(X=i)est la fréquenceni=n.

Ainsi, pour une analyse graphique, on peut

tracer le barplot des fréquences correspondantes aux données, superposer les valeurs de la "densité" associée à la loi uniformeU(f1;:::;12g).

On propose les commandes :

nb = c(18, 16, 8, 10, 6, 4, 4, 9, 11, 10, 12, 12) bar = barplot(nb / 120, col = "white") points(bar, rep(1 / 12, 12), type = "h")Cela renvoie : Les différences observées laissent penser queXne suit pas une loi uniforme.C. Chesneau8

2 Analyses graphiques

Exemple 2.

Dans un v erger,on étudie le comp ortementdes insect esquand ceux-ci attaquen tles fruits.

SoitXle caractère qui dénombre le nombre d"attaques d"insectes sur un fruit pris au hasard. Une étude

statistique antérieure montre que, si les attaques se font de façon indépendante les unes des autres, on

peut modéliserXcomme unevarsuivant une loi de PoissonP()avecinconnu. On considère un échantillon de300fruits et on compte le nombre d"attaques sur le fruit. Les résultats sont :Nombre d"attaques 0 1 2 3 4 5 6 7 Nombre de fruits attaqués 60 105 65 47 15 4 3 1 Peut-on dire que le comportement des insectes est grégaire?(on dit que le comportement des

insectes est grégaire quand chacun d"entre eux a tendance à se comporter comme le voisin et à attaquer

le même fruit; dans ce cas,Xne suit pas une loi de Poisson).

Solution 2.

P arl"énoncé, on observ ela v aleurde Xsur chacun desnindividus (fruits) d"un échantillon avecn= 300:(x1;:::;xn)(avecxi2N). On forme alors un vecteur des effectifs (n1;n2;:::;n8) = (60;105;:::;1). Dire queXsuit la loi de PoissonP(), avecinconnu, signifie que :

P(X=i) =eii!; i2N:

Pour évaluer la loi de Poisson la plus adaptée à notre contexte, il faut estimerà l"aide des données.

CommeE(X) =, la méthode des moments nous assure qu"une estimation deestx=1n n X i=1x i=060 + 1105 + 265 + 347 + 415 + 54 + 63 + 71300 = 1:603333:

Ainsi, la problématique est la suivante : est-ce que ces données nous permettent d"affirmer queXne

suit pas la loiL=P(1:603333)? Pour touti2 f0;:::;7g, une estimation deP(X=i)est la fréquenceni+1=net une estimation de

P(X8) = 1P(X7)est :

18X i=1n in :C. Chesneau9

2 Analyses graphiques

Ainsi, pour une analyse graphique, on peut

tracer le barplot des fréquences correspondantes aux données, superposer les valeurs de la "densité" associée à la loi de poissonP(1:603333).

On propose les commandes :

nb = c(60, 105, 65, 47, 15, 4, 3, 1, 0) bar = barplot(nb / 300, col = "white") lambda = sum((0:8) * nb) / 300 prob = c(dpois(0:7, lambda), 1 - ppois(7, lambda)) points(bar, prob, type = "h")Cela renvoie :

Les différences observées laissent penser queXsuit une loi de Poisson, remettant ainsi en cause le

comportement grégaire des insectes.C. Chesneau10

2 Analyses graphiques

Cas de caractères quantitatifs "continus"

SoitXun caractère chiffré (quantitatif) prenant un ensemble indénombrable de valeurs. Les ana-

lyses graphiques possibles pour juger de l"adéquation de la loi deXavecLsont nombreuses. Les méthodes usuelles sont :

Méthode de l"histogramme :On t racel"hi stogrammed esfréquenc escorresp ondantesau xdonnées.

Puis on superpose les valeurs de la "densité" associée à la loiLen estimant éventuellement les

paramètres inconnus de celle-ci.

Méthode de la fonction de répartition :On trace le graphe de la fonction de r épartitionempirique

définie par : F n(x) =1n n X i=11 fxixg; x2R:

Puis on superpose le graphe de la fonction de répartition associée à la loiLen estimant éven-

tuellement les paramètres inconnus de celle-ci.

Méthode de l"approximation de la densité :On utilise une es timationde la densité inconn ue.Puis on

superpose les valeurs de la "densité" associée à la loiLen estimant éventuellement les paramètres

inconnus de celle-ci.

Méthode du QQ plot (quantile-quantile plot) :Cette métho deconsiste en la comparaison des quan-

tiles empiriques et des quantiles théoriques. SoientF(x) =P(Xx)la fonction de répartition de Xetxple quantile d"ordrepdéfinie par :xp= inffx2R;F(x)pg. Soientx(1);x(2);:::;x(n)

les données rangées par ordre croissant :x(1)< x(2)<< x(n). Alors on peut écrire la fonction

de répartition empirique comme F n(x) =1n n X i=11 fxixg=8 >>>:0six < x(1); kn six(k)x < x(k+1); k2 f1;:::;n1g;

1sixx(n):

Soit(p1;p2;:::;pn)une suite strictement croissante denréels vérifiantpk2](k1)=n;k=n[, k2 f1;:::;ng, de sorte queinffx2R;Fn(x)pkg=x(k)pour toutk2 f1;:::;ng.C. Chesneau11

2 Analyses graphiques

On appelle QQ plot le nuage de pointsNdans le repère orthonormé(O;I;J)défini par :

N=(xp1;x(1));(xp2;x(2));:::;(xpn;x(n)):

SiXsuit la loiL, les données font queFnest une bonne estimation deFet, a fortiori,x(k)doit bien estimerxpk:x(k)'xpkpour toutk2 f1;:::;ng; les points du nuageNdoivent être proche de la "droite diagonale" d"équation :y=x. Cas d"une loi normale : méthode du QQ plot (QQ norm) avec droite de Henry :Soit zple quantile d"ordrepd"unevarZsuivant la loi normale centrée réduiteN(0;1). Alors, siXsuit la loi normaleN(;2), le quantile d"ordrepdeXvérifie x p=+zp:

Par conséquent, au lieu du QQ plot standard, on peut se contenter de construire le nuage de points

N dans le repère orthonormé(O;I;J)défini par :N=(zp1;x(1));(zp2;x(2));:::;(zpn;x(n)), avecpk=1n k12 ,k2 f1;:::;ng. SiXsuit la loiN(;2), alors les points du nuageN doivent être proche de la droite d"équation : y=x+sx; avecx=1n n X i=1x i; s=v uut1 n1n X i=1(xix)2:

Cette droite est appelée droite de Henry.

Cas d"une loi normale : méthode de la boîte à moustaches :On fait la b oîteà moustac heasso ciée

aux données. SiXsuit une loi normale, la boîte doit être à peu près symétrique par rapport à

la médiane, idem pour les moustaches. D"autre part, il ne doit y avoir peu (ou pas) de points en dehors des moustaches.C. Chesneau12

2 Analyses graphiques

Exemples

Exemple 1.

On fait passer à 50adolescents le test psychologique de Rorschach. Les temps de passation en minutes du test sont :43 48 65 55 51 51 44 51 59 62

45 53 55 55 49 34 52 69 45 54

59 36 36 29 52 59 41 58 54 55

72 53 52 49 57 42 70 58 42 53

57 68 40 65 54 49 32 56 50 59

On s"interroge pour savoir si lavarXqui à un adolescent associe son temps de passation au test suit ou non une loi normale.

Solution 1.

P arl"énoncé, on ob servela v aleurde Xsur chacun desnindividus (adolescents) d"un

échantillon avecn= 50:(x1;:::;xn)(avecxi2R).

Dire queXsuit une loi normaleN(;2), avecetinconnus, signifie qu"elle possède la densité : f(x) =1p22e(x)222; x2R:

Pour préciser la loi normaleN(;2)la plus adaptée à notre contexte, il faut estimeretà l"aide

des données. On estime alorsparx=1n n X i=1x i= 51:94 etpar s=v uut1 n1n X i=1(xix)2= 9:704638:

Ainsi, la problématique est la suivante : est-ce que ces données nous permettent d"affirmer queXne

suit pas la loiL=N(51:94;9:7046382)?

Nous allons faire une analyse graphique en utilisant les méthodes présentées précédemment.C. Chesneau13

2 Analyses graphiques

Méthode de l"histogramme :On propose les commandes : x = c(43, 48, 65, 55, 51, 51, 44, 51, 59, 62, 45, 53, 55, 55, 49, 34, 52,

69, 45, 54, 59, 36, 36, 29, 52, 59, 41, 58, 54, 55, 72, 53, 52, 49, 57, 42,

70, 58, 42, 53, 57, 68, 40, 65, 54, 49, 32, 56, 50, 59)

hist(x, freq = FALSE, main = "Méthode de l"histogramme", ylab = "") curve(dnorm(x, 51.94, 9.704638), add = TRUE)Cela renvoie : Vu les différences observées, il est difficile de conclure.

C. Chesneau14

2 Analyses graphiques

Méthode de la fonction de répartition :On propose les commandes : plot(ecdf(x), main = "Méthode de la fonction de répartition") curve(pnorm(x, 51.94, 9.704638), add = TRUE)Cela renvoie :quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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