[PDF] Baccalauréat S Algorithmes On considère l'algorithme

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?BaccalauréatS Algorithmes? Index des exercicescontenant un algorithme de juin 2012 à novembre 2013

Tapuscrit : DENISVERGÈS

NoLieu et date

1Polynésie juin 2012

2Métropole juin 2012

3Centres étrangers juin 2012

4Asie juin 2012

5Antilles-Guyane 2012

6Antilles-Guyane (spécialité) 2012

7Liban mai 2012

8Amérique du Nord mai 2012

9Pondichéry avril 2012

10Pondichéry avril 2013

11Amérique du Nord mai 2013

12Liban mai 2013

13Antilles-Guyane juin 2013

14Centres étrangers juin 2013

15Asie juin 2013

16Métropole juin 2013

17Antilles-Guyane septembre 2013

18Antilles-Guyane septembre (spécialité 2013

19Métropole septembre 2013

20Nouvelle-Calédonie novembre 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l"algorithmesuivant :

Les variables sont le réelUet les entiers naturelsketN.

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nul

N.

Traitement

Affecter àUla valeur 0

Pourkallant de 0 àN-1

Affecter àUla valeur 3U-2k+3

Fin pour

Sortie

AfficherU

Quel est l"affichage en sortie lorsqueN=3?

Partie B

On considère la suite(un)définie paru0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=3un-2n+3.

1.Calculeru1etu2.

2.1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,un?n.

2.En déduire la limite de la suite(un).

3.Démontrer que la suite(un)est croissante.

4.Soit la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=un-n+1.

1.Démontrer que la suite(vn)est une suite géométrique.

2.En déduire que, pour tout entier natureln,un=3n+n-1.

5.Soitpun entier naturel non nul.

1.Pourquoi peut-on affirmer qu"il existe au moins un entiern0tel que, pour toutn?n0,un?

10 p? On s"intéresse maintenant au plus petit entiern0.

2.Justifier quen0?3p.

3.Déterminer à l"aide de la calculatrice cet entiern0pour la valeurp=3.

du plus petit entiern0tel que, pour toutn?n0, on aitun?10p.

Algorithmes2

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne parfla fonction définie sur l"intervalle [1 ;+∞[ par f(x)=1 x+1+ln?xx+1?

1.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞.

2.Démontrer que pour tout réelxde l"intervalle [1 ;+∞[,f?(x)=1

x(x+1)2.

Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

3.En déduire le signe de la fonctionfsur l"intervalle [1 ;+∞[.

Partie B

Soit (un)la suite définie pour tout entier strictement positif par u n=1+1

2+13+...+1n-lnn.

1.On considère l"algorithmesuivant :

Variables:ietnsont des entiers naturels.

uest un réel.

Entrée: Demander à l"utilisateur la valeur

den.

Initialisation: Affecter àula valeur 0.

Traitement: Pourivariant de 1 àn.????Affecter àula valeuru+1 i

Sortie: Afficheru.

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithmelorsque l"utilisateur entre la valeurn=3.

2.Recopier et compléter l"algorithmeprécédent afin qu"il affiche la valeur deunlorsquel"utilisateur

entre la valeur den.

3.Voici les résultatsfournis par l"algorithmemodifié, arrondis à 10-3.

n45678910100100015002000 À l"aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite(un)et son

éventuelle convergence.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendammentde la partie B.

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à proposde la suite(un)telle que pour tout entier

strictement positifn, u n=1+1

2+13+...+1n-lnn.

Algorithmes3

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Démontrer que pour tout entier strictement positifn,

u n+1-un=f(n) oùfest la fonction définie dans la partie A.

En déduire le sens de variationde la suite

(un).

2.1.Soitkun entier strictement positif.

Justifier l"inégalité?

k+1 k? 1 k-1x? dx?0.

En déduire que

k+1 k1 xdx?1k.

Démontrer l"inégalité ln(k+1)-lnk?1

k(1).

2.Écrire l"inégalité (1) en remplaçant successivementkpar 1, 2, ...,net démontrer que pour

tout entier strictement positifn, ln(n+1)?1+1

2+13+...+1n.

3.En déduire que pour tout entier strictement positifn,un?0.

3.Prouver que la suite(un)est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

Algorithmes4

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3 Centres étrangersjuin 2012

On considère la suite(In)définie pournentier naturel non nul par : I n=? 1 0 xnex2dx.

1.1.Soitgla fonction définie parg(x)=xex2.

Démontrer que la fonctionGdéfinie surRparG(x)=1

2ex2est une primitive surRde la

fonctiong.

2.En déduire la valeur deI1.

3.À l"aide d"une intégration par parties, démontrer que, pourtout entier natureln, supérieur

ou égal à 1, on a : I n+2=1

2e-n+12In.

4.CalculerI3etI5.

2.On considère l"algorithmesuivant :

InitialisationAffecter ànla valeur 1

Affecter àula valeur12e-12Tant quen<21

Affecter àula valeur12e-n+12uAffecter ànla valeurn+2

SortieAfficheru

Quel terme de la suite(In)obtient-onen sortie de cet algorithme?

3.1.Montrer que, pour tout entier naturel non nuln,In?0.

2.Montrer que la suite(In)est décroissante.

3.En déduire que la suite(In)est convergente. On note?sa limite.

4.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative même non fruc-

tueuse, sera prise en compte dans l"évaluation.

Déterminer la valeur de?.

Algorithmes5

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

4 Asie juin 2012

1.On considère l"algorithmesuivant :

Saisir un réel strictement positif non nula

a)

Saisir un entier naturel non nulN

Affecter àula valeura

InitialisationAffecter àvla valeurb

Affecter ànla valeur 0

TANT QUEn

Affecter ànla valeurn+1

Affecter àula valeura+b2

TraitementAffecter àvla valeur?a2+b2

2

Affecter àala valeuru

Affecter àbla valeurv

SortieAfficheru, afficherv

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme poura=4,b=

9etN=2. Les valeurs successives deuetvseront arrondies au millième.

nabuv 049
1 2 Dans la suite,aetbsont deux réels tels que 0On considère les suites

(un)et(vn)définies par : u

0=a,v0=bet, pour tout entier natureln:

u n+1=un+vn

2etvn+1=?

u2n+v2n 2

2.1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un>0 et

v n>0.

2.Démontrer que, pour tout entier natureln:v2n+1-u2n+1=?un-vn

2? 2. En déduire que, pour tout entier natureln, on aun?vn.

3.1.Démontrer que la suite(un)est croissante.

2.Comparerv2n+1etv2n. En déduire le sens de variation de la suite(vn).

4.Démontrer que les suites(un)et(vn)sont convergentes.

Algorithmes6

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

1.Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles.On sait également que 35% des

filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine. On choisit, au hasard, un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine?

2.Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons si-

multanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair? 3.

3.Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et1

5.

à 10

-3.

4.Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l"évènement "l"appareil présente un défaut d"apparence» et F l"évènement "l"appa-

reil présente un défaut de fonctionnement». On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l"appareil présente un défautd"apparence est égale à 0,02 et que la

probabilité que l"appareil présente au moins l"un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l"appareil présente le défaut

F?

5.On considère l"algorithme:

A et C sont des entiers naturels,

C prend la valeur 0

Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.

Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1

Fin Si

Fin répéter

Afficher C.

Dans l"expérience aléatoire simulée par l"algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire

prenant la valeur C affichée. Quelle loi suit la variable X? Préciser ses paramètres.

Algorithmes7

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

6 Antilles-Guyane (spécialité)juin 2012

Les quatre questionssont indépendantes.

1.1.Vérifier que le couple (4; 6) est une solutionde l"équation

(E) 11x-5y=14.

2.Déterminer tous les couples d"entiers relatifs (x; y) vérifiant l"équation (E).

2.1.Démontrer que, pour tout entier natureln,

2

3n≡1 (mod 7).

2.Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012par 7.

3.On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et leséléments caractéristiques de la

transformationfqui à tout pointMd"affixezassocie le pointM?d"affixez?tel que : z ?=3

2(1-i)z+4-2i.

4.

5.On considère l"algorithmesuivant où Ent?A

N? désigne la partie entière deAN.

A et N sont des entiers naturels

Saisir A

N prend la valeur 1

Tant que N??

A Si A

N-Ent?AN?

=0 alors Afficher N etANFin si

N prend la valeur N + 1

Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithmepour A = 12? Que donne cet algorithmedans le cas général?

Algorithmes8

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

7 Pondichéry avril2012

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupede 50 coureurs, portantdes dossards numérotésde 1à 50, participeà une course cycliste qui

comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n"est constaté.

Ces désignations de 5 coureurs à l"issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur

peut donc être contrôlé à l"issue de plusieurs étapes.

1.À l"issue de chaque étape, combien peut-on former de groupesdifférents de 5 coureurs?

2.On considère l"algorithmeci-dessous dans lequel :— "rand(1, 50)» permet d"obtenir un nombre entier aléatoireappartenant à l"intervalle [1; 50]

— l"écriture "x:=y» désigne l"affectation d"une valeuryà une variablex.

Variables

a,b,c,d,esont des variables du type entier

Initialisation

a:=0;b:=0;c:=0;d:=0;e:=0

Traitement

Tant que (a=b) ou (a=c) ou (a=d) ou (a=e) ou (b=c) ou (b=d) ou (b=e) ou (c=d) ou (c=e) ou (d=e)

Début du tant que

a:=rand(1, 50);b:=rand(1, 50) ; c:=rand(1, 50);d:=rand(1, 50) ; e:=rand(1, 50)

Fin du tant que

Sortie

Affichera,b,c,d,e

1.Parmiles ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenusavec cet algorithme:

L

1={2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2={8,17,41,34,6};

L

3={12,17,23,17,50};L4={45,19,43,21,18}?

2.Que permet de réaliser cet algorithmeconcernant la course cycliste?

3.À l"issue d"une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la

probabilité pour qu"il subisse le contrôle prévu pour cetteétape est égale à 0,1.

4.On noteXla variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur

l"ensemble des 10 étapes de la course.

1.Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoireX? Préciser ses paramètres.

2.On choisit au hasard un coureur à l"arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale ar-

rondie au dix-millième,les probabilités des évènements suivants : — il a été contrôlé 5 fois exactement;

— il n"a pas été contrôlé;

— il a été contrôlé au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d"initiative même non fructueuse, sera

prise en compte dans l"évaluation. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l"ensemble des 50 coureurs, on appelleTl"évènement : " le

contrôle est positif», et d"après des statistiques, on admet queP(T)=0,05. On appelleDl"évènement : "le coureur est dopé». Le contrôle anti-dopagen"étant pas fiable à 100%, on sait que:

Algorithmes9

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

— si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas; — si un coureur n"est pas dopé, le contrôle est positif dans 1%des cas.

1.CalculerP(D).

2.Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilitéqu"il ne soit pas dopé?

Algorithmes10

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril2013

EXERCICE46 points

Commun à tousles candidats

Dans une entreprise, on s"intéresse à la probabilité qu"un salarié soit absent durant une période d"épi-

démie de grippe.

•Un salarié malade est absent

•La première semaine de travail, le salarié n"est pas malade.

•Si la semainenle salarién"est pas malade, il tombemalade la semainen+1 avec une probabilité

égale à 0,04.

•Si la semainenle salarié est malade, il reste malade la semainen+1 avec une probabilitéégale à

0,24.

On désigne, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, parEnl"évènement "le salarié est absent

pour cause de maladie lan-ième semaine». On notepnla probabilitéde l"évènementEn. On a ainsi :p1=0 et, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : 0?pn<1.

1.1.Déterminer la valeur dep3à l"aide d"un arbre de probabilité.

2.Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer

la probabilitéqu"il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.

2.1.Recopier sur la copie et compléter l"arbre de probabilitédonné ci-dessous

E n pnE n+1

En+1...

En...En+1

En+1...

2.Montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,

p n+1=0,2pn+0,04.

3.Montrer que la suite(un)définie pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1 parun=

p n-0,05 est une suite géométriquedont on donnera le premier terme et la raisonr. En déduire l"expression deunpuis depnen fonction denetr.

4.En déduire la limite de la suite?pn?.

5.On admet dans cette question que la suite?pn?est croissante. On considère l"algorithme

suivant : Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel

Initialisation P prend la valeur 0

J prend la valeur 1

Entrée Saisir la valeur de K

Traitement Tant que P<0,05-10-K

P prend la valeur 0,2×P+0,04

J prend la valeur J+1

Fin tant que

Sortie Afficher J

À quoi correspond l"affichage final J?

Pourquoi est-on sûr que cet algorithmes"arrête?

Algorithmes11

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.Cette entrepriseemploie220 salariés.Pour la suiteon admet que la probabilitépour qu"un salarié

soit malade une semaine donnée durant cette période d"épidémie est égale àp=0,05.

On suppose que l"état de santé d"un salarié ne dépend pas de l"état de santé de ses collègues.

OndésigneparXla variablealéatoirequidonnele nombrede salariésmaladesunesemainedon- née.

1.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

Calculer l"espérance mathématiqueμet l"écart typeσde la variable aléatoireX.

2.On admet que l"on peut approcher la loi de la variable aléatoireX-μ

par la loi normalecentrée réduite c"est-à-dire de paramètres 0 et 1. On noteZune variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l"évènementZprès de la probabilité de l"évènement : " le nombre de salariés absents dans l"entreprise au

cours d"une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15».

Algorithmes12

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

9 Amérique du Nord mai 2013

Exercice 25 points

Candidats N"AYANT PAS SUIVI l"enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite

(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, u n+1=? 2un.

1.On considère l"algorithmesuivant :

Variables :nest un entier naturel

uest un réel positif

Initialisation: Demander la valeur den

Affecter àula valeur 1

Traitement : Pourivariant de 1 àn:

| Affecter àula valeur?2u

Fin de Pour

Sortie : Afficheru

1.Donner une valeur approchée à 10-4près du résultat qu"affiche cet algorithme lorsque l"on

choisitn=3.

2.Que permet de calculer cet algorithme?

certaines valeurs den. n15101520

Valeur affichée1,41421,95711,99861,99991,9999

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite(un)?

2.1.Démontrer que, pour tout entier natureln, 0

2.Déterminer le sens de variation de la suite(un).

3.Démontrer que la suite(un)est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

3.On considère la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2.

1.Démontrer que la suite(vn)est la suite géométrique de raison1

2et de premier termev0=

-ln2.

2.Déterminer, pour tout entier natureln, l"expression devnen fonction den, puis deunen

fonction den.

3.Déterminer la limite de la suite(un).

4.Recopier l"algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la

sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur dentelle queun>1,999.

Variables :nest un entier naturel

uest un réel

Initialisation: Affecter ànla valeur 0

Affecter àula valeur 1

Traitement :

Sortie :

Algorithmes13

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

10 Liban mai 2013

EXERCICE45 points

Candidats N"AYANT PAS SUIVI l"enseignement de spécialité

On considère la suite numérique

(vn)définie pour tout entier naturelnpar???v 0=1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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