Les probabilités
A?B = (AB) ? (BA) : la différence symétrique de A et de B. Différence entre A et B ... Pour la démonstration il suffit de partir de : P(S = k) =.
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La différence symétrique A?B est aussi égale `a (A B) ? (B A). ?! Ne pas oublier les parenth`eses. Trouver un exemple d'ensembles vérifiant (A
Ensembles - CEL
16 déc. 2012 3.4 Différence symétrique . ... En utilisant le théorème du choix dans certaine démonstration cela peut déboucher sur des paradoxes
9782340-026971_001_696.indd
Faire une démonstration par récurrence (à deux crans). ? Faire une démonstration par récurrence (forte) On définit la différence symétrique de A et B.
Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
A?B la différence symétrique de A et B
Chapitre 1 Logique et ensemble.
d'un élément x de A et on montre qu'il est dans B. La démonstration doit ressembler à : x ? A =? =? x ? B ... 3/ Différence différence symétrique ...
Caractérisations axiomatiques de la distance de la différence
DE LA DIFFERENCE SYMETRIQUE ENTRE DES RELATIONS BINAIRES. Jean-Pierre BARTHELEMY Cette démonstration est l'extension immédiate de la preuve donnée par.
´Eléments de mathématiques
23 oct. 2014 Définition 2.4 La différence symétrique de deux ensembles A et B est ... Démonstration A et B étant `a la fois finis et disjoints ...
Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations
De même pour l'intersection ? et la différence symétrique ?. • Soit X un ensemble. On note E = F(X) l'ensemble des applications de.
T-JOINTS (NOTES DE COURS) 1. Outils et notations 1.1. Différence
Différence symétrique. La différence symétrique de deux ensembles A et B est l'ensemble. (A B) ? (B A)=(A ? B)
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Remarques - • La différence symétrique correspond au 'ou' exclusif : A?B est l'ensemble des points qui appartiennent `a A ou `a B mais PAS `a A et B en
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Démonstration : soit x ? E ? F Ainsi x est un élément de E mais pas de F ou bien x est un élément de F mais pas de E En d'autres termes
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DE LA DIFFERENCE SYMETRIQUE ENTRE DES RELATIONS BINAIRES Jean-Pierre BARTHELEMY Cette démonstration est l'extension immédiate de la preuve donnée par
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Définition : La différence symétrique entre deux ensembles X et Y est l'ensemble des éléments qui n'appartiennent qu'à X ou à Y 7¢ 8¢ $ ¢ 3 ¢ X
[PDF] Chapitre 1 Logique et ensemble
On appelle différence symétrique entre deux éléments A et B de P(E) noté A?B l'ensemble des éléments de E qui appartiennent à l'un des ensembles A ou B sans
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Démonstration : • A B A B D La différence de deux ensembles : a Définition : La différence symétrique de A et B est l'ensemble noté A B
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Union intersection différence symétrique Énoncés d'ensembles Ak La démonstration s'effectue par récurrence sur le nombre n des Ak
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Les détails de la démonstration sont laissés en exercice Distributivité de l'intersection par rapport à la différence symétrique :
Comment montrer que deux ensembles sont disjoints ?
Deux ensembles sont disjoints si leur intersection est vide, c'est-à-dire s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Exemple : L'ensemble des entiers pairs et l'ensemble des entiers impairs sont disjoints.Comment montrer l'inclusion de deux ensembles ?
Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est inclus dans B et B est inclus dans A. La méthode la plus courante pour montrer que deux ensembles sont égaux est d'ailleurs de procéder par double inclusion, c'est à dire de montrer d'abord que A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A.Comment prouver que à est inclus dans B ?
On dit que A est inclus dans B si chaque élément de A est un élément de B. On note A ? B. On dit aussi “A est contenu dans B” ou “A est une partie de B” ou “A est un sous-ensemble de B”. Remarques - • A ? A • Si A ? B et B ? C, alors A ? C • A = B si et seulement si (A ? B et B ? A).Le complémentaire du complémentaire de A est l'ensemble A lui-même.
1La réunion de A et B est égale à la réunion de B et A : A?B=B?A A ? B = B ? A . 2La réunion de A et de l'ensemble vide est toujours égale à A .
MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINESJEAN-PIERREBARTHELEMY symétriqueentredesrelationsbinaires Mathématiques et sciences humaines, tome 67 (1979), p. 85-113 © Centre d"analyse et de mathématiques sociales de l"EHESS, 1979, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Mathématiques et sciences humaines » (http:// msh.revues.org/) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www. numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est consti- tutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 85CARACTERISATIONS
AXIOMATIQUES
DE LA DISTANCE
DE LA DIFFERENCE
SYMETRIQUE
ENTRE DES RELATIONS BINAIRES
Jean-Pierre BARTHELEMY
INTRODUCTION
L'usage
de la distance de la différence symetrique 6 est fort répandu en analyse des données relationnelles :Dans les
problèmes d'ajustement,L et L' étant deux ensembles de
relations binaires, on approche un élément r de L par une solution deIl est
classique de "résumer" une famille (r , rp) E. L par une solu- tion de : (c.f. Barthélemy - Monjardet 8 pour une présentation générale de ces sujets, Monjardet 28pour une bibliographie complète).
Considérée comme
une mesure de dissimilarité : (c.f.Arabie-Boorman
fil pour les relations d'équivalence, Barthélemy 1 71 pour les préordres totaux) 6 peut servir de base à la construction d'une typologie sur un ensemble de classifications ou de préférences.Cette utilisation
jointe la précédente conduit à la notion d'qgrégation typologique développée parE N S M M - 25030
Besan ç on
Cedex.
86J. Lemaire
6 se rencontre
également
dans l'étude statistique des séries ordon- nées (c.f.Kendall
[241., le coefficient T est donné par la formule : , aussiDegenne
Cependant,
si la "formule" qui définit S justifie parfois son usage (c'est le cas -par exemple- des ordres totaux et des tournois :6(r,s)
dénombre les désaccords entre r et s), cette situation est loin d'être gé- nérale.Ainsi,
si r et s sont des préordres totaux (ou des matchs), chaque désaccord "total" sur une paire {x,y} (par exemple : (x,y)6 r, (y,x). r, (x,y)~ s, (y,x) e s) contribuera de 2 à la valeur de S , tandis que chaque désaccord "partiel" (par exemple : (x,y) E r, (x,y) y s, (y,x) s) aura 1 pour contribution. N'y a-t-il pas quelque arbitraire à décla- rer qu'un désaccord total "compte deux fois plus" qu'un désaccord partiel ? (la situation est d'ailleurs pire pour les relations non totales ou les no- tions d'accord et de désaccord cessent d'être limpides !) Une démarche, inaugurée semble-t-il par Kemeny 22 ,consiste à lé- gitimer l'usage due 6 en la définissant par un ensemble de conditions qui semblent "naturelles" dans le contexte où l'on travaille. On peut relever dans ces axiomatiques deux tendances :
10) cS
vérifie des conditions de nature géométrique, il s'agit essen- tiellement de l'inégalité triangulaire (r,t) + 6 (t,s)) et du respect de l'intermédiarité (r,t) (t,s) lorsque t est si- tuée "entre " r et s). Cette notion d'intermédiarité demande à être explici- tée : dire que l'opinion de Paul est située entre celles de Jean et dePierre
(lorsque ces "opinions" sont issues de comparaisons par paires, donc représentées par des relations binaires) signifie que, chaque fois que 87Pierre et Jean sont en accord sur un
couple (x,y), ils sont en accord, sur ce couple, avecPaul ;
ce dernier étant nécessairement en accord, sur cha- que couple, avecPierre,
ou sinon avec Jean.Ainsi,1
les opinions de Jean,Pierre et Paul admettent
respectivement pour modèles les relations binaires2') 6 s'interprète
comme un cheminement minimal dans un graphe qui sera, le plus souvent, le graphe non orienté de couverture d'un ensemble ordonné, par inclusion, de relations binaires. Le premier point de vue a été illustré,à la suite de
Kemeny
22par
Kemeny-Snell
12~j (ordres totaux, préordres totaux), Bogart (ordres stricts) et [12J (relations asymétriques), Chernyil-Mirkin [161 (relations d'équivalence).Le second
point de vue se place dans le contexte général des distances de graphe sur un ensemble ordonné E (Haskins-Gudder [2il 'Monjardet
[2ijComyn-Van Dorpe D7J , Grimonprez-Van Dorpe
Barthélemy
[6J ), thèmeéquivalent
à celui des "valuations" sur E
(c . f . , outre les auteurs précédents,Birkhoff
9 ,Arabie-Boorman Boorman-
Oliver
[13] ,Bordes
,- 14,Cailles et
Pagès J15J
Par ailleurs, certains travaux liés à "l'opération médiane" dans un treillis distributif (Barbut [2J ~ 3 ,Barbut-Monjardet (j )
éclairent
les axiomatiques géométriques et montrent qu'elles ne sont pas sans redon- dance ...(par exemple, l'inégalité triangulaire est impliquée par l'inter- médiarité. Au sujet de la médiane et de l'intermédiarité, on pourra consul- terégalement
Sholander 3oJ ,
Mulder-Schrijner
[2 ). Ceci, joint au fait que des conditions affaiblies d'intermédiarité interviennentégalement
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