[PDF] ´Eléments de mathématiques 23 oct. 2014 Définition





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Les probabilités

A?B = (AB) ? (BA) : la différence symétrique de A et de B. Différence entre A et B ... Pour la démonstration il suffit de partir de : P(S = k) =.



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La différence symétrique A?B est aussi égale `a (A B) ? (B A). ?! Ne pas oublier les parenth`eses. Trouver un exemple d'ensembles vérifiant (A  



Ensembles - CEL

16 déc. 2012 3.4 Différence symétrique . ... En utilisant le théorème du choix dans certaine démonstration cela peut déboucher sur des paradoxes



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Faire une démonstration par récurrence (à deux crans). ? Faire une démonstration par récurrence (forte) On définit la différence symétrique de A et B.



Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux

A?B la différence symétrique de A et B



Chapitre 1 Logique et ensemble.

d'un élément x de A et on montre qu'il est dans B. La démonstration doit ressembler à : x ? A =? =? x ? B ... 3/ Différence différence symétrique ...



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DE LA DIFFERENCE SYMETRIQUE ENTRE DES RELATIONS BINAIRES. Jean-Pierre BARTHELEMY Cette démonstration est l'extension immédiate de la preuve donnée par.



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Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations

De même pour l'intersection ? et la différence symétrique ?. • Soit X un ensemble. On note E = F(X) l'ensemble des applications de.



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Les détails de la démonstration sont laissés en exercice Distributivité de l'intersection par rapport à la différence symétrique :

  • Comment montrer que deux ensembles sont disjoints ?

    Deux ensembles sont disjoints si leur intersection est vide, c'est-à-dire s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Exemple : L'ensemble des entiers pairs et l'ensemble des entiers impairs sont disjoints.

  • Comment montrer l'inclusion de deux ensembles ?

    Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est inclus dans B et B est inclus dans A. La méthode la plus courante pour montrer que deux ensembles sont égaux est d'ailleurs de procéder par double inclusion, c'est à dire de montrer d'abord que A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A.

  • Comment prouver que à est inclus dans B ?

    On dit que A est inclus dans B si chaque élément de A est un élément de B. On note A ? B. On dit aussi “A est contenu dans B” ou “A est une partie de B” ou “A est un sous-ensemble de B”. Remarques - • A ? A • Si A ? B et B ? C, alors A ? C • A = B si et seulement si (A ? B et B ? A).

  • Le complémentaire du complémentaire de A est l'ensemble A lui-même.

    1La réunion de A et B est égale à la réunion de B et A : A?B=B?A A ? B = B ? A . 2La réunion de A et de l'ensemble vide est toujours égale à A .
´Eléments de mathématiques

Departement de mathematiques et de statistique

Universite Laval

Elements de mathematiques

Notes pour le cours MAT-1300

preparees par Hugo Chapdelaine (Automne 2012) et revues par Bernard R. Hodgson (Automne 2013, 2014)

23 octobre 2014

Table des matieres

1 Fondements du discours mathematique : langage et raisonnement 1

1.1 Rudiments sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Denition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Description d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3 La cardinalite d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4 Ensembles numeriques usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5 La relation d'inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.6 Un ensemble paradoxal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2Elements de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.2.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2 Asymetrie entre le vrai et le faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3 Tables de verite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.4 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.5 Quelques propositions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.6Equivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.2.7 Quelques equivalences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.8 Predicats et quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3 Preuves et raisonnement mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.1 Consequence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.2 Quatre techniques de preuves de base . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.4A propos de la demarche mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

1.4.1Elements de base du discours mathematique . . . . . . . . . . . . . .51

1.4.2 Quelques actions en mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

1.4.3 Rigueur et intuition en mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2 Ensembles : operations et relations 69

2.1 Operations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.1.1 Cinq operations elementaires sur les ensembles . . . . . . . . . . . . .

69

2.1.2 Reunions et intersections generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.1.3 Partition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.1.4 Denombrement (1) : compter les elements d'une reunion . . . . . . .

84

2.2 Une operation particuliere : le produit cartesien . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.2.1 Couples etn-uplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

2.2.2 Le produit cartesien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.2.3 Denombrement (2) : compter les elements d'un produit . . . . . . . .

92
i iiTABLE DES MATIERES

2.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.3.1 Denition d'une relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.3.2 Representation d'une relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.3.3 Proprietes d'une relation binaire sur un ensemble . . . . . . . . . . .

97

2.4 Les relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

2.4.1 Denition d'une relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 00

2.4.2 Comparaison dans un ensemble ordonne . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2.4.3 D'un ordre a un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

2.5 Les relations d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

2.5.1 La notion d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

2.5.2 Classes d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

2.5.3 Relation d'equivalence induite par une partition . . . . . . . . . . . .

1 22

Chapitre 2

Ensembles : operations et relations

Les ensembles sont des structures fondamentales se retrouvant pratiquement partout en mathematiques et qui sont particulierement utiles quand vient le temps de decrire avec precision certains contextes mathematiques. Il est important d'apprendre a manipuler les ensembles, a en creer de nouveaux a partir de certains qui nous sont donnes, etc. C'est la l'objectif que vise le present chapitre.

Notation :Au Chapitre 1, la double

eche,etait reservee au contexte de la logique pro- positionnelle, servant de connecteur logique entre deux propositions exprimees a l'interieur de ce cadre symbolique. On se conformera davantage dans ce texte, a compter de mainte- nant, a l'usage habituel voulant qu'on utilise la double eche pour representer l'equivalence mathematique usuelle si et seulement si| voir a ce propos la remarque 1.14, p. 24.

On aurait par exemple, pour des ensemblesEetF,

E=F()EFetFE(2.1)

(comparer avec l'enonce analogue a la ligne (1.6), p. 8).

2.1 Operations ensemblistes

2.1.1 Cinq operations elementaires sur les ensembles

Soit des ensemblesA,B, ..., parties de l'universU. Nous nous interessons tout d'abord a des operationsbinairessur les ensembles, permettant de produire un nouvel ensemble a partir de deux autres qui nous sont donnes. Denition 2.1Lareunionde deux ensemblesAetBest l'ensemble forme des elements appartenant aAou aB(ou aux deux). La reunion deAet deBse noteA[Bet se litA unionBouAreunionB.On aura observe le lien immediat entre[, l'operation de reunion d'ensembles, et_, l'operation logique de disjonction de propositions :

A[B=fx2Ujx2A_x2Bg:(2.2)

70CHAPITRE 2. ENSEMBLES : OPERATIONS ET RELATIONSABA[BLa region ombree representeA[B.

Denition 2.2L'intersectionde deux ensemblesAetBest l'ensemble forme des elements appartenant aAet aB. L'intersection deAet deBse noteA\Bet se litAintersection B ouAinterB.On a donc :

A\B=fx2Ujx2A^x2Bg;(2.3)

faisant ainsi ressortir le lien entre l'intersection\et le connecteur logique^.ABA\BLa region ombree representeA\B.

Exemple 2.1Soit les trois ensembles nisA=f1;2;3;4g,B=f0;1;3;5;7getC= f2;4;6;8g. Alors il est simple de decrire sous la forme d'une liste chacun des ensembles suivants : 1.A[B 2.A\B 3.B\C

2.1. OP

ERATIONS ENSEMBLISTES71

4. ( A[B)\CDenition 2.3Ladierencede deux ensemblesAetBest l'ensemble forme des elements deAn'appartenant pas aB. La dierence deAet deB(dans cet ordre) se noteAnB, ce qui se lit AmoinsB.L'operation de dierence ensemblistenest directement en lien avec l'operation logique de negation: on prend lesxtels quex2Aet(x2B).

On a donc

AnB=fx2Ujx2A^x =2Bg:(2.4)ABAnBLa region ombree representeAnB. Un cas particulier interessant est celui ou on considere une dierenceAnB, mais avec BA. Exemple 2.2RnQdesigne donc l'ensemble des nombres reels qui ne sont pas rationnels,

c'est-a-dire l'ensemble desirrationnels.Remarque 2.1Que dire deAnBlorsqueAB?Denition 2.4Ladierence symetriquede deux ensemblesAetBest l'ensemble, note

A4B, forme des elements appartenant soit aA, soit aB, mais pas a leur intersection.On observera le lien ^etre l'operation ensembliste4et le connecteur logiqueY(disjonction

exclusive) :

A4B=fx2Ujx2AYx2Bg(2.5)

c'est-a-dire :xappartient aA, ou aB, mais pas aux deux en m^eme temps.

72CHAPITRE 2. ENSEMBLES : OPERATIONS ET RELATIONSABA4BLa region ombree representeA4B.

Exemple 2.3Voici deux egalitesevidentes, comme le suggere le diagramme d'Euler-

Venn qui precede :

(a)A4B= (A[B)n(A\B), (b)A4B= (AnB)[(BnA). Mais il faut aussi savoir les justier a partir des denitions elles-m^emes. On procedera bien s^ur par double inclusion. Voici par exemple comment etablir l'egalite (a). ()Nous nous basons p ourcette partie sur les egalites(2.2), (2.3), (2.4) et (2.5). Soit doncx2A4B; comme l'operation4repose sur la disjonction exclusiveY, il y a alors deux cas (mutuellement exclusifs) a considerer. x2A(etx =2B) : Commex2A, on a clairementx2A[B. Et dex =2B, il suit quex =2A\B.

Ainsix2A[Betx =2A\B, c'est-a-direx2(A[B)n(A\B).

x2B(etx =2A) :

Le raisonnement est identique.

Dans les deux cas, on a bien quex2(A[B)n(A\B).

()Nous raisonnons cette fois apartir de la form ulationdes d enitions2.1, 2.2, 2.3 et 2.4. Soitx2(A[B)n(A\B). On a donc quex2A[Betx =2A\B. Mais alorsx appartient aAou aB, mais pas aux deux ensemblesAetBen m^eme temps. Il est

donc dansA4B.Les quatre operations qui precedent sont binaires, car elles agissent sur deux ensembles.

Nous nous interessons maintenant a une operationunaire, ayant un seul argument.

2.1. OP

ERATIONS ENSEMBLISTES73

Denition 2.5Lecomplementaired'un ensembleA(par rapport a l'universU) est l'en- semble des elements deUn'appartenant pas aA. Cet ensemble est represente de dierentes manieres :Ac, ou encoreA0, ou encoreA. Si on souhaite mentionnerUexplicitement, on ecrira egalement{U(A) | ce qui peut se lire textuellement le complementaire deAdans l'universU.1On a donc A c=fx2Ujx =2Ag:(2.6) Tout comme la dierencen, le complementaire ()cest donc en lien avec, la negation logique. Cela complete l'introduction des cinq operations de base sur les ensembles, operations qui sont pratiquement omnipresentes en mathematiques. L'usage a consacre une certaine terminologie se rapportant a des situations pouvant se decrire aisement a l'aide de ces operations. En voici un exemple important. Denition 2.6Soit deux ensembleAetB(parties d'un certain universU). On dira que AetBsontdisjointslorsqueA\B=;.Deux ensembles disjoints ne se touchentdonc pas : ils n'ont aucun element en com- mun. Ainsi en est-il, dans les entiers, de l'ensemblePdes nombres pairs et de l'ensembleI des nombres impairs :P\I=;. Par contre, les deux ensembles comprenant d'une part les impairs et d'autre part les carres ne sont pas disjoints : il y a des impairs carres. Remarque 2.2Tout comme la relationentre entiers, la relation^etre disjointest un exemple de relationbinaire| cette fois entre ensembles : elle nous parle d'un certain lien pouvant se verier (ou non) entre deux ensembles donnes. Une diculte se presente si on voulait generaliser cette notion a plus de deux ensembles : ainsi, quel sens faut-il donner a l'expression les trois ensemblesA,BetCsont disjoints? Il y a une certaine ambigute, car on peut de demander s'il s'agit du fait qu'il n'y a rien de commun aux ensembles pris tous les trois en m^eme temps, ou bien s'ils n'ont rien de rien en

commun, m^eme lorsque pris deux a la fois.1. On rencontre aussi parfois la notationUnA, le complementaire pouvant ^etre vu comme une sorte

de dierence impliquant tout l'univers | mais nous preferons reserver l'operation de dierencena ce qui

se passe entre deux parties deU. Dans le m^eme esprit, etant donne deux ensemblesEetFavecFE, certains auteurs utiliseraient la notation{E(F), et parleraient ducomplementaire du sous-ensembleFde l'ensembleE, pour designer la dierenceEnF. Mais il nous semble preferable de n'utiliser la notion de complementaire{que dans le cas ou l'on travaille par rapport a l'universU.

74CHAPITRE 2. ENSEMBLES : OPERATIONS ET RELATIONS

L'usage a consacre la deuxieme vision : ce n'est pas tant quekensembles donnes (aveck3) ne se touchent pas tous qui s'avere en pratique d'inter^et, mais plut^ot qu'ils soient disjoints lorsque pris par deux, et ce de toutes les manieres possibles. On revient sur cette notion a la section 2.1.3.Remarque 2.3On a introduit au Chapitre 1 la notationP(A) pour designer l'ensemble de tous les sous-ensembles deA. On peut ainsi voirPcomme etant une operation unaire agissant sur un ensembleAet generant un nouvel ensemble, l'ensemble forme de toutes les parties deA. On observera cependant qu'a l'oppose des cinq operations elementaires sur les ensembles faisant l'objet de la presente section, l'ensemble produit par l'operationPne forme pas une partie de l'universU. Il ressort en eet immediatement des egalites (2.2) a (2.6) que les cinq ensemblesA[B, A\B,AnB,A4BetAcrassemblent tous des elements deU, et donc que chacun de ces ensembles est une certaine partie de cet univers. L'ensembleP(A), au contraire, n'est pas compose d'elements deU, mais plut^ot departiesdeU, car ses elements sont certaines plagesprises dansU, a savoir tous les sous-ensembles de l'ensemble donneA.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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