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MÉCANIQUE QUANTIQUE

PHY731

par

David SÉNÉCHAL

Ph.D., Professeur Titulairei~h@@tj i=Hj ia(k)j0i=0nlm kk 0

UNIVERSITÉ DESHERBROOKE

Faculté des sciences

Département de physique

30 mai 2018

2

Table des matières

1 Principes fondamentaux et Révision11

A Rappels de mécanique classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.A.1 Équations de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.A.2 Équations de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.A.3 Exemple : oscillateur harmonique simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

B Quantification canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.B.1 Espace des états. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.B.2 Observables et opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.B.3 Probabilités et processus de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1.B.4 Quantification canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.B.5 Évolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.B.6 Représentation en coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

C Puits et barrières de potentiel en une dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.C.1 Effet tunnel et matrice de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.C.2 Effet tunnel résonant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

D Oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1.D.1 États propres et opérateurs d"échelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1.D.2 États cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2 Théorie de la symétrie35

A Opérations de symétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.A.1 Symétries et transformations unitaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.A.2 Translations et représentation en impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

2.A.3 Évolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.A.4 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.A.5 Systèmes composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

B Théorie du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2.B.1 Générateurs et moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2.B.2 États propres du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

2.B.3 Matrices de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

2.B.4 Composition du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

C Théorie des groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2.C.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2.C.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2.C.3 Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.C.4 Algèbres de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

2.C.5 Les groupes SU(2)et SO(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

D Lois de conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2.D.1 Théorème de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2.D.2 Écoulements de symétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3

4TABLE DES MATIÈRES

3 Théorie des perturbations61

A Perturbations stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3.A.1 Série de Brillouin-Wigner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3.A.2 Renormalisation de la fonction d"onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

3.A.3 Exemple : polarisabilité d"un atome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

B Perturbations dépendant du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

3.B.1 Point de vue d"interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

3.B.2 Règle d"or de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

3.B.3 Perturbation adiabatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

3.B.4 Processus de désintégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

3.B.5 Perturbations harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

3.B.6 Transitions du deuxième ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

C Diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

3.C.1 Équation intégrale de la diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

3.C.2 Section efficace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

3.C.3 Section efficace et règle d"or de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

3.C.4 Diffusion de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

4 Deuxième Quantification83

A Espace de Fock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

4.A.1 États symétrisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

4.A.2 Opérateurs de création et d"annihilation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

4.A.3 États antisymétrisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

4.A.4 Relations d"anticommutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.A.5 Densité et nombre de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.A.6 États de base différents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

B Hamiltonien à un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

4.B.1 Opérateurs à un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

4.B.2 États propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

4.B.3 Gaz de bosons et de fermions libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

C Interaction à deux corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

4.C.1 Opérateurs à deux corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

4.C.2 Formulation lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

D Approximation de Hartree-Fock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

4.D.1 Méthode du champ auto cohérent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

4.D.2 Théorème de Wick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

4.D.3 Équations de Hartree-Fock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

E Annexe : Permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

5 Applications à la physique du solide111

A Fonctions de Bloch et de Wannier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

5.A.1 Réseaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

5.A.2 Fonctions de Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

5.A.3 Fonctions de Wannier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

B Modèle d"électrons localisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

5.B.1 Modèle de Hubbard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

5.B.2 Échange : modèle de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

TABLE DES MATIÈRES5

5.B.3 Super-échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

C Ondes de spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

5.C.1 Cas ferromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

5.C.2 Cas antiferromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

6 Bosons137

A Oscillateurs couplés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

6.A.1 Oscillateurs réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

6.A.2 Dégénérescence des fréquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

6.A.3 Chaîne linéaire d"oscillateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

6.A.4 Translations et impulsion cristalline. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

B Champ scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

6.B.1 Limite continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

6.B.2 Relation de dispersion et énergie du vide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

6.B.3 Terme de masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

6.B.4 Cas tridimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

6.B.5 Fonctions propres générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

C Photons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

6.C.1 Rappels d"électromagnétisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

6.C.2 Fonctions propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

6.C.3 Polarisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

D Théorème de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

6.D.1 Transformations continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

6.D.2 Transformations infinitésimales et théorème de Noether. . . . . . . . . . . . .159

6.D.3 Tenseur d"énergie-impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

6.D.4 Champ scalaire complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

7 Interactions lumière-matière173

A Hamiltonien d"interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174

7.A.1 Force de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174

7.A.2 Couplage minimal et invariance de jauge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

7.A.3 Courant paramagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

B Émission et absorption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

7.B.1 Taux d"émission et d"absorption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

7.B.2 Rayonnement dipolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

7.B.3 Règles de sélection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

7.B.4 Section d"absorption et règle de somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

7.B.5 Effet photoélectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

C Diffusion de la lumière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

7.C.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

7.C.2 Diffusion Thomson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

7.C.3 Diffusion Raman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

7.C.4 Résonances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

8 Théorie relativiste de l"électron199

A Groupe de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

8.A.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

6TABLE DES MATIÈRES

8.A.2 Algèbre de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

B Équation de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

8.B.1 Algèbre de Clifford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

8.B.2 Action de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

8.B.3 Modes propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208

8.B.4 Limite non relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

9 Méthodes fonctionnelles213

A Intégrales de Chemins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

9.A.1 Système à un degré de liberté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

9.A.2 Action quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

9.A.3 Oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218

9.A.4 Effet Aharonov-Bohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

B Mécanique statistique et champs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

9.B.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

9.B.2 Intégration fonctionnelle et mécanique statistique. . . . . . . . . . . . . . . . .222

9.B.3 Systèmes infinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223

9.B.4 Limite classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224

C Intégration fonctionnelle pour les fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

9.C.1 Algèbre de Grassmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

9.C.2 Dynamique des variables grassmanniennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

9.C.3 États cohérents et intégration fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

Table des problèmes

1.1 Opérateurs hermitiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.2 Valeurs moyennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.3 Relation de Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.4 Relation de Campbell-Baker-Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.5 L"oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.6 Deux oscillateurs harmoniques couplés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.7 États cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.8 Phase et états cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

1.9 Niveaux de Landau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

2.1 Transformations de Galilée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.2 Moment cinétique et oscillateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.3 Matrices de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2.4 Opérateurs vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2.5 États cohérents de spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.6 Évolution temporelle d"un dipôle magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.7 Résonance magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

2.8 Le groupe D3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

3.1 Niveaux de vibration et oscillateur anharmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

3.2 Polarisabilité d"une molécule polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.3 Diffusion par une sphère dure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.4 Effet d"une impulsion sur un oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.5 Diffusion au deuxième ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

3.6 Diffusion de neutrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

4.1 Hamiltonien d"interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

4.2 Fonctions de Corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

4.3 Approximation de Hartree-Fock avec spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4.4 Gaz d"électrons et approximation de Hartree-Fock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4.5 Correction à l"énergie du fondamental d"un système de particules identiques. . . . .109

4.6 Fermions avec spin dans un champ magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

5.1 Fonctions de Bloch dans un réseau de fonctions delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

5.2 Modèle de Hubbard sur un réseau carré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

5.3 Ondes de spin dans un matériau anisotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

5.4 Aimantation alternée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

5.5 Transformation de Bogolioubov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

5.6 Chaîne Ising dans un champ transverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

5.7 Chaîne Heisenberg et transformation de Wigner-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . .136

6.1 Phonons optiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

6.2 Moment cinétique du champ électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

6.3 État cohérent de rayonnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

6.4 Émission de phonons par une source classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

7

Table des matières

6.5 Impureté dans la chaîne d"oscillateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

6.6 Interaction phonon-phonon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

6.7 Interaction électron-phonon en une dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

6.8 Interaction électron-phonon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

6.9 Commutateur deEavecB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

6.10 Rayonnement par une source classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

6.11 Effet Casimir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

7.1 Interaction photon-électron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

7.2 Diffusion de Thomson au 2eordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

7.3 Diffusion de la lumière par un neutron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

7.4 Émission spontanée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

7.5 Rayonnement de freinage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

7.6 Émission de photons par un oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

7.7 Diffusion de la lumière par un oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

7.8 Rayonnement quadripolaire et dipolaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196

7.9 Interaction phonon-photon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

8.1 Matrices de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

8.2 Transformation des spineurs de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

8.3 Propriétés de transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

8.4 Propriétés de transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

8.5 Équation de Dirac en 1 dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

9.1 Oscillateur harmonique forcé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

9.2 Propagateur d"un rotateur plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

8

Préface

La nombre d"ouvrages portant sur la mécanique quantique est très grand. Il est cependant difficile

d"en trouver un qui réponde à tous les besoins d"un cours de deuxième cycle, dans le cadre d"un

programme ayant un penchant pour la physique de la matière condensée. C"est la raison d"être de

ce manuel. Son ambition n"est pas de concurrencer les vastes ouvrages généraux sur la mécanique

l"accent sur la deuxième quantification et les systèmes comportant un très grand nombre de degrés

de liberté. Les trois premiers chapitres constituent un rappel des principes de base et de quelques applications

standards de la mécanique quantique. Le chapitre 2, sur la théorie de la symétrie, comporte des

éléments plus avancés, comme des notions de théorie des groupes. Au chapitre 4, on explique de

manière formelle le formalisme de la deuxième quantification, ainsi que l"approximation de Hartree-

Fock. Au chapitre 5, on applique ce formalisme à des systèmes d"électrons en interaction dans un

réseau cristallin, après une rappel des concepts préliminaires (réseaux, théorème de Bloch, fonctions

de Wannier). On y introduit le modèle de Hubbard et la théorie des ondes de spin. Au chapitre 6, on

étudie des systèmes d"oscillateurs harmoniques couplés, ce qui mène naturellement à la théorie du

champ et à la quantification du champ électromagnétique. On applique ensuite les notions de symé-

trie à des théories du champ. Ce chapitre constitue une autre avenue, plus naturelle, à la deuxième

quantification des bosons. Au chapitre 7, on étudie l"interaction de la lumière avec la matière, dans

le formalisme de la deuxième quantification (émission, absorption et diffusion de photons). Au cha-

pitre 8, on introduit la théorie relativiste de l"électron (équation de Dirac) en partant de principes

de symétrie (groupe de Lorentz). Enfin, au chapitre 9, on introduit la quantification par intégrale de

chemins, ainsi que sa généralisation à des systèmes de bosons et de fermions. On discute aussi de la

relation formelle entre la mécanique statistique et la mécanique quantique en temps imaginaire, en

particulier pour des systèmes ayant un grand nombre de degrés de liberté.

À la fin de chaque chapitre on trouve un petit nombre d"exercices, de difficultés inégales. Je remercie

les étudiants qui ont lu avec attention ces notes de cours dans les années passées et qui ont daigné

me signaler des corrections à effectuer. Je livre ce modeste cahier à leurs successeurs, en espérant

qu"ils y trouveront matière à réflexion. 9

Table des matières

10

CHAPITRE1

Principes fondamentaux et Révision

ARappels de mécanique classique

1.A.1Équations de Lagrange

La configuration d"un système physique à un moment donné est en principe spécifiée parnpara-

mètres réels qu"on peut noterqi(i=1,2,...,n) et qu"on appellecoordonnées généralisées. Ces co-

ordonnées décrivent l"espace des configurations. La trajectoire du système est alors spécifiée par la

dépendance temporelleqi(t)des coordonnées. Cette trajectoire est déterminée par le principe de

la moindre action, qui stipule que le système évolue selon le trajet qui rend l"action stationnaire.

L"action S est définie habituellement comme l"intégrale, sur le trajet, de la différence entre l"énergie

cinétique et l"énergie potentielle : S= Z dtL(qi,qi)L(qi,qi) =T(qi,qi)V(qi,qi)(1.1)

condition que l"action soit stationnaire par rapport à une variation arbitraireqi(t)de la trajectoire

mène aux équations de Lagrange : d dt @L @qi@L @qi=0 (1.2)

Cet ensemble d"équations est du deuxième ordre dans le temps, ce qui nécessite pour sa résolution

complète la spécification de 2nparamètres : les conditions initialesqi(0)etqi(0). 11

Chapitre 1. Principes fondamentaux et Révision

1.A.2Équations de Hamilton

Dans la mécanique dite de Hamilton, l"état d"un système physique ayantndegrés de liberté est

spécifié parncoordonnées généraliséesqi(i=1,...,n) etnmoments conjugués (ou impulsions

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