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Master 2

`emeannée : Concepts fondamentaux de la physique

Parcours : Physique quantique Année 2011-2011

Mécanique quantique : seconde quantification et résolvante

Yvan Castin

LKB, ENS (Paris)

yvan.castin@lkb.ens.fr 2

Table des matières

1 Particules indiscernables5

1.1 Nécessité d"un postulat de symétrisation . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5

1.2 Le postulat de symétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

1.3 Construction d"une base de vecteurs d"état . . . . . . . . . . .. . . . . . . 7

1.3.1 Normalisation des états fermioniques . . . . . . . . . . . . .. . . . 9

1.3.2 Normalisation des états bosoniques . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10

1.3.3 Application des projecteurs à l"équilibre thermodynamique . . . . . 10

1.4 Retour sur le cas de deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

2 Le formalisme de la seconde quantification 12

2.1 Opérateurs de création et d"annihilation . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 12

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Action desaeta†dans la base des états . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3 Relations de commutation et d"anticommutation . . . . .. . . . . . 16

2.1.4 L"opérateur champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Expression des observables en seconde quantification . .. . . . . . . . . . 19

2.2.1 Observables à un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Observables à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Evolution de l"opérateur champ pour un Hamiltonien typique . . . . . . . . 22

2.3.1 Un Hamiltonien typique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Equations du mouvement pour l"opérateur champ . . . . . .. . . . 24

3 Applications de la seconde quantification 26

3.1 Le théorème de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Le problème physique considéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

3.1.2 Première étape dans la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 28

3.1.3 Fin de la résolution pour les bosons . . . . . . . . . . . . . . . .. . 30

3.1.4 Fin de la résolution pour les fermions . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

3.1.5 Un exemple d"application du théorème de Wick . . . . . . . .. . . 33

3.2 Diagonalisation de Hamiltoniens quadratiques . . . . . . .. . . . . . . . . 37

3.2.1 Motivation et objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

3

3.2.2 Cas des fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Cas des bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Méthode de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 Régime considéré et Hamiltonien modèle . . . . . . . . . . . .. . . 51

3.3.2 Idée générale de la méthode de Bogoliubov . . . . . . . . . . .. . . 52

3.3.3 Développement à l"ordre zéro : l"équation de Gross-Pitaevskii . . . . 53

3.3.4 Développement à l"ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.5 Développement à l"ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

3.3.6 Elimination du mode du condensat et résultat final . . . .. . . . . 57

3.3.7 Approche de Bogoliubov avec brisure de symétrieU(1). . . . . . 60

3.3.8 Applications de la méthode de Bogoliubov . . . . . . . . . . .. . . 63

3.3.9 Régularisation de la théorie de Bogoliubov en dimension trois . . . 67

4 La résolvante70

4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

4.2 Rappel du formalisme élémentaire : calcul perturbatif de l"opérateur d"évo-

lution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 La résolvante du Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73

4.3.1 Propriétés analytiques deG(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.2 Lien de la résolvante avec l"opérateur d"évolution . .. . . . . . . . 76

4.3.3 Développement perturbatif deG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 La méthode des projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82

4.4.1 Equation fondamentale surPG(z)P. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.2 Ébauche de lien avec l"approche diagrammatique àNcorps . . . . 85

4.4.3 Cas d"un spectre purement discret . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 87

4.4.4 Un état discret couplé à un continuum . . . . . . . . . . . . . . .. 88

4.4.5 Un modèle exactement soluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

4.5 Théorie de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

4.5.1 Solution formelle du problème de diffusion . . . . . . . . . .. . . . 94

4.5.2 Limite de basse énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5.3 États liés et pôles de l"amplitude de diffusion . . . . . . .. . . . . . 100

4.5.4 MatriceS, théorème optique et relation de fermeture . . . . . . . 101

4

5 L"équation pilote104

5.1 Dérivation dans l"approximation de Born-Markov . . . . . .. . . . . . . . 105

5.2 Étude dans la base propre deHS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.1 Comparaison deHeffavec le formalismePG(z)P. . . . . . . . . 108

5.2.2 Équation pilote dans l"approximation séculaire . . . .. . . . . . . . 109

5.3 La forme de Lindblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4 Les fonctions d"onde Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 113

5.5 Le théorème de régression quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 116

5.6 Point de vue de Heisenberg stochastique . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 116

6 Bibliographie118

Particules indiscernables5

1 Particules indiscernables

L"objectif est la description quantique de l"état d"une assemblée deNparticules indiscernables non relativistes. Le casN= 1est supposé acquis.

1.1 Nécessité d"un postulat de symétrisation

Si les particules sont discernables grâce à l"un de leurs paramètres physiques (masse, spin, charge,...), on les numérote d"une façon arbitraire mais objectivement descriptible

à un autre observateur (par exemple, la particule 1 est la plus légère). Prenons l"exemple de

deux particules de spin 1/2 de masses différentes. Pour un choix donné de numérotation, les vecteurs|+? ? |-?et|-? ? |+?représentent des états physiquement différents (+ et-sont les signes de la composante de spin selon l"axe de quantification). La situation est différente dans le cas de particules indiscernables. Les vecteurs|+?? |-?et|-? ? |+?représententa priorile même état physique. En vertu du principe de

2devraient représenter également le même état

physique, alors qu"ils diffèrent par leur spin total!

1.2 Le postulat de symétrisation

L"idée sous-jacente est que les vecteurs d"état acceptables pourNparticules indiscer-

nables sont ceux invariants (à un facteur de phase près) par une renumérotation, c"est-à-

dire une permutation, arbitraire desNparticules. Postulat :Nparticules indiscernables sont soit des bosons, soit des fermions. Le vec- teur d"état des bosons esttotalement symétriquepar échange des particules, c"est-à-dire invariant par toute permutation desNparticules. Le vecteur d"état des fermions est totalement antisymétriquepar échange des particules, c"est-à-dire qu"il est invariant par toute permutation paire desNparticules, et qu"il est changé en son opposé par toute permutation impaire. Établissons le lien entre l"idée sous-jacente et le postulat. Par commodité, on introduit dans toute la suite de ce chapitre une base orthonormale{|uα?}de l"espace des états à une particule. Dans la suite, lesuαseront parfois appelés lesmodes. Par produit tensoriel des |uα?, on construit une base de l"espace de Hilbert àNparticules, non encore symétrisé. Cette base mathématique permet de définir simplement l"opérateur de permutationPσ

Particules indiscernables6

représentant dans l"espace de Hilbert la permutationσdeNobjets : P σ|u1? ?...? |uN? ≡ |uσ(1)? ?...? |uσ(N)?(1) où|u1?,...,|uN?sontNquelconques vecteurs de la base à une particule, dans une ver- sion simplifiée (que le lecteur nous pardonnera) de la notation plus orthodoxe|uα1?,...,

|uαN?. Par linéarité, (1) définit complètementPσ. On peut vérifier la règle suivante de

composition P

σPσ?=Pσ?◦σ(2)

pour deux permutations quelconquesσ,σ?(noter l"inversion dans l"ordre deσetσ?au second membre). On peut montrer quePσest unitaire : P

†σ=Pσ-1=P-1σ.(3)

L"idée sous-jacente au postulat se formalise ainsi : un vecteur d"état donné|ψ?des

Nparticules est acceptable ssi

?σ?SNPσ|ψ?=η(σ)|ψ?(4) oùη(σ)est un nombre complexe de module un fonction de la permutation considérée.

Alors (2) imposeη(σ?◦σ) =η(σ?)η(σ). Décomposonsσen produit de transpositions :

σ=τ1◦...◦τk.(5)

À l"aide de (2) on trouve que

η(σ) =η(τ1)...η(τk).(6)

Il reste à étudierη(τij)pour la transposition de deux éléments distinctsietjquel- conques de{1,...,N}. Or si bien que η(τij) =η(ρ-1)η(τ12)η(ρ) =η(τ12).(8) Commeτ12◦τ12= 1,η(τ12)2= 1. Il y a donc bien deux cas à distinguer :

Particules indiscernables7

-η(τ12) = 1. Alorsη(σ) = 1pour toute permutationσdeNobjets. C"est le cas des bosons. -η(τ12) =-1. Alorsη(σ) =?(σ)où?(σ)est la signature de la permutationσ.

C"est le cas des fermions.

À méditer :Comment réconcilier le raisonnement précédent, complètement général,

avec l"affirmation suivant laquelle peuvent exister en dimension deux des statistiques anyoniques, ni bosoniques ni fermioniques? Une réponse simple possible : dans notre raisonnement, nous supposons que la fonction d"onde est monovaluée, alors qu"elle est multivaluée pour les anyons (présence d"une ligne de coupure dans le plan complexe pour la fonction d"onde du mouvement relatif de deux anyons). Remarque: Compatibilité avec l"évolution temporelle. i?d dt|ψ(t)?=H(t)|ψ(t)?(9) oùHest l"opérateur hamiltonien du système deNparticules. La compatibilité avec le postulat de symétrisation impose que P

σH(t)P-1σ=H?σ(10)

c"est-à-dire queHdoit commuter avec tous lesPσ.

1.3 Construction d"une base de vecteurs d"état

La base mathématique obtenue par tous les produits tensoriels possibles deNvec- teurs de la base orthonormale à une particule{|uα?}doit être restreinte au sous-espace complètement symétrique ou complètement antisymétrique.Cette restriction est accom-

plie de façon élégante par l"action d"un projecteur, lesymétriseurSou l"antisymétriseur

A:

S≡1

N!?

σ?SNP

σ(11)

A≡1

N!?

σ?SN?(σ)Pσ.(12)

Voici quelques propriétés deAet deS:

Particules indiscernables8

-SetAsont hermitiens. -SetAabsorbent l"action d"un opérateur de permutationPρ, oùρest une permutation quelconque, à un signe près dans le cas deA: SP

ρ=PρS=S(13)

AP

ρ=PρA=?(ρ)A.(14)

-AetSsont des projecteurs : S

2=S(15)

A

2=A.(16)

Comme ils sont hermitiens, ce sont donc des projecteurs orthogonaux. De plus, pour N >1,

AS=SA= 0.(17)

-SetAne sont pas supplémentaires dès queN >2:

S+A?= 1siN >2,(18)

où1est l"opérateur identité. Notons que, lorsqueN= 2, on a simplement S=1

2(1 +P12)pour 2 bosons (19)

A=1

2(1-P12)pour 2 fermions (20)

où l"on utilise la notation raccourcie habituelleP12=Pτ12. La construction d"une base des états obéissant au postulat de symétrisation s"effectue en appliquantSouAau produit tensoriel deNvecteurs de base quelconques à une particule|uα?. Chaque vecteur de base àNcorps ainsi produit est caractérisé par les nombres d"occupationnαde chaque état à une particule, c"est-à-dire le nombre de fois que le vecteur|uα?apparaît dans le produit tensoriel. Pour les bosons, lesnαpeuvent varier de 0 àN. En revanche, pour les fermions, les nombres d"occupation doivent valoir 0 ou 1, sinon l"action deAdonne un résultat nul. Supposons en effet que|ψ?, produit tensoriel deNvecteurs à une particule, comporte au moins deux fois un même vecteur|uα?, aux positionsietjdans le produit tensoriel, si bien que|ψ?est invariant par permutation des particulesietj: P ij|ψ?=|ψ?.(21)

Particules indiscernables9

Par action deAet utilisation de l"identité (14), AP ij|ψ?=A|ψ?(22) -A|ψ?=A|ψ?(23) on trouve alors queA|ψ?= 0. Ce résultat est résumé par l"adage bien connu qu"on ne peut pas trouver deux fermions indiscernables dans le même état quantique (principe d"exclusion de Pauli).

1.3.1 Normalisation des états fermioniques

Considérons le vecteur non antisymétrisé

|ψ?=|u1? ?...|uN?(24) à deux distincts. Calculons la norme au carré deA|ψ?: 1 N!?

σ?SN?(σ)?ψ|Pσ|ψ?.(26)

Comme les|uj?distincts sont orthogonaux, seule la permutation identitéa une contri- bution non nulle à la somme surσ, et la norme au carré deA|ψ?vaut1/N!. D"où l"écriture finale du vecteur d"état totalement antisymétrisé : ||u1,...,uN? ≡⎷

N!A|u1? ?...? |uN?.(27)

Notons bien que ce vecteur dépend de l"ordre desuj. Par exemple||u2,u1,...,uN?= -||u1,...,uN?. Pour terminer, faisons le lien avec la notion couramment utilisée dedéter-

minant de Slater. En point de vue position, le vecteur d"état est représenté par la fonction

d"onde ?r1| ?...? ?rN||u1,...,uN?=1 (28) où|...|est le déterminant d"une matrice, ce qui permet un calcul numérique efficace de cette fonction d"onde, enO(N3)opérations.

Particules indiscernables10

1.3.2 Normalisation des états bosoniques

quelconques mais deux à deux distincts. Un choix commode du vecteur non symétrisé correspondant est |ψ?=|u1??n1? |u2??n2?...? |uk??nk(29) où lesnjsont les nombres d"occupation des états|uj?. Nous avons introduit la notation |u??n≡ |u? ?...? |u?(30) avecnfacteurs égaux à|u?.

Calculons la norme au carré deS|ψ?:

1 N!?

σ?SN?ψ|Pσ|ψ?.(32)

Par orthogonalité de deux vecteurs de base à une particule distincts, les seules permuta- tionsσdonnant une contribution non nulle sont celles qui laissentglobalement invariants les sous-ensembles{1,...,n1},{n1+ 1,...,n1+n2}, etc. Le nombre de telles permu- tations estn1!×...nk!. Comme chacune de ces permutations donne une contribution unité à?ψ|Pσ|ψ?, on trouve ?ψ|S†S|ψ?=n1!...nk!

N!.(33)

D"où l"écriture finale du vecteur d"état totalement symétrisé : ||n1:u1,...,nk:uk? ≡?N! n1!...nk!? 1/2

S|u1??n1? |u2??n2?...? |uk??nk.(34)

Notons bien que ce vecteur ne dépend pas de l"ordre desuj.

1.3.3 Application des projecteurs à l"équilibre thermodynamique

En physique statistique, on pose que l"opérateur densité d"un système à l"équilibre thermodynamique, dans l"ensemble canonique (nombre totalNde particules fixé) est donné par th=Z-1e-βH(35)

Particules indiscernables11

oùβ= 1/kBT,Tétant la température,Hest le Hamiltonien du système etZ est un facteur de normalisation, la fonction de partition. Dans le cas deNparticules indiscernables, il faut compléter cette définition par un projecteur sur les états ayant la bonne symétrie, ce qui influe de manière cruciale sur les propriétés thermodynamiques : th=Z-1

BoseSe-βHouρth=Z-1

FermiAe-βH.(36)

1.4 Retour sur le cas de deux particules

Considérons d"abord le cas de deux particules indiscernables sans spin. Dans le cas

des fermions, ceci peut être réalisé en pratique lorsque lesfermions sont préparés dans

une seule composante de spin, les autres composantes de spinqui lui sont orthogonales n"étant jamais peuplées : on dit que les fermions ont unpseudo-spinnul. Pour les bosons, il n"y a pas de conflit avec le théorème sur la statistique des spins. On choisit alors une base orthonormale{|χα?}de l"espace des états du mouvement d"une particule, dite base orbitale. Notre choix de vecteur de base orbital antisymétrique est simplement |orbital?=1 ⎷2(|χ1? ? |χ2? - |χ2? ? |χ1?)(37) oùχ1etχ2sont deux vecteurs de base orbitaux quelconques mais distincts (donc orthogonaux). Notre choix de partie orbitale symétrique est |orbital?=1 ⎷2(|χ1? ? |χ2?+|χ2? ? |χ1?)(38) si deux modes différents sont peuplés, et |orbital?=|χ1? ? |χ1?(39) lorsque un même mode a une double occupation. Exercice :Appliquer ceci au cas de deux particles dans une boîte cubique de côté Lavec des conditions aux limites périodiques. On choisira pour les|χα?la base des ondes planes. Écrire la fonction d"onde à deux particulesψ(r1,r2)correspondante. Onquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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