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14 mai 2005 Exercice 6 Montrer que N × N est dénombrable. ... L'application f : Q ?? Z × N f(x) = (p
Annexe A - Ensembles dénombrables
cas les ensembles finis ne sont pas dénombrables. Exemple A.12. L'ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l'application ? : Z ? N.
Chapitre 4 : Ensembles finis et infinis 1 Ensembles finis
Pour montrer que R n'est pas dénombrable l'idée est de montrer que R est en bijection avec P(N) en utilisant le développement décimal des nombres réels. Ceci
TD no 1 : Ensembles relations et cardinalité
2. Rappeler pourquoi la classe d'équipotence de R ne contient pas N i.e. R n'est pas dénombrable. 4. 3. Montrer que {0
Colle semaine 1
17 sept. 2020 Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Cours 2. Montrer que R n'est pas dénombrable.
1 Tribus
telles que A est dénombrable ou Ac est dénombrable. 1. Montrer que C est une tribu. 2. Montrer que C et T sont égales. 3. Comparer T à la tribu borélienne.
Cardinaux chapitre 3 I Généralités
Montrer que R n'est pas dénombrable. Exercice III.2. Soit ? un ensemble. Soit (I?)??? une famille d'intervalles ouverts non vides de
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Exercice 6 (Ensembles de nombres). 1. Montrer que pour k ? 1 Nk
Cardinalité des ensembles finis
Pour montrer que cet entier est définit de manière unique on prouve la l'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable par la bijection.
Probabilités sur un univers fini ou dénombrable
Démonstration En effet Z = N?(?N?) est la réunion de deux ensembles dénombrables. PROPOSITION 8.4 ? N2 est dénombrable. L'ensemble N2 est dénombrable.
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On montre le résultat par récurrence sur p ? N Si p = 0 alors n = 0 car L'ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l'application ? : Z ?
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Comment démontrer que l'ensemble Z est dénombrable ?
L'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable. Pour cela, on considère f:Z?N f : Z ? N telle que f(n)=2n f ( n ) = 2 n si n?0 n ? 0 et f(n)=?(2n+1) f ( n ) = ? ( 2 n + 1 ) si n<0 et on vérifie que f est une bijection de Z sur N.Est-ce que Z est dénombrable ?
On dit qu'un ensemble X est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection avec N. Exemple : N ? {0}, 2N, Z sont dénombrables.Comment montrer que N'est dénombrable ?
L'ensemble N des entiers est bien sûr dénombrable. L'ensemble N × N, des couples (i,j) d'entiers est également dénombrable. Pour le montrer, il faut donner une suite x0, x1, x2, de couples distincts qui parcourent tout l'ensemble N × N. L'idée générale est de parcourir les couples (i,j) par tranche de somme i+j.- En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers.
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Annexe A
Ensembles dénombrables
A.1 Cardinal
Lorsque l'on veut dénombrer les éléments d'un ensemble fi ni (par exemple, si on veut savoir combien de pommes contient un panier, ou combien de rayures a Arthur le glomorphe à rayures), on établit une bijection entre un ensemble d'entiers et l'ensemble en question. Onattribue le nombre 1 à une pomme, le nombre 2 à une autre, le nombre 3 à une troisième, et
ainsi de suite, jusqu'à fi nalement attribuer un entier nà la dernière pomme. On a alors dé
fi ni une bijection entre l'ensemble des pommes du panier et l'ensemble 1 ,n . Cette bijection n'est pas unique s'il y a au moins deux pommes, mais l'entier n que l'on obtient est toujours le même. On dit alors qu'il y a n pommes dans le panier. Lorsque l'on est plus jeune, et que l'on doit encore compter sur ses doigts, on établit en fait une bijection entre l'ensemble des pommes et un ensemble de doigts. Dans tous les cas, on a compté en établissant une bijection entre l'ensemble étudié et un ensemble de référence bien compris. Imaginons maintenant que ces pommes soient destinées au goûter d'un groupe d'enfants. Si on peut donner exactement une pomme à chaque enfant (chacun reçoit exactement une pomme, et aucune pomme ne reste à la fi n), alors même si on ne sais pas combien on avait de pommes et combien il y a d'enfants, on peut dire qu'il y avait exactement autant de pommes qu'il n'y a d'enfants. Ces notions sont intuitivement claires tant qu'on ne manipule que des ensembles fi nis. Comparer le nombre d'éléments pour des ensembles in fi nis peut par contre amener quelques surprises... Dé fi nition A.1.On dit que deux ensembles
E et F qu'ils ont même cardinal s'il existe une bijection de E dans F . Dans ce cas on écrira Card E Card FThéorème A.2
(Théorème de Cantor-Bernstein)Soient
E et F deux ensembles. S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E , alors il existe une bijection de E dans FDémonstration.
Soit f une injection de E dans F et g une injection de F dans E . On note F g F E.On peut alors voir
g comme une bijection de F dans˜F. On maintenant E
0 E \˜F puis, par récurrence sur n N E n +1 g f E n Pour x E on note h x g f x si x n N E n x sinon.Cela dé
fi nit une bijection de E dans˜F. g
1 h est alors une bijection de E dans F 1 L2 Parcours Spécial - S3 - Mesures et IntégrationA.2 Ensembles
fi nis - Ensembles in fi nisLemme A.3.
Soit n,p N 2 . S'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p alors n pDémonstration.
On montre le résultat par récurrence sur
p N . Si p = 0 alors n = 0 , car il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide dans l'ensemble vide. On suppose le résultat acquis jusqu'au rang p 1 p N ) et on suppose qu'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p . Si n = 0 alors on a bien n p . On suppose maintenant que n 1 . On considère la perminutation de 1 ,p qui échange n et p , et laisse invariants les autreséléments. Alors
est une injection de 1 ,n dans 1 ,p qui envoie n sur p . Par restriction, elle induit une injection de 1 ,n 1 dans 1 ,p 1 . Par hypothèse de récurrence on a alors n 1 p 1 , et donc n p . D'où le résultat.Corollaire A.4.
Soit n,p N 2 tel que 1 ,n est en bijection avec 1 ,p . Alors n p Dé fi nition A.5. Soit E un ensemble. (i) Soit n N . On dit que E est de cardinal n (ou qu'il a néléments) si
E est en bijection avec 1 ,n . Un tel n est nécessairement unique. (ii) On dit que E est fi ni s'il est de cardinal n pour un certain n N . On dit que E est in fi ni s'il n'est pas fi ni. Il est intuitivement clair qu'une partie d'un ensemble fi ni est elle-même fi nie, de cardinal plus petit. Si l'on se réfère à la dé fi nition précédente, ce n'est plus complètement évident.Proposition A.6.
Soient
E un ensemble fi ni et A une partie de E . Alors A est un ensemble fi ni et Card A Card EDémonstration.
On montre par récurrence sur
n N que le résultat est vrai pour E 1 ,n . Pour n = 0 , la seule partie de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même, donc le résultat est immédiat. On suppose le résultat vrai pour E 1 ,n 1 n N ). Soit alors A une partie de 1 ,n et B A n B est alors une partie de 1 ,n 1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] calculer ka avec pka
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