denombrabilite.pdf
14 mai 2005 Exercice 6 Montrer que N × N est dénombrable. ... L'application f : Q ?? Z × N f(x) = (p
Annexe A - Ensembles dénombrables
cas les ensembles finis ne sont pas dénombrables. Exemple A.12. L'ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l'application ? : Z ? N.
Chapitre 4 : Ensembles finis et infinis 1 Ensembles finis
Pour montrer que R n'est pas dénombrable l'idée est de montrer que R est en bijection avec P(N) en utilisant le développement décimal des nombres réels. Ceci
TD no 1 : Ensembles relations et cardinalité
2. Rappeler pourquoi la classe d'équipotence de R ne contient pas N i.e. R n'est pas dénombrable. 4. 3. Montrer que {0
Colle semaine 1
17 sept. 2020 Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Cours 2. Montrer que R n'est pas dénombrable.
1 Tribus
telles que A est dénombrable ou Ac est dénombrable. 1. Montrer que C est une tribu. 2. Montrer que C et T sont égales. 3. Comparer T à la tribu borélienne.
Cardinaux chapitre 3 I Généralités
Montrer que R n'est pas dénombrable. Exercice III.2. Soit ? un ensemble. Soit (I?)??? une famille d'intervalles ouverts non vides de
1 Ensembles
Exercice 6 (Ensembles de nombres). 1. Montrer que pour k ? 1 Nk
Cardinalité des ensembles finis
Pour montrer que cet entier est définit de manière unique on prouve la l'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable par la bijection.
Probabilités sur un univers fini ou dénombrable
Démonstration En effet Z = N?(?N?) est la réunion de deux ensembles dénombrables. PROPOSITION 8.4 ? N2 est dénombrable. L'ensemble N2 est dénombrable.
[PDF] Ensembles dénombrables
On montre le résultat par récurrence sur p ? N Si p = 0 alors n = 0 car L'ensemble Z des entiers relatifs est dénombrable car l'application ? : Z ?
[PDF] DENOMBRABILITE
14 mai 2005 · Exercice 6 Montrer que N × N est dénombrable En déduire que le produit d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable
[PDF] 1 Ensembles
Montrer que si x ? A il existe P ? Z[X] tel que P(x)=0 2 Montrer que l'ensemble des polynômes à coefficients entiers Z[X] est dénombrable 3 Montrer que A
Montrer quun ensemble est dénombrable - Devmath
10 août 2021 · Ici nous utilisons la définition des ensembles dénombrables de Cantor Nous considérons qu'un ensemble dénombrable est donc infini
Exercices corrigés -Ensembles dénombrables ensembles équipotents
Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques de degré d d est au plus dénombrable Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable
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Un ensemble est donc dénombrable si et seulement si il est équipotent à ` ; un ensemble a la puissance du continu si et seulement si il est équipotent à \
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Pour montrer que R n'est pas dénombrable l'idée est de montrer que R est en bijection avec P(N) en utilisant le développement décimal des nombres réels
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Montrer que ? est réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints Exercice III 6 Soit f : R ?? R monotone et ?f l'ensemble des points de
[PDF] TD2 Mercredi 26 septembre Mathématiques discrètes Exercice 0 : 1
Exercice 4 : Montrer que l'ensemble des parties finies de N est dénombrable Solution: C'est une union dénombrable d'ensembles finis (réunion croissante des P({
Comment démontrer que l'ensemble Z est dénombrable ?
L'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable. Pour cela, on considère f:Z?N f : Z ? N telle que f(n)=2n f ( n ) = 2 n si n?0 n ? 0 et f(n)=?(2n+1) f ( n ) = ? ( 2 n + 1 ) si n<0 et on vérifie que f est une bijection de Z sur N.Est-ce que Z est dénombrable ?
On dit qu'un ensemble X est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection avec N. Exemple : N ? {0}, 2N, Z sont dénombrables.Comment montrer que N'est dénombrable ?
L'ensemble N des entiers est bien sûr dénombrable. L'ensemble N × N, des couples (i,j) d'entiers est également dénombrable. Pour le montrer, il faut donner une suite x0, x1, x2, de couples distincts qui parcourent tout l'ensemble N × N. L'idée générale est de parcourir les couples (i,j) par tranche de somme i+j.- En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers.
Colle semaine 1
Pierre Le Scornet
17 septembre 2020
Cours 1
Montrer queZ=nZest un corps si et seulement sinest premier.Cours 2
Montrer queRn"est pas dénombrable.
Cours 3
Montrer que pourKun corps, les idéaux deK[X]sont de la formePK[X],Punitaire ou nul.
Exercice 1 - *
Cours : SoitA1;:::Andes anneaux. Donner la définition de l"anneau produit A1 An.
1) Quels sont les inversibles de cet anneau?
2) À quelle condition l"anneau produitABest-il un corps / est intègre?
Solution
1)(x1;:::xn)est inversible ssi il existe(y1;:::yn)tel quexy= (1;:::1),
ssi il existey1;:::yntel que81in;xiyi= 1, c"est à direx1:::xnsont tous inversibles.2) On s"intéresse au produit(0;1)(1;0) = (0;0). SiABest intègre (ou
plus particulièrement un corps), cette égalité implique que(1;0) = 0ABou (0;1) = 0AB. Ainsi, ouAest réduit à0ouBl"est. Ainsi,ABest un 1 corps/intègre ssi l"un des deux anneaux est réduit à0et l"autre est intègre/un corps.Exercice 2 - *
Les groupes suivants sont-ils isomorphes?
-(R;+)et(Q;+) -(R;+)et(R+;) -(R;+)et(R;) -(Q;+)et(Q+;)Solution
1) Non car ils ne peuvent pas être en bijection,Rest indénombrable.
2) La fonction exponentielle convient.
3) Raisonnons par l"absurde, en supposant qu"on a bien un isomorphisme.
Pourx=12R, on axx= 1donc son antécédentypar l"isomorphisme vérifiey+y= 0, doncy= 0, ce qui est incompatible avecx=1.4) Par l"absurde aussi, supposons qu"il existe un isomorphismefentre ces
deux groupes. Dans le premier groupe, pour touty2Qil existex2Qtel quex+x=y. Or pouryl"antécédent de22Q+, on ax=p2=2Q+.Exercice 3 - **
Montrer queGest fini si et seulement si il possède un nombre fini de sous- groupe.Solution
Le sens direct est trivial (car les sous groupes deGsont inclus dans les sous-ensembles deG, qui sont en nombre fini). Pour la réciproque, on va le montrer en deux étapes. D"une part, pourx2G, le groupe engendré par xest soit fini (n:x= 0pour un certainn2N), soit infini et isomorphe à (Z;+). S"il est isomorphe àZ, alors il a une infinité de sous-groupes ce qui est impossible carGa un nombre fini de sous-groupes, donchxiest isomorphe àZ=nZ;n2N. D"autre part, puisqueG=[x2Ghxi, et qu"on a un nombre fini de sous-groupes de la formehxi(qui sont finis),Gest fini. 2Exercice 4 - *
1) SoitARdénombrable. Montrer queRnAn"est pas dénombrable.
2) SoitBun ensemble disjoint deR. Montrer queR[Bn"est pas dénom-
brable. Bonus)f0;1gNest-il dénombrable? (penser à la diagonale de Cantor) Bonus) Montrer quef0;1gNest en bijection avecR. (ne pas hésiter à de- mander des indications)Solution
1) Supposons queRnAétait dénombrable. AlorsR=A[(RnA)est l"union
de deux ensembles dénombrables, il est donc dénombrable, ce qui est absurde.2) Supposons queR[Best dénombrable. Alors il existe une bijection de
R[BdansN. La restriction de cette fonction àRest donc injective deR dansN, ce qui est absurde. Bonus 1) On montre qu"il n"est pas dénombrable de la même façon que l"on montre que[0;1[n"est pas dénombrable. On remplace juste les suites des décimales des nombres de[0;1[par les suites def0;1gN, et on construit une suite composée des1bnlenebit de lanesuite de notre dénombrement de f0;1gNet on montre qu"il n"est pas dans notre dénombrement. Bonus 2) On construit tant bien que mal deux injections dans chaque sens. Pour la première, on peut prendref:u2 f0;1gN7!P+1 n=0u n10 n, et pour la seconde, on prendg:x2[0;1[7!ux2 f0;1gNl"écriture binaire principale de ce nombre (comme l"écriture décimale, sauf qu"au lieu de regarder le chiffre en10nentre0et9on regarde le terme en2nentre0et1).Exercice 5 - **
On dit quexest algébrique s"il est racine d"un polynôme à coefficients ra- tionnels.1) Existe-t-il des réels non algébriques?
Solution
On sait queQest dénombrable. Montrons queQ[X]est dénombrable. D"une part, pourn2N Qn[X]l"ensemble des polynômes de degré au plusnest immédiatement en bijection avecQn+1, il est donc dénombrable. D"autre part,Q[X] =[n2NQn[X], il est donc une union dénombrable de dénom- brables. Ainsi,Q[X]est dénombrable. Enfin, l"ensemble des nombres algé- 3 briques est égal à[P2Q[X]racine(P), une union dénombrable d"ensembles finis non vides, donc il est dénombrable.Exercice 6 - **
SoitEun ensemble quelconque. Montrer queP(E)l"ensemble des sous- parties deEn"est pas en bijection avecE.Solution
Comme pour la diagonale de Cantor, l"idée est de démontrer que s"ils sont en bijection, on trouve un élément deP(E)qui conduit à une absurdité. Soitfune bijection deEdansP(E), etF=fx2E;x =2f(x)g. Alors pour l"uniquex2Etel quef(x) =F, on a deux cas : Si x2F, alors par définition deF x =2f(x) =F, ce qui est une contradiction, Si x =2F, alors par définition deFon ax2f(x) =Fce qui est contradictoire. On a donc une absurdité, et on conclut queEetP(E)ne sont pas en bijection.Exercice 7 - ***
Pourn2Nà quoi est congru(n1)!modulon?
Solution
P ournnon premier (doncn >3, on a deux cas :
ou n=pk,ppremier etk >1. Sip=k= 2, alors(n1)! = 62 mod 4. Sinonp;2p;:::kpsont membres du produit(n1)!(car kp < p k, avec(k;p)6= (2;2)). Ainsi, le produitk!pkdivise(n1)!, doncpkj(n1)!et(n1)!0 modn. Sinon, n=ab,a;b >1.aetbsont deux termes du produit(n1)!, donc(n1)!0 modn.Dans l ecas npremier, on a deux cas :
Si n= 2, on a(n1)! = 1 1 mod 2.
Si nest un premier impair, alors on sait que tous les éléments1;:::(n1)sont inversibles dansZ=nZ. Leur inverse fait partie
de cette séquence de nombre : on peut donc regrouper par paire les éléments et leurs inverses. Deux éléments sont leurs propres 4 inverses :1et1(qui sont différents puisquen >2). Ainsi,(n1)!1:1:(x1:x11):::::(xn32
:x1 n32 ) modn, c"est à dire(n1)! 1 modn.
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