LIMITE DUNE SUITE
Théorème (Unicité de la limite) Soit (un)n∈ une suite réelle. Si (un)n∈ possède une limite celle-ci est unique et notée lim n→+∞ un. Pour tout ℓ
Propriété : (Unicité de la limite) Si une suite est convergente alors sa
Démonstration : On suppose que la suite (un) converge vers deux limites l1 et l2 avec l1 < l2. On note d = l2 −l1. Comme la suite (un) converge vers l1
Limite finie dune fonction à valeurs réelles en un point a de R
Pré-requis : – Limites d'une suite réelle ;. – Fonctions à valeurs réelles Grâce à l'unicité de la limite on peut introduire la notation suivante :.
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Si une fonction admet l et l pour limites en un même point x0 alors l = l . Démonstration. Même principe que pour l'unicité de la limite d'une suite. Nous
LIMITES DUNE FONCTION
Théorème (Unicité de la limite) a pour limite ℓ. Démonstration. (i) =⇒ (ii) On suppose que lima f = ℓ. Soit (un)n∈ une suite de limite a à valeurs dans D.
U.F.R. de Mathématiques Licence de Mathématiques S6 M66
Unicité de la limite en probabilité. On veut vérifier que la limite en probabilité est unique modulo l'égalité presque-sûre. Pour cela on supposera que Yn
Suites numériques
Les suites possédant une limite l ∈ C sont dites convergentes et les autres divergentes. Proposition 4 (Unicité de la limite). Toute suite complexe poss`ede au
Chapitre 2 - Limites et continuité pour une fonction de plusieurs
Sans surprise on retrouve les mêmes propriétés de base que pour la limite d'une suite réelle : Proposition 2.2. Soit · une norme sur Rn. (i) Unicité de la
1) Suites divergentes
Pre requis : - monotonie des suites. - convergence d'une suite (def unicité de la limite….) - Fonction limite fini ou infinie en un point
LIMITE DUNE SUITE
Définition (Suite réelle) On appelle suite (réelle) toute fonction u de Théorème (Unicité de la limite) Soit (un)n? une suite réelle. Si (un)n?.
Unicité de la limite dune suite convergente
Un unicité se démontre presque toujours par l'absurde. Suposons que la suite (un) converge vers deux limites différentes l et.
LIMITES DUNE FONCTION
Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D ?? une fonction et a ? adhérent Il se passe avec les fonctions la même chose qu'avec les suites pour les ...
LEÇON N? 58 : Limite finie dune fonction à valeurs réelles en un
Limites d'une suite réelle ;. – Fonctions à valeurs réelles : opérations Grâce à l'unicité de la limite on peut introduire la notation suivante :.
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Si une fonction admet l et l pour limites en un même point x0 alors l = l . Démonstration. Même principe que pour l'unicité de la limite d'une suite.
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Proposition 1.2.3. Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite. Démonstration. Soit (un) une suite convergente de limite
I Limite dune suite II Limites et inégalités
Théorème 2 (Unicité de la limite). Soit (un) ? RN. Si u possède une limite alors sa limite est unique. I.2 Caractérisations de la convergence.
Propriété : (Unicité de la limite) Si une suite est convergente alors sa
Propriété : (Unicité de la limite). Si une suite est convergente alors sa On suppose que la suite (un) converge vers deux limites l1 et l2 avec l1 < l2.
12 - Espaces vectoriels normés Cours complet
Suites dans un K-espace vectoriel normé de dimension finie. Théorème 2.1 : unicité de la limite d'une suite convergente pour une norme.
U.F.R. de Mathématiques Licence de Mathématiques S6 M66
Unicité de la limite en probabilité Soit (Yn)n?1 une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé gaussiennes de loi N(c
[PDF] Unicité de la limite dune suite convergente
Théorème : une suite convergente a une limite unique Un unicité se démontre presque toujours par l'absurde Suposons que la suite (un) converge vers deux
Démonstration : unicité de la limite dune suite - Lucas Willems
Découvrez comment démontrer qu'une suite ne peut admettre au plus qu'une seule limite Si une suite admet une limite alors cette limite est unique
[PDF] LIMITE DUNE SUITE - Christophe Bertault
Théorème (Unicité de la limite) Soit (un)n? une suite réelle Si (un)n? possède une limite celle-ci est unique et notée lim
[PDF] Propriété : (Unicité de la limite)
Propriété : (Unicité de la limite) Si une suite est convergente alors sa limite est unique Démonstration : On suppose que la suite (un) converge vers deux
Preuve : unicité de la limite dune suite
10 mai 2020 · Preuve : unicité de la limite d'une suite Uniquement en cas de convergence Supposons l'existence de deux limites distinctes ?1
[PDF] Chapitre 1 Suites réelles et complexes
Si une suite converge sa limite est unique Démonstration Soit (un) une suite convergeant vers deux limites l et l Soit ? > 0 Alors comme (un)
[Preuve] Unicité de la limite dune suite – Sofiane Maths - Share
17 juil 2020 · Énoncé Toute suite convergente admet nécessairement une seule et unique limite Définition utilisée Définition de la convergence d'
[PDF] Suites numériques
Proposition 4 (Unicité de la limite) Toute suite complexe poss`ede au plus une limite Démonstration Supposons qu'une suite complexe (un)n?k0 poss`ede
[PDF] Analyse I : suites limites et continuité - Igor Kortchemski
7 déc 2013 · Théorème 2 (Unicité de la limite) Soit u une suite convergente ou divergeant vers +? ou ?? Alors u admet une unique limite l ? R
[PDF] CH VI : Convergence des suites réelles - Arnaud Jobin
Il est à noter que l'unicité de la limite s'étend au cas des limites infinies Ainsi une suite ne peut à la fois diverger vers +? et vers ?? • Il n'
Comment montrer l'unicité d'une suite ?
Dans un espace topologique séparé, on a unicité de la limite de toute suite : si une suite converge, sa limite est unique. Mais une suite peut ne pas avoir de limite (dans ce cas, on n'a pas existence de la limite, ce qui ne remet pas en cause l'unicité).Comment montrer que la limite d'une suite est unique ?
Si une suite converge, sa limite est unique. Ceci étant vrai pour tout ?, on en déduit que l ? l = 0, donc que l = l . (Nous avons utilisé le fait (trivial) suivant : si un réel positif est plus petit que toute quantité strictement positive, alors il est nul.)Comment montrer que toute suite convergente est bornée ?
Si (un)n converge, alors elle est bornée. Preuve. En effet, si l est la limite de la suite (un)n, prenons ? = 1 > 0, il existe N1 ? N tel que, pour tout n ? N1, on ait un ? l ? 1.- Une suite ne peut pas avoir deux limites distinctes. On proc? par disjonction de cas. Si une suite tend vers +?, elle est non majorée donc ne peut converger ni tendre vers ??. Si une suite tend vers ??, elle est non minorée donc ne peut converger non plus.
![Chapitre 1 Suites réelles et complexes Chapitre 1 Suites réelles et complexes](https://pdfprof.com/Listes/17/57065-17MHT204_chap1.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 1Suites r´eelles et complexes
Dans ce chapitre,Kd´esigne le corpsRdes nombres r´eels, ou le corpsCdes nombres complexes. PourK, nous noteronsle module de(´egal `a la valeur absolue de dans le cas r´eel). Nous appelleronsdistanceentre deux ´el´ementsetdeKle r´eel.1.1 G´en´eralit´es
D´efinition 1.1.1.(1) Une suite `a valeurs dansKest une famille d"´el´ements deKin- dex´ee par l"ensembleNdes entiers naturels. La donn´ee d"une suite ()N´equivaut `a la donn´ee de l"application NK (2) Une sous-suite (ou suite extraite) d"une suite ()Nest une suite de la forme (k)No`u lessont des entiers tels que 0 1 2 Si ()Nest donn´ee par l"application:NK, alors (k)Nest donn´ee par l"application, o`uest d´efinie par() =. Une suite peut ˆetre d´efinie de plusieurs fa¸cons : - Par une formule explicite := 22 - Par une r´ecurrence :0= 1 et, pour toutN,+1=2+ 1 - Abstraitement :est le-i`eme nombre premier. Il arrive que les premiers termes d"une suite ne soient pas d´efinis. Par exemple, dans la suite 2 2 les termes0et1ne sont pas d´efinis. On notera ()2cette suite. ´Etant donn´ee une suite ()N, on a deux suites extraites importantes : la suite (2)Ndes termes pairs, et la suite (2+1)Ndes termes impairs. Exemple.La suite de Syracuse d"un nombre entierest d´efinie par r´ecurrence, de la mani`ere suivante :0=et pour tout entier0 : +1=? n2siest pair
3+ 1 siest impair
Lothar Collatz a conjectur´e (en 1937) que, pour tout 0, il existe un indicetel que= 1. Une fois que le nombre 1 est atteint, la suite des valeurs 142142 ser´ep`ete ind´efiniment. La conjecture reste ouverte aujourd"hui (2011). Elle a ´et´e v´erifi´ee par
ordinateur pour 262.1.2 Convergence d"une suite r´eelle ou complexe
La d´efinition moderne de la limite, encore utilis´ee aujourd"hui, est donn´ee ind´epen- damment par Bolzano en 1816, et par Cauchy en 1821 dans sonCours d"analyse de l"´Ecole royale polytechnique. D´efinition 1.2.1.On dit qu"une suite ()Nd"´el´ements deKconvergeversKsi : pour tout 0, il existeNtel que, pour tout, on ait ou, avec des quantificateurs, 0N On dit qu"une suitedivergesi elle ne converge pas. Ceci se traduit de la fa¸con suivante : pour tout 0 (arbitrairement petit), il existe un rang (l"entier) `a partir duquel tous les termes de la suite sont `a une distanceinf´erieure `ade. Insistons sur le fait qued´epend de!Exemples.a) Montrons que la suite (1
)1converge vers 0. Soit 0, on cherche un entiertel que, pour tout, on ait1 , c"est-`a-dire1. On constate que, si l"on pose=(1 ) + 1, alors1et donc, pour tout, on a bien1. Ainsi, pour montrer que () converge vers`a partir de la d´efinition, on fixe 0 et on cherche `a traduire la condition en une condition de la forme, l"entier´etant construit au cours du raisonnement. b) Probl`eme concret : comment calculer? Plus pr´ecis´ement, comment calculer des valeurs approch´ees deavec une pr´ecision arbitraire? Commeest irrationnel, son 3´ecriture d´ecimale n"est ni finie, ni p´eriodique. Une m´ethode naturelle est de construire
une suite () dont on sait calculer les termes et qui converge vers. Alors, par d´efinition de la convergence, pour tout 0, il existe un rang`a partir duquelest une valeur approch´ee de`apr`es. Siest explicite en fonction de, alors on sait calculer une valeur approch´ee deavec une pr´ecision arbitraire. Pour exprimer le fait que () converge vers, nous dirons queest lalimitede () quandtend vers +, et nous noterons lim +=ou lim=ou encore+ Pour que cette notation ait un sens, il faut montrer qu"une suiteconvergente admet une unique limite! Proposition 1.2.2.Si une suite converge, sa limite est unique. D´emonstration.Soit () une suite convergeant vers deux limiteset. Soit 0. Alors, comme () converge vers 1N1 et, comme () converge vers, 2N2Alors, pourMax(12), nous avons
=() + () + 2 Ceci ´etant vrai pour tout, on en d´eduit que= 0, donc que=. (Nous avons utilis´e le fait (trivial) suivant : si un r´eel positif est plus petit que toute quantit´e strictement positive, alors il est nul.)Nous avons clairement les ´equivalences :
lim=lim() = 0lim= 0 Si () converge, que peut-on dire des suites extraites de ()? Proposition 1.2.3.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la mˆeme limite. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. Soit (k) une suite extraite de (). Comme la suiteest une suite strictement croissante d"entiers, nous avons pour tout. Soit 0, alors, comme () converge vers, il existetel que, pour tout, on ait . Mais alors, pour tout, nous avons et par cons´equentk , d"o`u le r´esultat. 4Ceci fournit des crit`eres de divergence :- si on peut extraire de () une suite divergente, alors () diverge
- si on peut extraire de () deux suites convergeant vers des limites diff´erentes, alors () diverge Par exemple, la suite= (1)diverge : la suite des termes pairs converge vers 1, la suite des termes impairs converge vers1. Remarquons aussi que la modification d"un nombre fini de termes n"aaucune incidence sur la convergence d"une suite. D´efinition 1.2.4.On dit qu"une suite () estborn´ees"il existe un r´eel 0 tel que l"on ait N La proposition suivante fournit un autre crit`ere de divergence. Proposition 1.2.5.Toute suite convergente est born´ee. La r´eciproque est fausse. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. D"apr`es la d´efinition de la limite, et en fixant= 1, on trouve qu"il existe un entier1tel que, pour tout1, on ait 1 d"o`u, pour tout1, =+ () + 1On en d´eduit que, pour toutN,
Max(+ 10111)
ainsi la suite () est born´ee. Pour voir que la r´eciproque est fausse, il suffit de consid´erer
la suite= (1), qui est born´ee mais divergente.1.3 Op´erations sur les limites
Nous allons montrer que le passage `a la limite est compatible avec les lois du corpsK.Commen¸cons par ´enoncer un lemme.
Lemme 1.3.1.Le produit d"une suite born´ee par une suite tendant vers0tend vers0. D´emonstration.Soit () une suite born´ee, alors il existe un r´eel 0 tel que : N 5 Soit () une suite tendant vers 0, montrons que () tend vers 0. Soit 0, alors en consid´erant le r´eel il existeNtel que, pour tout, . Nous avons donc, pour tout d"o`u le r´esultat. Th´eor`eme 1.3.2.Soient()et()deux suites convergentes de limites respectiveset . Alors (1)La suite(+)converge vers+ (2)La suite()converge vers (3)Supposons= 0. Alors la suite(1 n)est bien d´efinie `a partir d"un certain rang, et converge vers 1 D´emonstration.(1) Soit 0. Comme () converge vers, nous avons 1N1 2 et, comme () converge vers, 2N2 2Soit=(12). Alors, pour, nous avons
2et 2 d"o`u, par l"in´egalit´e triangulaire ce qui montre que (+) converge vers+. (2) On peut ´ecrire La suite´etant convergente, elle est born´ee (proposition 1.2.5). Comme () tend vers 0, le lemme 1.3.1 nous dit que le produit() converge vers 0. De mˆeme, le produit ()converge vers 0. Ceci montre, d"apr`es (1), queconverge vers0, ce qu"on voulait. (3) Non d´emontr´e.
Proposition 1.3.3.Soit()une suite complexe. Alors()converge versCsi et seulement si les suites r´eellesRe()etIm()convergent respectivement versRe()et Im(). 6 D´emonstration.La d´emonstration repose sur le fait suivant : soit=+un nombre complexe, alorsMax() +
l"in´egalit´e de droite d´ecoule de l"in´egalit´e triangulaire, celle de gauche d´ecoule de l"´ecriture
2+2.Posons= Re() et= Im(), alors Re() =Re() et Im() =
Im(). Soit 0. Siest inf´erieur `a, alors, par l"in´egalit´e de gauche, il en est de mˆeme pourRe()et pourIm(). R´eciproquement, siRe()et Im()sont inf´erieurs `a2, alors par l"in´egalit´e de droiteest inf´erieur `a.D"o`u le r´esultat.
Par exemple, la suite complexe
=1 + 1+?2+ 4+ 3? converge vers 2. Cependant, il n"est pas toujours commode de se ramener aux parties r´eelles et imaginaires : par exemple pour ´etudier la suite () o`uC.1.4 Suites r´eelles
1.4.1 Passage `a la limite et in´egalit´es
Th´eor`eme 1.4.1.Soient()et()deux suites r´eelles convergentes telles que N Alors limlim D´emonstration.Par l"absurde : supposons que limlim. Alors la limite de la suite () est strictement positive, notons-la. En prenant=2, on trouve que, pour
suffisamment grand,appartient `a [2+2] = [232], donc est positif. Ceci
contredit l"hypoth`ese. D"o`u le r´esultat. Attention : les in´egalit´es strictes ne passent pas `a la limite. Par exemple, nous avons pour toutN,10 et pourtant lim1= 0.
Th´eor`eme 1.4.2(Th´eor`eme des gendarmes).Soient(),()et()trois suites r´eelles telles que : ()N () ()et()convergent vers une mˆeme limite. 7Alors()converge vers.
D´emonstration.Nous avons, pour toutN,
0 Comme () et () convergent vers une mˆeme limite, la suite () tend vers 0. Soit0, alors il existetel que, pour tout,
0 ce qui montre que () tend vers 0. Commeconverge vers, on en d´eduit que =() converge vers. Ce qu"on voulait.Par exemple, l"encadrement
R1sin()1
permet de montrer que la suite ( sin() ) tend vers 0. Ce r´esultat s"applique aux suites complexes : soient () une suite complexe et () une suite r´eelle, satisfaisant 1)N2) lim= 0
Alors la suite () tend vers 0. Par exemple, la suite =3+4 tend vers 0, car son module est major´e par 2 Exemple.Voici un exemple de calcul de limite, r´esumant l"ensemble destechniques que nous avons vues jusqu"ici. PourN, posons =2+ cos() +?(+ 1)(+ 2) En divisant num´erateur et d´enominateur paron trouve =2 +cos() +?(1 +1)(1 +2) les suites ( cos() ), (1) et (2) convergent vers 0. De plus, nous avons 1? (1 +1)(1 +2)(1 +1)(1 +2) donc le terme central converge vers 1 par le th´eor`eme des gendarmes. Ainsi, la suite () converge vers 2 +1. 81.4.2 Suites tendant vers l"infiniD´efinition 1.4.3.Soit () une suite r´eelle.
(1) On dit que () tend vers +si : pour tout 0, il existeNtel que, pour tout, on ait ou, avec des quantificateurs, 0N (2) On dit que () tend verssi () tend vers +. Une suite qui tend vers l"infini est divergente. Dans certains livres, on trouve mˆeme l"expression"() diverge vers +».On introduit l"ensemble
R=R + que l"on appelle la droite r´eelle achev´ee. On note aussiR= [+]
ce qui sugg`ere queRse comporte comme un intervalle ferm´e.
D´efinition 1.4.4.On d´efinit les op´erations alg´ebriques suivantes dans l"ensemble R. a)R,+= +et =. b) (+) + (+) = +, () + () = c)R,() = signe()(1) d) (+)(+) = +, (+)() =, ()() = + e) 1 = 0 Th´eor`eme 1.4.5.Soient()et()deux suites r´eelles admettant des limites (´eventuellementinfinies). Alors, chaque fois que les quantit´es ci-dessous sont bien d´efinies, on peut ´ecrire
(1) lim(+) = lim+ lim (2) lim() = limlim (3) lim 1 =1limRappel : une suite r´eelle () est
- croissante siN+1 - d´ecroissante siN+1 - monotone si elle est croissante ou d´ecroissante 9 Proposition 1.4.6.Soit()une suite r´eelle croissante. - Si()est major´ee, elle converge (vers sa borne sup´erieure) - Sinon,()tend vers+ D´emonstration.Supposons () major´ee. Soitla borne sup´erieure (le plus petit des majorants) de l"ensemble des termes de la suite (). Soit 0, alorsest strictement inf´erieur `a, donc n"est pas un majorant de (). Il existe donc un entiertel que La suite () ´etant croissante, on en d´eduit que, pour tout,Il en r´esulte que, pour tout,
donc () converge vers. Un raisonnement analogue prouve que, si () n"est pas major´ee, elle tend vers +. On a une proposition analogue pour les suites d´ecroissantes. On en d´eduit : Th´eor`eme 1.4.7(Limite monotone).Toute suite r´eelle monotone a une limite, finie ou infinie. Th´eor`eme 1.4.8(Suites adjacentes).Soient()et()deux suites r´eelles telles que : -()est croissante -()est d´ecroissante -()converge vers0Alors()et()convergent vers une mˆeme limite.
D´emonstration.Tout d"abord, remarquons que la suite () est d´ecroissante et converge vers 0, donc est `a termes positifs. Nous avons donc, pour toutN, +1+1 Ainsi, () est croissante major´ee par0, donc converge vers une limite finie. De mˆeme, () est d´ecroissante minor´ee par0, donc converge. Ainsietconvergent, et ont mˆeme limite puisque () converge vers 0. 101.4.3 Exemples
Limite d"une suite g´eom´etrique.
Lemme 1.4.9.SoitC,= 1. Si la suite()converge, sa limite est0. D´emonstration.Supposons en effet que () converge versC. Comme (+1) est une suite extraite de (), nous avons lim+1= lim et d"autre part, lim+1=lim donc=, d"o`u(1) = 0, d"o`u= 0 puisque= 1.Suites g´eom´etriques r´eelles.
Proposition 1.4.10.Soitun nombre r´eel.
(1)si1, la suite()converge vers0 (2)si 1, la suite()tend vers+ D´emonstration.(1) Quitte `a remplacerpar, on peut supposer que[01[. Alorsla suite () est strictement d´ecroissante, minor´ee par 0. Elle converge donc vers un r´eel,
n´ec´essairement ´egal `a 0 d"apr`es le lemme. (2) Pour 1, la suite () est strictement croissante, donc admet une limite. Si cette limite ´etait finie,elle serait nulle d"apr`es ce qui pr´ec`ede. Or c"est impossible, puisque tous les termes de cette suite sont strictement sup´erieurs `a 1. Donc () tend vers +.Suites g´eom´etriques complexes.
Proposition 1.4.11.Soitun nombre complexe.
(1)si1, la suite()converge vers0 (2)si1, la suite()diverge (3)si= 1et= 1, la suite()divergeD´emonstration.Les points (1) et (2) d´ecoulent de la proposition pr´ec´edente. Le point (3)
d´ecoule du lemme.Exemples.a) La suite (+ 4)diverge, car+ 4=171.
b) La suite ( +45)converge (nombre de module1).
c) Soit=4, alors pour toutNon a8= 1 et8+1=
donc la suite () diverge (on a trouv´e deux suites extraites qui convergent vers des limites distinctes). 11 d) Soit=, alors d"apr`es la proposition ci-dessus la suite () diverge, c"est-`a-dire que cos() +sin() diverge. La formule suivante (d´emontr´ee dans le Livre IX des´El´ements d"Euclide) permet de
calculer la somme despremiers termes d"une suite g´eom´etrique Proposition 1.4.12.Soitun ´el´ement deC,= 1, et soitun entier. Alors =0 =1+1 1Si1, cette suite converge vers1
1.Comparaison importante.
Proposition 1.4.13.Soitun r´eel quelconque. Alors lim != 0 D´emonstration.On peut supposer queest positif. Pour toutN, nous avons =1La suite (
)1tend vers 0. Donc il existe0tel que, pour tout0, on ait12.Alors, pour0, nous avons
0? =1? ?12? 0Comme la suite (
12)0converge vers 0, on en d´eduit le r´esultat.
1.5 Valeurs d"adh´erence
Nous avons vu que toute suite convergente est born´ee. La r´eciproque est fausse, mais on aimerait quand mˆeme dire quelque chose sur les suites born´ees. D´efinition 1.5.1.On dit qu"un nombreest valeur d"adh´erence d"une suite () s"il existe une sous-suite de () qui converge vers. 12 Th´eor`eme 1.5.2(Bolzano-Weierstrass).Toute suite born´ee d"´el´ements deKposs`ede (au moins) une valeur d"adh´erence. D´emonstration.Il suffit de montrer le th´eor`eme pourK=R. Soit () une suite r´eelle born´ee. Nous construisons par r´ecurrence une suite d"intervalles [], de la fa¸con sui- vante. - Le point de d´epart est un intervalle [00] contenant tous les termes de la suite () (c"est possible puisque () est born´ee). - Supposons [] construit, et contenant une infinit´e de termes de la suite ().Alors au moins l"un des deux intervalles [k+k
2] et [k+k2] contient une infinit´e de
termes de la suite. On pose [+1+1] =? [k+k2] si celui-ci contient une infinit´e de termes de la suite
k+k2] sinon
Par construction nous avons, pour tout, les propri´et´es suivantes :1) [] contient une infinit´e de termes de la suite ()
2) [+1+1][]
3)=00 2 En particulier les suites () et () sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune. En outre, on construit une suite d"entiers () strictement croissante de la fa¸con suivante : on pose0= 0 et, supposantconstruit, on choisit+1strictement sup´erieur `atel quek+1appartienne `a [+1+1], un tel choix ´etant toujours possible puisque [+1+1] contient une infinit´e de termes de la suite (). On constate que la suite extraite (k) obtenue satisfait k et donc (k) converge versd"apr`es le th´eor`eme des gendarmes. Ce qu"on voulait. Remarquons que la suite construite dans notre preuve convergevers la plus petite valeur d"adh´erence de la suite (). Exemples.a) La suite= (1)admet deux valeurs d"adh´erence :1 et 1. b) La suite= (1)n"admet aucune valeur d"adh´erence (notons qu"elle n"est pas born´ee). c) La suite= sin() admet tout ´el´ement de [11] comme valeur d"adh´erence! 131.6 Suites de Cauchy
Comment exprimer qu"une suite converge sans connaˆıtre sa limite `a l"avance? Au lieu de dire que les termes de la suite se rapprochent d"une certainelimite, on va dire que les termes de la suite se rapprochent les uns des autres. D´efinition 1.6.1.On dit qu"une suite () d"´el´ements deKest unesuite de Cauchysi la condition suivante est v´erifi´ee : pour tout 0, il existeNtel que, pour tous, on ait Lemme 1.6.2.Toute suite convergente est de Cauchy. D´emonstration.Soit () une suite convergeant versK. Soit 0, alors il existeNtel que, pour tout,
2 mais alors, pournous avons donc () est de Cauchy.Lemme 1.6.3.Toute suite de Cauchy est born´ee.
D´emonstration.Soit () une suite de Cauchy. D"apr`es la d´efinition, en fixant= 1, on trouve qu"il existe un entiertel que, pour tout, on ait 1En prenant=on trouve que, pour tout,
=+ () + 1On en d´eduit que, pour toutN,
Max(+ 1011)
ainsi la suite () est born´ee. Lemme 1.6.4.Si une suite de Cauchy admet une valeur d"adh´erence, alors elle converge vers cette valeur. 14 D´emonstration.Soit () une suite de Cauchy admettant une valeur d"adh´erence, mon- trons que () converge vers. Soit 0. Comme () est de Cauchy, il existeN tel que, pour tout, on ait 2 D"autre part, on peut choisir une suite (k)Nextraite de () qui converge vers. Il existe donc un entiertel que, pour tout, on ait k 2 Comme la suiteest strictement croissante, on sait quepour tout. Ainsi, pourMax(), nous avons simultan´ementet. D"o`u
k+k ce qu"on voulait.On en d´eduit le r´esultat suivant
Th´eor`eme 1.6.5.Une suite d"´el´ements deKconverge si et seulement si c"est une suite de Cauchy. D´emonstration.D"apr`es le lemme 1.6.2, toute suite convergente est de Cauchy. R´ecipro- quement, soit () une suite de Cauchy, montrons qu"elle converge dansK. D"apr`es le lemme 1.6.3, () est born´ee. D"apr`es le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass, () admet au moins une valeur d"adh´erence dansK. On en d´eduit que () converge (vers cette valeur) par le lemme 1.6.4. Ainsi, pour montrer la convergence d"une suite (r´eelle ou complexe), il suffit de v´erifier que celle-ci est de Cauchy. Exemple.Soit () la suite r´eelle d´efinie par0= 1 et, pour toutN,+1=+1
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] demonstration de l'unicité de la limite d'une fonction
[PDF] théorème de la limite monotone
[PDF] montrer que f est minorée et atteint sa borne inférieure
[PDF] démonstration variance probabilité
[PDF] relation de chasles parallélogramme
[PDF] vecteurs opposés
[PDF] vecteur nul exemple
[PDF] remplacement alternateur espace 3 2.2 dci
[PDF] tuto changement alternateur espace 4
[PDF] demontage alternateur espace 4 2.2 dci
[PDF] demontage alternateur espace 2 diesel
[PDF] demontage alternateur espace 4 1.9 dci
[PDF] prix changement alternateur espace 3
[PDF] changer alternateur renault espace 3